Slides_Yared_Cap4 [Modo de Compatibilidade]

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Instituto de Ciências Exatas e 
Aplicadas (ICEA) - UFOP
Departamento de Engenharia Elétrica 
(DEELT)
Sinais e Sistemas – CEA562
Prof. Glauco F. G. Yared
Baseado em OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 
2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Capítulo 4
Transformada de Fourier de 
Tempo Contínuo
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
• Um sinal aperiódico pode ser visto como um 
sinal periódico com um período infinito
• Em termos da série de Fourier de um sinal 
periódico, quanto maior for o período, menor a periódico, quanto maior for o período, menor a 
frequência fundamental
• No limite quando o período T tender ao infinito, 
as componentes de frequência (kω0) se 
aproximam de modo que o somatório da série 
de Fourier se torna uma integral
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
• Seja x(t) um sinal com duração finita de 
modo que x(t) = 0 para |t| > T1
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
• Note que x(t) é equivalente a um período 
do sinal periódico
• Quando o período , então 
• A representação em série de Fourier do 
( )x t%
T →∞ ( ) ( )x t x t→%
• A representação em série de Fourier do 
sinal periódico é
sendo
( )x t%
( ) 0jk tk
k
x t a e ω
∞
=−∞
= ∑%
( ) ( )0 0
2
2
1 1 Tjk t jk t
k
T T
a x t e dt x t e dt
T T
ω ω− −
−
= =∫ ∫% %
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
Considerando que 
pode-se reescrever os limites de a como
( ) ( ) , para 2
0, para fora desse intervalo
x t t T
x t
t
 <
=  ∀
%
pode-se reescrever os limites de ak como
Assim, definindo-se ω = kω0 e 

( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
−
−∞
= ∫
( ) ( ) ( )0 0 0
2 2
2 2
1 1 1T Tjk t jk t jk t
k
T T
a x t e dt x t e dt x t e dt
T T T
ω ω ω
∞
− − −
− − −∞
= = =∫ ∫ ∫%
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
Então, pode-se escrever os coeficientes ak
Como
ou de forma equivalente, considerando que
( ) ( )01 1ka X jk X jT Tω ω= =
ou de forma equivalente, considerando que
, obtém-se
T T
0 02 2T Tω pi pi ω= → =
( ) ( ) ( )0 0 00 0 01 12
jk t jk t jk t
k
k k k
x t a e X jk e X jk e
T
ω ω ωω ω ω
pi
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= = =∑ ∑ ∑%
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
Assim, no limite quando
( ) ( ) 00 0
0
1lim
2
jk t
T k
x t X jk e ω
ω
ω ω
pi
∞
→∞
=−∞→
 
=  
 
∑
0 0
2T kω pi→∞ =−∞→  
( ) ( )1
2
j tx t X j e dωω ω
pi
∞
−∞
= ∫
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
Portando, a Transformada de Fourier é 
definida como
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
−
= ∫
Também denominado espectro de 
frequências de x(t)
e a Transformada Inversa de Fourier é dada
por
( ) ( )X j x t e dtω
−∞
= ∫
( ) ( )1
2
j tx t X j e dωω ω
pi
∞
−∞
= ∫
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
• Exemplo: Pulso retangular
Seja x(t) definido por
( ) 11, se t T <( ) 1
1
1,
0,
se t T
x t
se t T
 <
= 
>
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
A transformada de Fourier é 
( ) ( )
1
1 1
1
11.
T
j T j Tj t j t
T
X j x t e dt e dt e ej
ω ωω ωω
ω
∞
−− −
−∞ −
 = = = − − ∫ ∫
( ) ( )12sen TX j ωω
ω
=
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
Agora suponha que a Transformada de 
Fourier do sinal x(t) 
seja um pulso 
retangularretangular
( ) 1,
0,
se W
X j
se W
ω
ω
ω
 <
= 
>
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
Logo a Transformada Inversa de Fourier
será dada por
( ) ( )1 1 1 11.
2 2 2
W
j t j t jWt jWtx t X j e d e d e ejt
ω ωω ω ω
pi pi pi
∞
− = = = ⋅ − ∫ ∫( ) ( ) 1.2 2 2Wx t X j e d e d e ejtω ω ωpi pi pi−∞ −  = = = ⋅ − ∫ ∫
( ) ( )sen Wtx t
tpi
=
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
Assim, comparando-se as expressões da 
Transformada de Fourier de um pulso
Retangular (slide 11) e a Transformada
Inversa de um Pulso Retangular (slide 13), é Inversa de um Pulso Retangular (slide 13), é 
possível verificar que ambas as expressões
resultantes têm a forma de uma função
sinc(θ), que é definida por
( ) ( )sinc sen piθθ
piθ
=
Função Sinc(θ) 
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
Deste modo, tem-se ( ) ( )sinc sen piθθ
piθ
=
( ) ( )
1
1 1
1 1
2
2 2 sinc
T
sen
sen T TX j T TT
ω
pi
ω ωpi
ω
ωω pi
 
 
  
= = =  
 
( ) 1 1
1
2 2 sincX j T TTω ωω pipi
pi
= = =  
 
Propriedade da Dualidade da 
Transformada de Fourier
( ) ( )
( ) ( )
pulso retangular sinc
sinc pulso retangular
TF
TF
t
t
ω
ω
←→
←→
( ) 1
1
1,
0,
se t T
x t
se t T
 <
= 
>
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
Deste modo, tem-se ( ) ( )sinc sen piθθ
piθ
=
( ) 1,
0,
se W
X j
se W
ω
ω
ω
 <
= 
>
( ) ( ) sinc
Wt
sen
sen Wt W W Wt
x t Wtt
pi
pi
pi pi pi pipi
pi
 
 
  
= = ⋅ =  
 
Propriedade da Dualidade da 
Transformada de Fourier
( ) ( )
( ) ( )
pulso retangular sinc
sinc pulso retangular
TF
TF
t
t
ω
ω
←→
←→
0, se Wω >
Exemplo de Representação de Sinais 
Aperiódicos por meio da Transformada de 
Fourier
Efeito da largura do 
Pulso sobre a função
sinc
Convergência da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• De forma similar em relação a Série de Fourier 
de um sinal periódico de tempo contínuo, a 
Transformada de Fourier também deve 
satisfazer às condições de Dirichlet, quais 
sejam:
∞
sejam:
– O sinal x(t) deve ser absolutamente integrável
– x(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos 
em qualquer intervalo
– x(t) deve ter um número finito de descontinuidades 
em qualquer intervalo finito, e todas devem ser finitas
( )x t dt
∞
−∞
< ∞∫
Transformada de Fourier de Tempo 
Contínuo para Sinais Periódicos
• Representação de sinais periódicos e 
aperiódicos a partir da Transformada de 
Fourier
– Construção da Transformada de Fourier de – Construção da Transformada de Fourier de 
um sinal periódico a partir da Série de Fourier
Transformada de Fourier de Tempo 
Contínuo para Sinais Periódicos
Seja X(jω) a Transformada de Fourier de
um sinal x(t), de modo que ( ) ( )02X jω piδ ω ω= −
( ) ( ) ( ) 001 1 22 2
j tj t j tx t X j e d e d e ωω ωω ω piδ ω ω ω
pi pi
∞ ∞
= = − =∫ ∫
Logo, se , então 
( ) ( ) ( )02 2pi pi
−∞ −∞
∫ ∫
( ) ( )02 k
k
X j a kω pi δ ω ω
∞
=−∞
= −∑
( ) ( ) ( )01 1 22 2
j t j t
k
k
x t X j e d a k e dω ωω ω pi δ ω ω ω
pi pi
∞ ∞ ∞
=−∞
−∞ −∞
 
= = − 
 
∑∫ ∫
( ) ( ) ( )0 00 jk t jk tj tk k k
k k k
x t a k e d a e x t a eω ωωδ ω ω ω
∞∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
−∞
= − = → =∑ ∑ ∑∫
Transformada de Fourier de Tempo 
Contínuo para Sinais Periódicos
• Exemplo: Onda Quadrada (período T)
A onda quadrada possui coeficientes da
Série de Fourier dados por 
( )
Logo, a Transformada de Fourier X(jω) é
dada por
( )0 1
k
sen k T
a
k
ω
pi
=
( ) ( ) ( ) ( )0 10 022 k
k k
sen k T
X j a k k
k
ω
ω pi δ ω ω δ ω ω
∞ ∞
=−∞ =−∞
= − =−∑ ∑
Transformada de Fourier de Tempo 
Contínuo para Sinais Periódicos
• Exemplo: Trem de Impulsos (período T)
Seja o trem de impulsos dado por
Os coeficientes da Série são dados por
( ) ( )
k
x t t kTδ
∞
=−∞
= −∑
Os coeficientes da Série são dados por
então a transformada de Fourier do trem de
impulsos é dada por 
( ) ( )0 0
2
2
1 1 1Tjk jk
k k
T T
a x t e dt t e a
T T T
ω ωδ− −
−
= = → =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 22 2k
k k k
X j a k k k
T T
pi
ω pi δ ω ω pi δ ω ω δ ω ω
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= − = − = −∑ ∑ ∑
Transformada de Fourier de Tempo 
Contínuo para Sinais Periódicos
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Linearidade
– Dados 
( ) ( )
( ) ( )
Fx t X jω←→
então
( ) ( )Fy t Y jω←→
( ) ( ) ( ) ( ). . . .Fa x t b y t a X j bY jω ω+ ←→ +
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Deslocamento no tempo
– Dado
então
( ) ( )Fx t X jω←→
então
( ) ( ) ( )00 12
j t t
x t t X j e dωω ω
pi
∞
−
−∞
− = ∫
( ) ( ) 00 12
j t j tx t t X j e e dω ωω ω
pi
∞
−
−∞
 − =  ∫
( ) ( ){ }0 012 j tx t t F x t t e dω ωpi
∞
−∞
− = −∫ ( ) ( )00 j tFx t t e X jω ω−− ←→
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Conjugação e simetria conjugada
– Dado
então a Transformada de Fourier de x*(t) é
( ) ( )Fx t X jω←→
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
−
= ∫ ( ) ( ) ( ){ }j tX j x t e dt F x tωω
∞
∗ ∗ − ∗
− = =∫( ) ( ) j tX j x t e dtωω −
−∞
= ∫
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
∗
∗ −
−∞
 =  ∫
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
∗ ∗
−∞
= ∫
Substituindo ω por - ω
( ) ( ) ( ){ }j tX j x t e dt F x tωω∗ ∗ − ∗
−∞
− = =∫
Se x(t) for real
( ) ( ) ( )j tX j x t e dt X jωω ω
∞
∗ −
−∞
− = =∫
Substituindo ω por - ω
( ) ( ) ( )j t j tX j x t e dt x t e dtω ωω
∞ ∞
∗ ∗
−∞ −∞
= =∫ ∫
( ) ( )X j X jω ω∗ = −
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
Lembrando que
( ){ } ( ) ( )1
2
e X j X j X jω ω ω∗ ℜ = + 
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }12e X j X j X j e X j e X jω ω ω ω ωℜ = + − →ℜ =ℜ −  
e que
Assim, Re{x(jω)} é par e Im{x(jω)} é ímpar
2
( ){ } ( ) ( )1
2
m X j X j X jω ω ω∗ ℑ = − 
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }1
2
m X j X j X j m X j m X jω ω ω ω ωℑ = − − →ℑ = ℑ − −  
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Transformada de Fourier de uma 
constante
– Dada uma constante “c” qualquer, então
∞
Assim, a Transformada de Fourier de uma
constante “c” é
( ) ( ) ( ) ( )1 .2 .
2
j tx t c X j e d X j cωω ω ω pi δ ω
pi
∞
−∞
= = → =∫
{ } ( ).2 .F c c pi δ ω=
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Transformada de Fourier da derivada 
de uma função
– Dado um sinal x(t), então
( ) ( )1 ωω ω
∞
= ∫
( )dx tF    ( ) ( )1
2
j tx t X j e dωω ω
pi
−∞
= ∫
( ) ( )1
2
j tdx t d X j e d
dt dt
ωω ω
pi
∞
−∞
 
=  
 
∫
( ) ( ) ( )12 j t
dx t dX j e d
dt dt
ωω ω
pi
∞
−∞
 
=   
∫
( ) ( )1
2
F
dt
j tdx t j X j e d
dt
ωω ω ω
pi
 
  
∞
−∞
= ∫
64748
( ) ( ) ( ){ }. .dx tF j X j j F x tdt ω ω ω
 
= = 
 
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Transformada de Fourier da função 
Degrau Unitário
– Seja a função sgn(t) definida por
1 2, 0se t ≥
de modo que
Assim, tem-se
( ) 1 2, 0sgn
1 2, 0
se t
t
se t
≥
= 
− <
( ) ( ) 1sgn
2
t u t= −
( ) ( ) ( )sgnd dt u t t
dt dt
δ= =       ( ) ( ){ }sgndF t F tdt δ
 
=   
 
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
( ) ( ){ }sgndF t F tdt δ
 
=   
 
( ){ }. sgn 1j F tω =
{ } 1
Considerando que , então
( ){ } 1sgnF t jω=
( ) ( ) 1sgn
2
u t t= +
( ){ } ( ){ } 1sgn
2
F u t F t F  = +  
 
( ){ } ( ) ( ){ } ( )1 1 1.2 . .
2
F u t F u tj jpi δ ω pi δ ωω ω= + → = +
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Transformada de Fourier da 
Convolução de sinais
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ
∞
−∞
= ∗ = −∫
−∞
∫
( ){ } ( ) ( ) j tF y t x h t d e dtωτ τ τ∞ ∞ −
−∞ −∞
 
= − 
 
∫ ∫
Mudança de variável m = t - τ
( ){ } ( ) ( ) ( )j mF y t x h m e dm dω ττ τ∞ ∞ − +
−∞ −∞
 
=  
 
∫ ∫
( ){ } ( ) }
m
j tF y t x h t e dt dωτ τ τ
∞ ∞
−
−∞ −∞
  
= −  
    
∫ ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
( ){ } ( ) ( )
( )H j
j j mF y t x e h m e dm d
ω
ωτ ωτ τ
∞ ∞
− −
−∞ −∞
 
=  
 
∫ ∫
644474448
( )X jω
6447448
– Logo
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )jF y t H j x e d H j X jωτω τ τ ω ω∞ −
−∞
= =∫
6447448
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }.F x t h t X j H j F x t F h tω ω∗ = =
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Transformada de Fourier de uma 
integração
– Dado y(t) tal que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
y t x t u t x u t d x dτ τ τ τ τ
∞
= ∗ = − =∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t u t x u t d x dτ τ τ τ τ
−∞ −∞
= ∗ = − =∫ ∫
( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }.F y t F x t u t F x t F u t= ∗ =
( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( )1. . .tF x d F x t F u t X j jτ τ ω pi δ ωω
−∞
   
= = +   
  
∫
( ) ( ) ( ) ( )1
t
F x d X j X jjτ τ ω pi ω δ ωω
−∞
 
= + 
 
∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Mudança de escala no tempo na 
frequência
– Dado o sinal x(t) tal que
( ) ( )Fx t X jω←→
então
( ) ( )Fx t X jω←→
( ){ } ( ) j tF x at x at e dtω∞ −
−∞
= ∫
atτ =Mudança de variável
( ){ } ( )1 j aF x x e d
a
ω
τ
τ τ τ
 ∞
−  
 
−∞
= ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
Note que se a > 0
Por outro lado, se a = -b → a < 0
( ){ }F x at X j
a
ω 
=  
 
( ){ } ( )1 j aF x x e d
a
ω
τ
τ τ τ
 ∞
−  
 
−∞
= ∫
Por outro lado, se a = -b → a < 0
a b btτ= − → = −
( ){ }F x bt X j b
ω 
− = − 
 
( ){ } ( )1 j bF x x e d X jb b
ω
τ ω
τ τ τ
 ∞
 
 
−∞
 
= − = − 
 
∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Dualidade
– Considerando a simetria existente entre as 
Equações de síntese e análise da 
Transformada de FourierTransformada de Fourier
verifica-se que existe similaridade entre os
pares de funções no tempo e na frequência
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
−
−∞
= ∫ ( ) ( )12
j tx t X j e dωω ω
pi
∞
−∞
= ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
– Exemplo de aplicação da propriedade da 
dualidade:
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
– Exemplo de aplicação da propriedade da 
dualidade: derivada da Transformada de 
Fourier de uma função
∞
( ){ } ( ) ( ) j tdF f t X j f t e dtd ωωω
∞
−
= =   ∫
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
−
−∞
= ∫
( ) ( ) j td dX j x t e dt
d d
ωω
ω ω
∞
−
−∞
 
=    
 
∫
( ) ( ) j td dX j x t e dt
d d
ωω
ω ω
∞
−
−∞
 =    ∫
( ) ( )
( )
.
f t
j td X j jt x t e dt
d
ωω
ω
∞
−
−∞
= −   ∫
64748
( ) ( ). F djt x t X j
d
ω
ω
− ←→   
dω
−∞
  ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
– Exemplo de aplicação da propriedade da 
dualidade: deslocamento em frequência
( ) ( ) j tX j x t e dtωω
∞
−
= ∫ ( ) ( )0 0j t Fe x t X jω ω ω←→ −  ( ) ( )X j x t e dtω
−∞
= ∫
( ) ( ) ( )00 j tX j x t e dtω ωω ω
∞
− −
−∞
− =   ∫
( ) ( ) 00 . j tj tX j x t e e dtωωωω
∞
−
−∞
− =   ∫
( ) ( )
( )
0
0
f t
j t j tX j e x t e dtω ωω ω
∞
−
−∞
− =   ∫
64748
( ) ( )0e x t X j ω ω←→ −  
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
• Propriedade da multiplicação
( ) ( ) ( )1
2
Y j X j H jω ω ω
pi
= ∗
( ) ( ) ( )1ω θ ω θ θ
∞
= −∫( ) ( ) ( )12Y j X j H j dω θ ω θ θpi
−∞
= −  ∫
( ){ } ( ) ( )1 12 j tF Y j y t Y j e dωω ω ωpi
∞
−
−∞
= = ∫
( ){ } ( ) ( )1 1 1
2 2
j tF Y j X j H j d e dωω θ ω θ θ ω
pi pi
∞ ∞
−
−∞ −∞
 
= −   
 
∫ ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
( ){ } ( ) }1 1 1
2 2
m
j tF Y j X j H j e d dωω θ ω θ ω θ
pi pi
∞ ∞
−
−∞ −∞
   
 = −  
      
∫ ∫
Mudança de variável m = ω - θ
( ){ } ( ) [ ]1 1 1 .2 2 jmt j tF Y j X j H jm e e dm dθω θ θpi pi
∞ ∞
−
−∞ −∞
 
=  
 
∫ ∫
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2j t j tF Y j X j h t e d h t X j e dθ θω θ θ θ θpi pi
∞ ∞
−
−∞ −∞
= =∫ ∫
Mudança de variável m = ω - θ
( ){ } ( ) ( )1F Y j x t h tω− = ( ) ( ) ( ) ( )1
2
F
x t h t X j H jω ω
pi
←→ ∗
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
– Aplicação/Ex: Amplitude Modulation (AM)
Dada uma função p(t) = cos(ω0t), denominada
portadora, e um sinal s(t) que se deseja
transmitir, então, de forma simplificada, atransmitir, então, de forma simplificada, a
modulação em amplitude pode ser obtida por
r(t) = p(t).s(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2
F
r t s t p t R j S j P jω ω ω
pi
= ←→ = ∗
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
Assim, considerando que a transformada de
Fourier de uma função cosseno é dada por
( ) 0 00 1cos 2
j t j tt e eω ωω − = + 
( ){ } ( ) 0 00 0 1cos cos 2 j t j tj t j tF t t e dt e e e dtω ωω ωω ω
∞ ∞
−− −
−∞ −∞
 = = + ∫ ∫
( ){ } ( ) 0 00 1 1cos 2 2j t j tj t j tF t P j e e dt e e dtω ωω ωω ω
∞ ∞
−− −
−∞ −∞
= = +∫ ∫
( ) ( ) ( )
1 2
0 01 11. 1.
2 2
W W
j t j tP j e dt e dtω ω ω ωω
∞ ∞
− − − +
−∞ −∞
= +∫ ∫
64748 64748
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
( ) ( ) ( )
1 2
0 01 11. 1.
2 2
W W
j t j tP j e dt e dtω ω ω ωω
∞ ∞
− − − +
−∞ −∞
= +∫ ∫
64748 64748
( ) ( ) ( )1 21 11. 1.j W t j W tP j e dt e dtω
∞ ∞
− −
= +∫ ∫
Transformada 
de Fourier de
uma constante 
( ) ( ) ( )1 21 11. 1.
2 2
j W t j W tP j e dt e dtω − −
−∞ −∞
= +∫ ∫
( ) ( ) ( )1 21 1.2 . .2 .2 2P j W Wω pi δ pi δ= +
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 0 0cos . . . .F t P j W Wω ω pi δ pi δ pi δ ω ω pi δ ω ω= = + = − + +
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
Assim, tem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2
R j S j P j S j P j dω ω ω θ ω θ θ
pi pi
∞
−∞
= ∗ = −  ∫
( ) ( ) ( ) ( ){ }1ω θ pi δ ω θ ω pi δ ω θ ω θ∞= − − + − +   ∫( ) ( ) ( ) ( ){ }0 01 . .2R j S j dω θ pi δ ω θ ω pi δ ω θ ω θpi
−∞
= − − + − +      ∫
( ) ( ) ( ) ( ){ }0 01 . .2R j S j dω θ pi δ ω ω θ pi δ ω ω θ θpi
∞
−∞
= − − + + −      ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1. .2 2R j S j d S j dω θ pi δ ω ω θ θ θ pi δ ω ω θ θpi pi
∞ ∞
−∞ −∞
= − − + + −      ∫ ∫
( ) ( ) ( )0 01 12 2R j S j S jω ω ω ω ω= − + +      
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
A demodulação AM pode ser obtida por
sendo p(t) = cos(ω0t) e r(t) o sinal modulado em
Amplitude. Logo
( ) ( ) ( )g t p t r t=
Amplitude. Logo
Considerando que
pode-se escrever
( ) ( ) ( )1
2
G j R j P j dω θ ω θ θ
pi
∞
−∞
= −  ∫
( ) ( ) ( )0 0. .P jω pi δ ω ω pi δ ω ω= − + +
( ) ( ) ( ) ( ){ }0 01 . .2G j R j dω θ pi δ ω ω θ pi δ ω ω θ θpi
∞
−∞
= − − + + −      ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1. .2 2G j R j d R j dω θ pi δ ω ω θ θ θ pi δ ω ω θ θpi pi
∞ ∞
−∞ −∞
= − − + + −      ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1. .G j R j d R j dω θ δ ω ω θ θ θ δ ω ω θ θ
∞ ∞
= − − + + −      ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1. .2 2G j R j d R j dω θ δ ω ω θ θ θ δ ω ω θ θ
−∞ −∞
= − − + + −      ∫ ∫
( ) ( ) ( )0 01 12 2G j R j R jω ω ω ω ω= − + +      
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Contínuo
Filtragem Seletiva em Frequência 
com Frequência Central Variável
Sistemas Caracterizados por Equações 
Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes
• Dada uma equação diferencial linear 
abaixo, pode-se obter a Transformada de 
Fourier da resposta ao impulso (resposta 
em frequência) do sistema porem frequência) do sistema por
( ) ( )
0 0
k kN M
k kk k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
=∑ ∑
Transformada de Fourier
( ) ( )
0 0
k kN M
k kk k
k k
d y t d x t
F a F b
dt dt
= =
      
=   
      
∑ ∑
Sistemas Caracterizados por Equações 
Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes
( ) ( )
0 0
k kN M
k kk k
k k
d y t d x t
a F b F
dt dt
= =
      
=   
      
∑ ∑
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
0 0
N M
k k
k k
k k
a j F y t b j F x tω ω
= =
=∑ ∑
• Logo a resposta em frequência H(jω) é
0 0k k
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
N M
k k
k k
k k
a j Y j b j X jω ω ω ω
= =
=∑ ∑
( ) ( )( )
( )
( )
0
0
M
k
k
k
N
k
k
k
b jY j
H j
X j
a j
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
= =
∑
∑
Sistemas Caracterizados por Equações 
Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes
• Expansão em frações parciais pode ser 
utilizada para a obtenção de expressões 
cujas Transformadas de Fourier sejam 
tabeladastabeladas
Expansão em Frações Parciais
• Inicialmente, suponha uma função do tipo
em que s = jω quando se trabalha com a
( )
1
1 1 0
1
1 1 0
m m
m m
n n
n
s s sH s
s a s a s a
γ γ γ γ−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
K
K
em que s = jω quando se trabalha com a
Transformada de Fourier. Assim, a 
expressão de H(s) pode ser própria (n > m)
ou imprópria (n ≤ m)
Expansão em Frações Parciais
• Se a função H(s) for imprópria, pode-se 
expandi-la na soma de um polinômio e um 
função própria, conforme indicado abaixo
1 2n nb s b s b s b− −+ + + +K
Igualando-se a expressão acima com a
expressão não expandida de H(s), podem-
se determinar os coeficientes “bx” e “cx” 
( )
1 2
1 1 2 1 0
1 1 0 1
1 1 0
n n
m n m n n n
m n m n n n
n
b s b s b s bH s c s c s c s c
s a s a s a
− −
− − −
− −
− − −
−
−
+ + + +
= + + + + +
+ + + +
K
K
K
Expansão em Frações Parciais
• Se a função de H(s) for própria (n > m), 
então deve-se encontrar a raízes do 
denominador de modo a expressar H(s) 
da seguinte formada seguinte forma
( ) ( )( )( ) ( )
1
1 1 0
1 2 3
m m
m m
n
s s sH s
s s s s
γ γ γ γ
ρ ρ ρ ρ
−
−
+ + + +
=
− − − −
K
K
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2
1 2 3
n
n
A AA AH s
s s s sρ ρ ρ ρ
= + +
− − − −
L
Expansão em Frações Parciais
– Assim, as raízes ρx podem ser todas distintas, 
todas iguais, ou uma combinação destas 
duas possibilidades
• Supondo que as raízes ρx sejam todas distintas, 
então deve-se igualar as expressões abaixo de então deve-se igualar as expressões abaixo de 
modo a se obterem os valores dos parâmetros Ax
( ) ( )( )( ) ( )
1
1 1 0
1 2 3
m m
m m
n
s s sH s
s s s s
γ γ γ γ
ρ ρ ρ ρ
−
−
+ + + +
=
− − − −
K
K
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2
1 2 3
n
n
A AA AH s
s s s sρ ρ ρ ρ
= + + + +
− − − −
L
Expansão em Frações Parciais
• Supondo que as raízes “n” raízes ρx sejamtodas 
iguais, então
( ) ( )( )( ) ( )
1
1 1 0
1 2 3
m m
m m
n
s s sH s
s s s s
γ γ γ γ
ρ ρ ρ ρ
−
−
+ + + +
=
− − − −
K
K
deve-se igualar as expressões acima para se
obterem os valores dos parâmetros Ax
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2
2 3
1 2 3
n
n
n
A AA AH s
s s s sρ ρ ρ ρ
= + + + +
−
− − −
L
Expansão em Frações Parciais
• Supondo que, dentre as “n” ráízes do denominador, “k” 
raízes sejam iguais (multiplicidade k). Assim
( ) ( )( )( ) ( )
1
1 1 0
1 2 3
m m
m m
n
s s sH s
s s s s
γ γ γ γ
ρ ρ ρ ρ
−
−
+ + + +
=
− − − −
K
K
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2 n kA AA AH s −= + + + + +L
igualando-se as expressões acima, podem-se
determinar os parâmetros Ax
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
31 2
1 2 3
1 2
2
1 1 1
n k
n k
n k n k n
k
n k n k n k
H s
s s s s
A A A
s s s
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
−
−
− + − +
− +
− + − +
= + + + + +
− − − −
+ + +
−
− −
L
L