Tutoria de Teoria de Controle Moderno I

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FACULDADE ANHANGUERA – FACNET 
Disciplina: Teoria de controle moderno I 
Professor: Moacir 
Engenharia Eletrica 
 
 
 
 
Jose Antonio Nunes de Sousa RA:8823331623 
 
 
 
 
 
 
 
 
BRASÍLIA –DF 
2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO........................................................................................3 
2. TEORIA E CONTROLE MODERNO I ...................................................3 
1. Controle Clássico.............................................................................. 4 
2. Modelos Matemático de Sistemas.....................................................4 
3. Sistema em malha aberta e malha fechada......................................5 
4. Funções de transferêcia de elementos dinâmico..............................6 
5. Resposta ao degrau...........................................................................7 
6. Rampa................................................................................................7 
7. Impulso para sistema de primeira e segunda ordem.........................7 
8. Diagramas de blocos................................................................. .......8 
9. Simplificação de diagramas de blocos....................................... .......8 
10. Sistema com múltiplas entradas........................................................9 
11. Erro em regime permanente........................................................ .....9 
12. Polos e zeros e estabilidade......................................................... ..10 
13. Análise pelo lugar das raízes...........................................................11 
CONLUSÃO..............................................................................................12 
REFERÊNCIAS.........................................................................................13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA E CONTROLE MODERNO I 
INTRODUÇÃO 
 
Os sistemas de controle são uma parte integrante da sociedade moderna. 
Inúmeras aplicações estão à nossa volta: os foguetes são acionados, e o ônibus 
espacial decola para orbitar a Terra; envolta em jatos de água de resfriamento, uma 
peça metálica é usinada automaticamente; um veículo autônomo distribuindo materiais 
para estações de trabalho em uma oficina de montagem aeroespacial desliza ao longo 
do piso buscando seu destino. Estes são apenas alguns exemplos dos sistemas 
controlados automaticamente que podemos criar. Mas não somos os únicos criadores 
de sistemas controlados automaticamente; estes sistemas também existem na 
natureza. No interior de nossos próprios corpos existem inúmeros sistemas de 
controle, como o pâncreas, que regula o nosso nível de açúcar do sangue. Em 
situações de estresse agudo, nossa adrenalina aumenta junto com a frequência 
cardíaca, fazendo com que mais oxigênio seja levado às nossas células. Nossos olhos 
seguem um objeto em movimento para mantê-lo no campo visual; nossas mãos 
seguram um objeto e o colocam precisamente em um local predeterminado. Mesmo o 
mundo não físico parece ser regulado automaticamente. Alguns modelos foram 
sugeridos mostrando o controle automático do desempenho de um estudante. A 
entrada do modelo é o tempo que o estudante tem disponível para o estudo, e a saída 
é a nota. O modelo pode ser utilizado para predizer o tempo necessário para melhorar 
a nota se um aumento súbito no tempo de estudo estiver disponível. Utilizando este 
modelo, você pode determinar se vale a pena se esforçar e aumentar os estudos 
durante a última semana do período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONTROLE CLÁSSICO 
Considere o controle de navegação do automóvel, que é um dispositivo 
projetado para manter o veículo em uma velocidade constante. A variável de saída do 
sistema é a velocidade do veículo. A variável de entrada é o torque de saída do motor, 
que é regulada pelo acelerador. 
Uma maneira simples de projetar um controle de navegação é bloquear a 
aceleração quando o motorista ativa o controle de navegação. No entanto, em 
terrenos acidentados, o veículo frenará quando o carro subir e acelerará quando ele 
descer. Esse tipo de controlador utiliza um sistema chamado de Controle em malha 
aberta porque não há conexão direta entre a saída do sistema e suas entradas. 
 
Em 1922, a Sperry Gyroscope Company instalou um sistema automático de 
direção, que utilizava elementos de compensação e controle adaptativo para melhorar 
o desempenho. Entretanto, boa parte da teoria geral utilizada atualmente para 
melhorar o desempenho dos sistemas de controle automático é atribuída a Nicholas 
Minorsky, um russo nascido em 1885. Foi seu desenvolvimento teórico aplicado à 
condução automática de navios que levou ao que hoje chamamos de controladores 
proporcional, integral e derivado (PID), ou controladores de três modos. 
Atualmente, os sistemas de controle encontram um vasto campo de aplicação 
na orientação, navegação e controle de mísseis e veículos espaciais, bem como em 
aviões e navios. Por exemplo, os navios modernos utilizam uma combinação de 
componentes elétricos, mecânicos e hidráulicos para gerar comandos de leme em 
resposta a comandos de rumo desejado. Os comandos de leme, por sua vez, resultam 
em um ângulo do leme que orienta o navio. 
Os sistemas de controle não estão limitados à ciência e à indústria. Por 
exemplo, um sistema de aquecimento de uma residência é um sistema de controle 
simples, que consiste em um termostato que contém um material bimetálico que se 
expande ou se contrai com a variação da temperatura. Essa expansão ou contração 
move um frasco de mercúrio que atua como interruptor, ligando ou desligando o 
aquecedor. A quantidade de expansão ou contração necessária para mover o 
interruptor de mercúrio é determinada pela regulagem de temperatura. 
 
MODELOS MATEMÁTICO DE SISTEMA 
Para isso é desenvolver modelos matemáticos a partir de esquemas de 
sistemas físicos, e para explicar melhor como funciona teremos como exemplo a 
“função de transferência no domínio da frequência e também no domínio do tempo. 
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À medida que prosseguirmos, vamos observar que em ambos os casos o 
primeiro passo do desenvolvimento de um modelo matemático é a aplicação das leis 
básicas da física utilizadas na ciência e na engenharia. Por exemplo, quando 
modelarmos circuitos elétricos, a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff, que são as leis 
básicas dos circuitos elétricos, serão aplicadas inicialmente. Somaremos tensões em 
uma malha ou correntes em um nó. Quando estudarmos sistemas mecânicos, 
usaremos as leis de Newton como princípios orientadores fundamentais. Nesse caso, 
somaremos forças ou torques. A partir dessas equações, obteremos a relação entre a 
saída e a entrada do sistema. 
 
É difícil modelar um sistema representado por uma equação diferencial na forma de 
um diagrama de blocos. Para isso usamos a transformada de Laplace para 
representar a entrada, a saída e o sistema como entidades separadas. 
 
Conhecendo as variáveis dessa forma pode se obter a chamada função transformada 
de Laplace de F(t). 
 
Onde o primeiro representa o diagrama de blocos de um sistema e o segundo 
representa o diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas. 
 
 
SISTEMA EM NALHA ABERTA E MALHA FECHADA 
 SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA 
É aquele em que a saída ou resposta não possui nenhuma influência sobre a entrada. 
 
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 SISTEMA DE CONTROLE A MALHA FECHADA 
 
Podemos citar com o exemplo o controle representado em diagramade blocos de um 
sistema de controle de temperatura de uma sala. 
 
 
 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE ELEMENTOS DINÂMICOS 
Modelos matemáticos de sistemas físicos são elementos-chave no projeto e 
análise de sistemas de controle. O comportamento dinâmico é geralmente descrito 
com o uso de equações diferenciais ordinárias. Embora a equação diferencial 
relacione o sistema à sua entrada e à sua saída, ela não é uma representação 
satisfatória da perspectiva do sistema. 
Analisando-se uma equação diferencial geral de enésima ordem, linear e 
invariante no tempo, observa-se que os parâmetros do sistema, que são os 
coeficientes a(i) e b(i), bem como a saída, c(t), e a entrada r(t), aparecem nos diversos 
termos da equação. 
 
Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura 
abaixo, onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas. 
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RESPOSTA AO DEGRAU 
Para explicarmos o funcionamento da resposta ao degrau, ilustraremos 
fazendo uma análise em um circuito capacitivo. 
Como um circuito RC responde um degrau de tensão? Resolvemos a resposta 
total como a soma da resposta forçada e do natural. A resposta de degrau RC é um 
comportamento fundamental de todos os circuitos digitais. 
Vamos provocar um degrau abrupto de tensão num circuito resistor-capacitor 
(RC) e observar o que acontece com a tensão no capacitor. 
 
Queremos achar a tensão v(t) no capacitor como função do tempo. 
Quando algo muda em um circuito, como quando um interruptor fecha, as 
tensões e correntes nos elementos do circuito se ajustam às novas condições. Se a 
mudança é um degrau abrupto, como é o caso aqui, a resposta das tensões e 
correntes é chamada de resposta ao degrau. A resposta ao degrau é uma maneira 
comum de se dar um "pontapé" num circuito para ver o que ele faz. Ela nos diz muito 
sobre as propriedades do circuito. 
 
RAMPA 
 
IMPULSO PARA SISTEMA DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 
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DIAGRAMA DE BLOCOS 
Como sabemos, um subsistema é representado como um bloco com uma 
entrada, uma saída e uma função de transferência. Muitos sistemas são constituídos 
de subsistemas múltiplos. Quando subsistemas múltiplos são conectados, alguns 
elementos esquemáticos adicionais devem ser acrescentados ao diagrama de blocos. 
Esses novos elementos são as junções de soma e os pontos de ramificação. Todas as 
partes constituintes de um diagrama de blocos para um sistema linear invariante no 
tempo. 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Temos uma regra básica se trabalhar a simplificação dos diagramas de blocos. 
Blocos em série, funções de transferência se multiplicam de acordo com o exemplo 
seguinte. 
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Já os blocos em paralelo as funções de transferência se somam. 
 
 
SISTEMA COM MÚLTIPLAS ENTRADAS 
 
ERRO EM REGIME PERMANENTE 
Examinamos agora o efeito da amostragem sobre o erro em regime 
permanente de sistemas digitais. Qualquer conclusão geral sobre o erro em regime 
permanente é difícil por causa da dependência dessas conclusões com relação ao 
posicionamento do mostrador na malha. Lembre-se que a posição do mostrador pode 
alterar a função de transferência em malha aberta. Na discussão sobre sistemas 
analógicos havia apenas uma função de transferência em malha aberta, G(s), sobre a 
qual a teoria geral do erro em regime permanente foi baseada e a partir da qual vieram 
as definições-padrão de constantes de erro estático. Para sistemas digitais, contudo, o 
posicionamento do mostrador altera a função de transferência em malha aberta e, 
portanto, impede quaisquer conclusões gerais. Nesta seção admitimos o 
posicionamento típico do mostrador depois do erro e na posição do controlador em 
cascata, e deduzimos nossas conclusões adequadamente sobre o erro em regime 
permanente de sistemas digitais. 
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POLOS E ZEROS E ESTABILIDADE 
A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta 
forçada e a resposta natural. Embora muitas técnicas, como a solução de uma 
equação diferencial ou a aplicação da transformada inversa de Laplace, permitam que 
calculemos essa resposta de saída, essas técnicas são trabalhosas e consomem 
muito tempo. A produtividade é auxiliada por técnicas de análise e projeto que 
fornecem resultados em um tempo mínimo. Se a técnica for tão rápida que sentimos 
que deduzimos os resultados desejados por inspeção, algumas vezes utilizamos o 
atributo qualitativo para descrever o método. A utilização dos polos e zeros e de sua 
relação com a resposta no domínio do tempo de um sistema é uma técnica deste tipo. 
O aprendizado dessa relação nos dá uma “visão” qualitativa dos problemas. O 
conceito de polos e zeros, fundamental para análise e projeto de sistemas de controle, 
simplifica o cálculo da resposta de um sistema. O leitor é encorajado a dominar os 
conceitos de polos e zeros e suas aplicações nos problemas ao longo deste livro. 
Vamos começar com duas definições. 
 Polos de uma Função de Transferência 
Os polos de uma função de transferência são os valores da variável da 
transformada de Laplace, que fazem com que a função de transferência se torne 
infinita, ou quaisquer raízes do denominador da função de transferência que são 
comuns às raízes do numerador. Estritamente falando, os polos de uma função de 
transferência satisfazem a parte da definição. Por exemplo, as raízes do polinômio 
característico no denominador são os valores de que tornam a função de transferência 
infinita, portanto são polos. Entretanto, se um fator do denominador pode ser 
cancelado com o mesmo fator no numerador, a raiz deste fator não faz mais com que 
a função de transferência se torne infinita. Em sistemas de controle, geralmente nos 
referimos à raiz do fator cancelado no denominador como um polo, mesmo que a 
função de transferência não seja infinita neste valor. 
 Os zeros de uma função de transferência 
 São os valores da variável da transformada de Laplace, que fazem com 
que a função de transferência se torne zero, ou quaisquer raízes do numerador da 
função de transferência que são comuns às raízes do denominador. Estritamente 
falando, os zeros de uma função de transferência satisfazem a parte desta definição. 
Por exemplo, as raízes do numerador são valores de que anulam a função de 
transferência e, portanto, são zeros. Entretanto, se um fator do numerador pode ser 
cancelado com o mesmo fator no denominador, a raiz desse fator não mais fará com 
que a função de transferência se torne zero. Em sistemas de controle, frequentemente 
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nos referimos à raiz do fator cancelado no numerador como um zero, mesmo que a 
função de transferência não seja zero neste valor. 
 
 
 
 
ANÁLISE PELO LUGAR DAS RAÍZES 
O lugar geométrico das raízes, uma representação gráfica dos polos em malha 
fechada à medida que um parâmetro do sistema é variado, é um método poderoso de 
análise e projeto para a estabilidade e a resposta transitória (Evans, 1948; 1950). Os 
sistemas de controle com realimentação são difíceis de compreender de um ponto de 
vista qualitativo e, portanto, dependem fortemente da matemática. O lugar geométrico 
das raízes coberto neste capítulo é uma técnica gráfica que nos dá a descrição 
qualitativa do desempenho de um sistema de controle que estamos buscando e que 
também serve como uma ferramenta qualitativa poderosa que fornece mais 
informações do que os métodos já discutidos. 
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CONCLUSÃO 
Uma maneira simples de projetar um controle de navegação é bloquear a 
aceleração quando o motorista ativa o controle de navegação. No entanto, em 
terrenos acidentados, o veículo frenará quando o carrosubir e acelerará quando ele 
descer. Esse tipo de controlador utiliza um sistema chamado de Controle em malha 
aberta porque não há conexão direta entre a saída do sistema e suas entradas. 
Em um sistema de Controle em malha fechada, um elemento de realimentação 
monitora constantemente a velocidade do veículo e ajusta o acelerador conforme 
necessário para manter a velocidade desejada. Este sinal de realimentação compensa 
as variações provocadas por fatores externos como mudança na inclinação do solo ou 
velocidade do vento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
http://coral.ufsm.br/gepoc/renes/Templates/arquivos/elc1031/ELC1031.L2.6.pdf 
http://www.foz.unioeste.br/~chsantos/ENG_CONT/Aula_05.pdf 
https://pt.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-circuit-analysis-topic/ee-
natural-and-forced-response/a/ee-rc-step-response 
https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779572053485/Cap4%20-%20Diagrama-
de-Blocos.pdf