Lista de Exercícios de Fixação A3

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Lista de Exercícios – Fixação do Conteúdo AULA 3 
 
1-) Localize o centroide �̅� da área da seção transversal da viga. 
 
Resolução: 
Temos que encontrar o centroide em y, através da seguinte equação: 
�̅� =
∑ 𝑦𝐴
∑ 𝐴
 
Temos que obter a posição no eixo y das duas figuras: 
 
Se considerarmos esta distância em relação a base da figura completa, temos: 
𝑦1 = 300 +
50
2
= 325 𝑚𝑚 
𝑦2 =
300
2
= 150 𝑚𝑚 
Vamos calcular as áreas das duas figuras: 
𝐴1 = 300.50 = 15000 𝑚𝑚² 
𝐴2 = 50.300 = 15000 𝑚𝑚
2 
Substituindo na equação do centroide: 
�̅� =
∑ 𝑦𝐴
∑ 𝐴
=
(325.15000 + 150.15000)
(15000 + 15000)
 
Portanto, �̅� = 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 𝒎𝒎 
 
 
2-) Determine a distância �̅� até o centroide da área da seção transversal da viga, depois, ache o momento de 
inércia em relação ao eixo 𝑥′. 
 
Resolução: 
 
𝐶1 = 𝑦1 = 50 𝑚𝑚 
𝐴1 = 200.100 = 20000 𝑚𝑚² 
𝐶2 = 𝑦2 = 250 𝑚𝑚 
𝐴2 = 100.300 = 30000 𝑚𝑚² 
�̅� =
∑ 𝑦𝐴
∑ 𝐴
=
(50.20000 + 250.30000)
(20000 + 30000)
 
Portanto, �̅� = 𝟏𝟕𝟎 𝒎𝒎 
𝐼𝑥 = 𝐼�̅�′ + 𝐴𝑑𝑦² onde 𝐼�̅�′ =
𝑏ℎ³
12
 
𝐼𝑥1 =
200 100³
12
+ 20000. (50 − 170)² 𝐼𝑥1 = 304,67. 10
6 𝑚𝑚4 
𝐼𝑥2 =
100 300³
12
+ 30000. (250 − 170)² 𝐼𝑥2 = 417. 10
6 𝑚𝑚4 
𝑰𝒙 = 𝑰𝒙𝟏 + 𝑰𝒙𝟐 = 𝟕𝟐𝟏. 𝟔𝟕. 𝟏𝟎
𝟔 𝒎𝒎𝟒 
3-) Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga, medindo a partir do ponto A. 
Resolução: 
Vamos primeiro separar nosso problema em áreas conhecidas: 
 
Obs: Poderia ser feito de outra forma. Não importa. 
Agora temos que calcular as forças resultantes 1 e 2, que correspondem às áreas das duas figuras: 
𝐴1 = 𝐹1 =
4,5(6 − 3)
2
= 6,75 𝑁 
𝐴2 = 𝐹2 = (4,5 + 1,5)3 = 18 𝑁 
Desenhando essas forças temos: 
 
A força resultante 𝐹𝑅 é dada por: 
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 = 6,75 + 18 𝐹𝑅 = 24,75 𝑁 
Agora temos que calcular a posição onde essas duas forças se encontram: 𝑥1 e 𝑥2 
𝑥1 =
𝑏
3
 esta é a equação do centroide para uma figura triangular. É um terço da base, com relação ao lado 
maior do triângulo. Logo 
𝑥1 =
𝑏
3
=
4,5
3
= 1,5 𝑚 
𝑥2 =
𝑏
2
 esta é a equação do centroide para uma figura retangular. É metade da base. Logo 
𝑥2 =
𝑏
2
=
(4,5 + 1,5)
2
= 3 𝑚 
Aplicando a equação do centroide, conseguimos obter o centroide geral (total) onde a força 
resultante 𝐹𝑅 deve ser aplicada: 
�̅� =
∑ 𝑥𝐴
∑ 𝐴
=
(1,5.6,75 + 3.18)
(6,75 + 18)
 
 
Portanto, �̅� = 𝟐, 𝟓𝟗𝟏 𝒎 
 
4-) Determine a maior carga P que pode ser aplicado na treliça de modo que nenhum dos membros esteja sujeito 
a uma força excedendo 2 kN em tração ou 1,5 kN em compressão. 
 
Resolução: 
Analisando o nó C, vamos construir o Diagrama de Corpo Livre 
 
Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝐴𝐶𝑠𝑒𝑛(30) − 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛(30) = 0 (1) 
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠(30) + 𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠(30) − 𝑃 = 0 (2) 
As duas barras estão sob compressão. Considerando que 𝐹𝐴𝐶 = 1,5 𝑘𝑁, substituindo na equação (1), temos: 
𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 = 1,5 𝑘𝑁 
Substituindo na equação (2), calculamos a equação (2) e isolando 𝑃: 
𝑃 = 1,5𝑐𝑜𝑠(30) + 1,5𝑐𝑜𝑠(30) = 2,568 𝑘𝑁 
Precisamos ainda calcular a força no elemento AB. Selecionando o nó B (poderia ser o A sem problemas), 
vamos desenhar o diagrama de corpo livre: 
 
Aplicando a equação de equilíbrio no eixo x, vamos obter a força 𝐹𝐴𝐵: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 −𝐹𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(60) + 𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠(60) = 0 (3) 
Isolando 𝐹𝐴𝐵 
𝐹𝐴𝐵 =
𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠(60)
𝑐𝑜𝑠(60)
 
Logo 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐶 = 1,5 𝑘𝑁, onde esta força é de tração e é menor que a força máxima do enunciado de 2 kN. 
Portanto, a maior força P que pode ser aplicado na treliça equivale a 𝟐, 𝟓𝟔𝟖 𝒌𝑵. 
 
 
 
 
 
 
5-) Determine a força nos membros JK, CJ e CD da treliça e indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
Resolução: 
Diagrama de Corpo Livre 
 
Primeiro temos que calcular as reações de apoio: 
 
Como vamos cortar a treliça e olhar do lado esquerdo do corte, não precisamos calcular a reação em G, porém 
se fossemos analisar o lado direito, seria necessário calculá-la. Seccionando a treliça, a parte esquerda fica: 
 
Agora temos que calcular as forças nas barras 𝐹𝐽𝐾, 𝐹𝐶𝐽 e 𝐹𝐶𝐷. Se observarmos o nó C, as forças 𝐹𝐶𝐷 e 𝐹𝐶𝐽 não 
geram momento nele, pois estão exatamente neste ponto. Uma saindo e a outra entrando no ponto. Portanto, é 
uma boa ideia fazer o somatório de momentos nesse ponto, pois assim conseguiremos “anular” duas forças 
incógnitas e obter a força 𝐹𝐽𝐾, por: 
 
Se observarmos o nó J, as forças 𝐹𝐽𝐾 e 𝐹𝐶𝐽 não geram momento nele, pois estão exatamente neste ponto. As 
duas estão saindo do ponto. Portanto, é uma boa ideia fazer o somatório de momentos nesse ponto, pois assim 
conseguiremos “anular” duas forças incógnitas e obter a força 𝐹𝐶𝐷, por: 
 
Agora só falta obter a força 𝐹𝐶𝐽. Esta pode ser obtida pelo somatório das forças em x ou em y. Calculando em 
y, temos: 
 
Obs: As aplicações das equações de equilíbrio podem ser feitas de outra maneira ou em uma outra ordem. 
Vale ressaltar que para iniciar os cálculos, o mais importante, neste caso, é fazer o somatório de momentos 
em um ponto que possua o maior número de forças incógnitas.