Alunos_-_2_-_Vetores

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Vetores
Vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados.
Segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor.
No paralelogramo, a seguir, os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, logo: . 
A
B
C
D
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Quando escrevemos , estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B.
Qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o vetor v.
Cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representado por v.
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é, também, o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.
O módulo de v é indicado por .
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Todo ponto do espaço representa o vetor zero, também chamado de vetor nulo, e é indicado por 0.
A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto –v, que tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido contrário ao de v.
Um vetor v é unitário se .
 
v
.
-v
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Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.
u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
.
 
B
.
A
v
C
D
.
u
.
.
A
B
v
C
D
u
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Os vetores não nulos u, v e w ( o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo 
plano , diz-se que eles são coplanares. 
.
 
B
.
A
u
C
D
.
v
.
E
F
w
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Operações com vetores 
Adição de vetores: Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectivamente:
Os pontos A e C determinam o vetor soma . 
A
B
C
u
v
u + v
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Operações com vetores 
Propriedades da adição:
i) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w).
ii) Comutativa: u + v = v + u.
iii) Existe somente um vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem:
 v + 0 = 0 + v = v
iv) Qualquer que seja o vetor v, existe somente o vetor –v , chamado de oposto de v, tal que:
 v + (-v) = -v + v = 0 . 
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A
B
C
D
u + v
v + u
u
u
v
v
*
*
A
B
C
D
u - v
v - u
A
B
C
D
u
v
- v
u
u
- u
v
v
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Operações com vetores 
Multiplicação de um Número Real por um Vetor: Dado um vetor v (diferente de zero) e um número real k (diferente de zero), chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor u = kv, tal que:
a) módulo: .
b) direção: a mesma de v.
c) sentido: se k > 0 o mesmo de v; e contrário ao de v se k < 0. 
.
.
v
2v
.
- 3v
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Operações com vetores 
Propriedades da Multiplicação por um Número Real:
i) a(bu) = (ab)u.
ii) (a + b)u = au + bu.
iii) a(u + v) = au + av.
iv) 1u = u.
 
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Vetores
O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente.
Calcule:
 
A
D
B
C
M
N
.
.
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Ângulo de Dois Vetores
.
u
v
0
A
B
*
*
Ângulo de Dois Vetores
.
u
v
0
.
u
v
0
*
*
Ângulo de Dois Vetores
.
u
v
0
v
u
u + v
.
A
B
C
*
*
Ângulo de Dois Vetores
 
.
-v
v
u
*
*
.
v
u