Slides_Yared_Cap9 [Modo de Compatibilidade]

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Instituto de Ciências Exatas e 
Aplicadas (ICEA) - UFOP
Departamento de Engenharia Elétrica 
(DEELT)
Sinais e Sistemas – CEA562
Prof. Glauco F. G. Yared
Baseado em OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 
2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Capítulo 9
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
• A Transformada de Laplace pode ser vista 
como uma generalização da 
Transformada de Fourier de Tempo 
Contínuo, porém considerando que a Contínuo, porém considerando que a 
variável complexa agora pode assumir a 
forma , ao invés de um número 
imaginário puro ( )
s jσ ω= +
s jω=
Transformada de Laplace
• Assim, a expressão da Transformada de 
Laplace (bilateral) é definida por 
( ) ( ) stX s x t e dt
∞
−
= ∫
Quando “s” for um imaginário puro, a 
Equação acima corresponderá a
Transformada de Fourier
( ) ( )
−∞
∫
Transformada de Laplace
• Assim: 
( ) ( ) stX s x t e dt
∞
−
−∞
= ∫
Transformada de Fourier, se s = jω
Transformada de Laplace, se s = σ + jω
Para s = σ + jω
( ) ( ){ } ( ) ( )j tX s L x t x t e dtσ ω∞ − +
−∞
= = ∫
( ) ( ){ } ( )t t j tX s F x t e x t e e dtσ σ ω∞− − −
−∞
 =  ∫
Transformada de Laplace
• Exemplo: dado x(t) = e-5tu(t), determine a 
Transformada de Laplace
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )5 5 5 j tt t st tX s L e u t e u t e dt e u t e dtσ ω∞ ∞ − +− − − −
−∞ −∞
= = =∫ ∫
−∞ −∞
( ) ( ) ( )5 t j tX s e u t e dtσ ω
∞
− +
−
−∞
 =  ∫
( ) ( )
1
5
X s jσ ω= + +
Condição de convergência
5 + σ > 0 → σ > -5
( ) ( )
1 1
5 5
X s j sσ ω= =+ + +
Condição de convergência
5 + Re{s} > 0 → Re{s} > -5
Utilizando a Tabela de 
Transformada de Fourier
Transformada de Laplace
Outra forma de obter a Transformada de 
Laplace consiste resolver a integral:
( )5 t j te e dtσ ω
∞
− +
−
∫
Lembrando que s = σ + jω :
( ) ( ){ } ( ) ( )55 5
0
s tt t stX s L e u t e u t e dt e dt
∞ ∞
− +
− − −
−∞
= = =∫ ∫
( ) ( )51 05
s tX s e
s
− + ∞−
=
+
( ) ( )1 10 1
5 5
X s
s s
−
= − =
+ +
Condição de convergência
5 + Re{s} > 0 → Re{s} > -5
( )5
0
t j te e dtσ ω− + −∫
Transformada de Laplace
• Importante:
– Note que existe uma condição de convergência 
imposta sobre a parte real de “s”, ou seja, Re{s}, 
definindo uma região no plano complexo que pode 
incluir ou não o eixo imaginário (σ = 0). Assim, caso a incluir ou não o eixo imaginário (σ = 0). Assim, caso a 
condição de convergência da Transformada de 
Laplace não inclua σ=0, então a Transformada de 
Fourier não existirá, enquanto a Transformada de 
Laplace existirá dentro do intervalo especificado pela 
condição de convergência
Transformada de Laplace
• Exemplo: Calcule a Transformada de 
Laplace de ( ) ( )atx t e u t−=
( ){ } ( ) stL x t x t e dt∞ −= ∫( ){ } ( )
−∞
∫
( ){ } ( )at stL x t e u t e dt∞ − −
−∞
= ∫
( ){ } ( )
0
s a tL x t e dt
∞
− +
= ∫
Converge se Re{s + a} > 0 → Re{s} > - a
( ){ } ( ) { } { }1 , 0L x t X s sendo e s a e s a
s a
= = ℜ + > →ℜ > −
+
Transformada de Laplace
• Exemplo: Calcule a Transformada de 
Laplace de
( ){ } ( ) stL x t x t e dt∞ −= ∫
( ) ( )atx t e u t−= − −
( ){ } ( )
−∞
∫
( ){ } ( )at stL x t e u t e dt∞ − −
−∞
= − −∫
( ){ } ( )0 s a tL x t e dt− +
−∞
= − ∫
( ){ } ( ) { } { }1 , 0L x t X s sendo e s a e s a
s a
= = ℜ + < →ℜ < −
+
Converge se Re{s + a} < 0 → Re{s} < - a
Transformada de Laplace
• Importante:
– A expressão algébrica da Transformada de Laplace 
não especifica completamente um sinal, pois é 
necessário detalhar a região de convergência
(intervalo de valores de “s” para o qual se pode (intervalo de valores de “s” para o qual se pode 
resolver a integral da Transformada de Laplace)
– Os dois últimos exemplos ilustram que dois sinais 
distintos podem possui a mesma expressão algébrica 
da Transformada de Laplace. Contudo, as regiões de 
convergência são distintas.
Transformada de Laplace
• Importante:
– Transformadas de Laplace racionais possuem raízes 
no numerador, as quais são chamadas de zeros, e 
raízes no denominador, as quais são chamadas de 
polospolos
– Se a ordem do polinômio do denominador for maior 
que a do numerador, então X(s) terá um zero no 
infinito pois X(s)→0 quando s→∞
– Se a ordem do polinômio do numerador for maior que 
a do denominador, então X(s) terá um polo no infinito
pois X(s)→∞ quando s→∞
Transformada de Laplace
• Importante:
– Se a região de convergência da 
Transformada de Laplace não incluir o eixo 
imaginário (s = jω), então a Transformada de imaginário (s = jω), então a Transformada de 
Fourier não converge
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace 
• Propriedades
– 1) A RDC de X(s) consiste de faixas paralelas ao eixo 
jω no plano “s”
• RDC será do tipo Re{s} > a ou Re{s} < a ou 
a < Re{s} < b, sendo s = σ + jωa < Re{s} < b, sendo s = σ + jω
– 2) Para transformadas de Laplace racionais, a RDC 
não contém quaisquer pólos
• Visto que região de convergência corresponde aos valores 
de “s” para os quais existe a Transformada de Laplace (polo 
é a raiz do denominador e, para este valor de “s” a 
expressão algébrica da transformada tende ao infinito)
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace
– 3) Se x(t) tem duração finita e é 
absolutamente integrável, então a RDC 
corresponde ao plano “s”
( ){ } ( ) ( ) ( )2 2
T T
st st t j tL x t x t e dt x t e dt x t e e dtσ ω
∞
− − − −
= = =∫ ∫ ∫( ){ } ( ) ( ) ( )
1 1
st st t j t
T T
L x t x t e dt x t e dt x t e e dtσ ω− − − −
−∞ − −
= = =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
T T T
t j t t j t t
T T T
x t e e dt x t e e dt x t e dtσ ω σ ω σ− − − − −
− − −
< ∞ ⇒ = < ∞∫ ∫ ∫
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace
– 4) Se x(t) for um sinal lateral direito então a 
região de convergência será aquela à direita 
de um valor σ0 no plano “s”
Dado
ou simplesmente 
( ) ( ) 0ty t x t e σ−=
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) { }00
1 1
0,
ttst st j t
T T
L x t y t e dt x t e e dt x t e e dt e sσ σσ ω σ
∞ ∞ ∞
− +
−− − −
−∞
= = = ℜ > −∫ ∫ ∫
( ){ } ( ) ( ) ( ) { }
1 1
, 0st st t j t
T T
L x t x t e dt x t e dt x t e e dt e sσ ω
∞ ∞ ∞
− − − −
−∞
= = = ℜ >∫ ∫ ∫
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace
– 5) Se x(t) for um sinal lateral esquerdo então 
a região de convergência será aquela à 
esquerda de um valor σ0 no plano “s”
Dado
ou simplesmente
( ) ( ) 0ty t x t e σ−=
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) { }2 2 00 0,
T T
ttst st j tL x t y t e dt x t e e dt x t e e dt e sσ σσ ω σ
∞
− +
−− − −
−∞ −∞ −∞
= = = ℜ < −∫ ∫ ∫
( ){ } ( ) ( ) ( ) { }2 2 , 0
T T
st st t j tL x t x t e dt x t e dt x t e e dt e sσ ω
∞
− − − −
−∞ −∞ −∞
= = = ℜ <∫ ∫ ∫
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace
– 6) Se x(t) for um sinal bilateral então a região 
de convergência será uma faixa de valores de 
σ no plano “s” (σR < σ < σL)
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace
– 7) Se a Transformada de Laplace for racional, 
então a RDC é limitada pelos polos ou se 
estende até o infinito (a RDC não pode conter 
polos)
– 8) Se a Transformada de Laplace for racional – 8) Se a Transformada de Laplace for racional 
e se x(t) for lateral direito, a RDC será a 
região do plano “s” à direita do polo mais à 
direita. Se a Transformada de Laplace for 
racional e se x(t) for lateral esquerdo, a RDC 
será a região do plano “s” à esquerda do polo 
mais à esquerda
Região de Convergência (RDC) da 
Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )j tstL x t X j x t e dt x t e dtσ ωσ ω ∞ ∞ − +−
−∞−∞
= + = =∫ ∫
( ){ } ( ) ( ) t j tL x t X j x t e e dtσ ωσ ω ∞ − −
−∞
 = + =  ∫
( ) ( ){ } ( )1 12t j tx t e F X j X j e dσ ωσ ω σ ω ωpi
∞
− −
= + = +∫
Transformada de 
Fourier de 
x(t)e-σt
( ) ( ){ } ( )2pi
−∞
∫
Multiplicando ambos os lados da equação acima por eσt
( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2
s
j tt j tx t X j e e d X j e dσ ωσ ωσ ω ω σ ω ω
pi pi
∞ ∞
+
−∞ −∞
= + = +∫ ∫
64748
ds
s j ds j d d jσ ω ω ω= + → = → =Mudança de variável
( ) ( )1
2
stx t X s e dsjpi
∞
−∞
= ∫
Caracterização de Sistemas LIT por 
meio da Transformada de Laplace
• Dado um sistema cuja saída seja y(t), a 
resposta ao impulso seja h(t) e a entrada 
x(t). Então a saída pode ser calculada por
∞
ou analisando no domínio da frequência
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ
∞
−∞
= ∗ = −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
Y s
Y s X s H s H s
X s
= ⇒ =
Função de Transferência
Caracterização de Sistemas LIT por 
meio da Transformada de Laplace
• A Transformada de Fourier da resposta ao 
impulso é denominada resposta em 
frequência do sistema LIT
• A Transformada de Laplace da resposta • A Transformada de Laplace da resposta 
ao impulso do sistema LIT é denominada 
função de transferência
Causalidade
• Um Sistema Linear e Invariante no Tempo 
(LIT) é causal se a resposta ao impulso for 
nula para t < 0. Consequentemente, tal 
sistema é lateral direitosistema é lateral direito
• Se função de transferência H(s) for 
racional, a causalidade implica que a RDC 
corresponde ao semiplano à direita do 
polo mais a direita
Estabilidade
• Um sistema LIT é estável se a RDC incluir o 
eixo imaginário jω, no qual se encontra definida 
a Transformada de Fourier
– A transformada de Fourier da resposta ao impulso 
converge se a resposta ao impulso for absolutamente converge se a resposta ao impulso for absolutamente 
integrável
• Um sistema LIT causal com função de 
transferência racional H(s) é estável se todos os 
polos se encontrarem no semiplano esquerdo 
de “s” (parte real dos pólos é negativa)
Sistemas LIT Caracterizados por Equações 
Diferenciais com Coeficientes Constantes
• Dada a seguinte equação diferencial
pode-se escrever no domínio da frequência
( ) ( )
0 0
k kN M
k kk k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
=∑ ∑
pode-se escrever no domínio da frequência
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0 0
0
M
k
kN M
k k k
k k N
kk k
k
k
b sY s
a s Y s b s X s H s
X s
a s
=
= =
=
= ⇒ = =
∑
∑ ∑
∑
Para se obter a expressão de h(t), deve-se utilizar a técnica de frações parciais
juntamente com as formas tabeladas das transformadas de Laplace
A Transformada de Laplace 
Unilateral
• Possui bastante aplicação na análise de 
sistemas causais, sendo definida por
( ) ( )
0
sts x t e dtχ
−
∞
−
= ∫
Note que deve existir uma relação entre a
transformada bilateral e a unilateral, considerando
que uma função genérica y(t) pode ser escrita
como
( ) ( ) ( ){ }ULx t s UL x tχ←→ =
( ) ( ) ( )y t x t u t=