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Aula 4: Crescimento Populacional.Decaimento radioa-
tivo.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Crescimento Populacional:
Um dos modelos para o crescimento populacional que consideramos na nossa
primeira aula baseava-se na suposic¸a˜o de que a populac¸a˜o cresce a uma taxa
proporcional aotamanha da populac¸a˜o:
dP
dt
= kP
onde k e´ uma constante. Esta equac¸a˜o e´, algumas vezes, chamada lei do
crescimento natural. Se k for positivo, enta˜o a populac¸a˜o aumenta. Se k for
negativo, enta˜o a populac¸a˜o diminui.
Como esta equac¸a˜o e´ uma equac¸a˜o diferencial separa´vel, sabemos resolveˆ-la:
∫
dP
P
=
∫
k dt
ln |P | = kt + c
|P | = ekt+c = ecekt
P = Aekt
onde A(= ±ekt ou 0) e´ uma constante arbitra´ria. Para vermos o significado
da constante A, observamos que P (0) = Aek·0 = A, isto e´, A e´ o valor inicial
da populac¸a˜o.
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A soluc¸a˜o do problema de valor inicial
dP
dt
= kP, P (0) = P0
e´
P (t) = P0e
kt.
Exemplo 1:
A populac¸a˜o de bacte´rias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao
nu´mero de bacte´rias no instante t. Apo´s treˆs horas, observou-se a existeˆncia
de 900 bacte´rias. Apo´s 9 horas, 8.100 bacte´rias. Qual era o nu´mero inicial
de bacte´rias? Qual o tempo necessa´rio para dobrar o nu´mero de bacte´rias?
Exemplo 2:
Uma cultura de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional a quantidade de
bacte´rias presentes em cada instante. Apo´s 10 minutos cresceu 3%.
a) Determine a constante de proporcionalidade.
b) Quanto tempo levara´ a cultura para duplicar?
Exemplo 3:
Devido a uma maldic¸a˜o rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma
aldeia sa˜o gradualmente implidos ao assassinato ou suic´ıdio. A taxa de va-
riac¸a˜o da populac¸a˜o e´ −2√p pessoas por meˆs, quando o nu´mero de pessoas e´
p. Quando a maldic¸a˜o foi rogada, a populac¸a˜o era de 1.600. Quando morrera´
toda a populac¸a˜o da aldeia?
Decaimento Radioativo:
Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma
taxa proporcional a` quantidade presente do material.
Se Q = Q(t) e´ a quantidade presente de um certo material radioativo no
instante t, enta˜o a taxa de variac¸a˜o de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui
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denotada por
dQ
dt
, e´ dada por:
dQ
dt
= −kQ(t),
onde k e´ uma constante.
Normalmente consideramos Q(0) = Q0 a quantidade inicial do material radi-
oativo considerado. Quando na˜o conhecemos o material radioativo, devemos
determinar o valor da constante k, o que pode ser feito atrave´s da carac-
ter´ıstica de meia-vida do material. A meia-vida e´ o tempo necessa´rio para
desintegrar metade do material.
Exemplo 4:
Certa substaˆncia radioativa decresce a uma taxa proporcional a quantidade
presente. Observa-se que apo´s 1 hora houve uma reduc¸a˜o de 10% da quan-
tidade inicial da substaˆncia, determine a meia-vida da substaˆncia.
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