AULA 1_GA_DANI(20172)

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA
Aula 1
Prof. Dani Prestini
Grandezas Escalares
Grandezas físicas que são 
completamente definidas 
quando são especificados o 
seu módulo e a sua 
unidade de medida são 
denominadas grandezas 
escalares.
Grandezas Vetoriais
Quando você está se 
deslocando de uma 
posição para outra, basta 
você dizer que percorreu 
uma distância igual a 5 m?
Você precisa especificar, 
além da distância 
(módulo), a direção e o 
sentido em que ocorre 
este deslocamento.
Grandezas que dependem de intensidade, 
direção e sentido, tal como a força do 
vento e a velocidade de um barco, são 
ditas vetoriais e representadas por 
segmentos de reta orientados.
MAS, AFINAL, O QUE SÃO 
VETORES?
• O vetor v e seus representantes (mesmo módulo, 
direção e sentido):
Particularidades...
• Vetores Paralelos: São os vetores (seus 
representantes) que tiverem a mesma direção.
Os vetores u e v possuem o mesmo sentido, mas 
contrário ao sentido do vetor w.
• Vetor Nulo: Não possui módulo, 
sentido ou direção. É representado 
por qualquer ponto no espaço.
• Vetores Iguais: Se tiverem o mesmo módulo, 
direção e sentido.
• Vetores Opostos: Vetores que possuem o mesmo 
módulo e direção, porém com sentidos contrários.
• Vetor Unitário: É o vetor de módulo igual a 1.
O vetor u que, possui o mesmo sentido de v, é 
chamado de versor de v. 
• Vetores Ortogonais: São quando dois vetores (ou 
seus representantes) formarem um ângulo de 90º.
• Vetores Coplanares: Dois ou mais vetores são 
coplanares se existir um plano onde estes vetores 
estão representados.
Dois vetores 
sempre serão 
coplanares.
Três ou mais 
vetores, 
poderão ser 
ou não 
coplanares.
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.
1. A figura a seguir é composta por 9 quadrados 
congruentes. Classifique as sentenças como 
verdadeiras (V) ou falsas (F). 
2. A figura representa um paralelepípedo retângulo. 
Verifique as sentenças como verdadeiras (V) ou 
falsas (F).
Vetores com mesma direção (paralelos ou colineares): 
O processo de adição de dois ou mais vetores paralelos 
é bastante intuitivo. Veja os exemplos a seguir. 
Operação com vetores
Adição e subtração.
Operação com vetores
Adição e subtração.
Lei do paralelogramo
v

u
 vu


A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando 
este estudava a composição de forças no caso particular 
do retângulo.
Abordaremos de forma sucinta dois métodos para 
adição de vetores não paralelos (não colineares). 
R

Vetores com direções diferentes (não paralelos)
v

u

vu


R

v

u

vu


Método do Polígono (Linha Poligonal) 
Para adicionarmos dois vetores pelo método do 
polígono, translada-se um dos vetores colocando sua 
origem na extremidade do outro vetor, formando um 
“caminho”. O vetor resultante terá sua origem comum 
ao “primeiro” vetor e sua extremidade comum à 
extremidade do “último” vetor.
R

u

w

t

v

vtwuR


0

 vtwuR
u

w

t

v

No caso abaixo, o vetor resultante é NULO. Observe 
que “organizando” os vetores na sequência 
“extremidade-origem”, a linha poligonal se fecha não 
deixando espaço para o vetor resultante.
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.
1. Com base na figura abaixo, determine os vetores 
resultantes com a origem no ponto A.
2. Com base na figura abaixo, determine os vetores 
resultantes com a origem no ponto A.
Operação com Vetores
• MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: O produto 
de um número real a por um vetor, é tal que:
EXEMPLO DE APLICAÇÃO.
1. Representados os vetores na figura abaixo, obtenha 
geometricamente o vetor: 
Reposta:
Exemplos pag. 6, 7, 9, 10, 12 e 13
Exercícios pag. 14 até 17 (1 ao 13)
(menos o 7 e o 11)