Cálculo II 04 Integral Definida ou Integral de Riemann

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA CÁLCULO II 
 
Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca 1 
 
1 - Integral Definida ou Integral de Riemann 
 Notação Sigma para Somas 
Existem dois problemas fundamentais em cálculo: o primeiro é encontrar a 
inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a 
curva. 
A integral está ligada ao problema de determinar a área de um a figura 
qualquer. Assim, a derivada e a integral são as duas noções básicas em torno das 
quais se desenvolve todo o cálculo. 
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, 
para isso introduzimos o conceito de somatório . 
 
Exemplo: soma de inteiros sucessivos 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
A integral de Riemann de uma função num intervalo , é 
equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva ou seja: 
 
Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. 
onde: 
 coordenada entre e 
 ordenada de (altura do retângulo) 
 (base do retângulo) 
 
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A área do k ésimo retângulo é dada por somando-se 
todas as áreas dos retângulos sob a curva , tem-se uma aproximação (devido 
às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for , melhor é a 
aproximação. 
Assim: 
lim
 
∑ 
 
 
 á 
 
Integral Definida de Riemann 
Definição: Seja uma função contínua num intervalo [a,b], então se o 
limite 
lim
 
∑ 
 
 
 
existe, a função é integrável em no sentido de Riemann, e é definida por 
lim
 
∑ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Onde a integral definida de , no intervalo , dará uma nova função 
calculada no intervalo , o que é escrito na forma 
 , ou seja, 
 
 , assim: 
∫ 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
Se for integrável em e se for uma primitiva de em então 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Existência da Integral de Riemann de uma função Contínua 
Teoremas 
a) Se é uma função contínua no intervalo fechado , então é 
Riemann - integrável em 
b) Se é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo 
fechado , então é Riemann – integrável em . 
 
Exercícios – Lista 04 
 
 Integral Definida ou Integral de Riemann 
A) Calcule as seguintes integrais definidas 
1) ∫ 
 
 
 
2) ∫ 
 
 
 
3) ∫ 
 
 
 
4) ∫ 
 
 
 
5) ∫ 
 
 
 
6) ∫ 
 
 
 
7) ∫ 
 
 
 
8) ∫ 
 
 
 os 
9) ∫ 
 
 
 = 
10) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A Integral Definida para Cálculo de Área entre Duas Funções 
Teorema: A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é 
dado por: 
 
 
 
A ∫ 
 
 
 e é sempre positiva. 
Exemplo: 
1) Determinar a área limitada pelas curvas – e . 
 
 
Interseção entre as curvas 
 – 
 
 
 A ∫ – 
 
 
 ∫ – 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios – Lista 04 
B) Determinar a área limitada pelas curvas e . 
 
 
C) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva – 
 
 
D) Determinar a área limitada pelas curvas , e pelo 
eixo y. 
 
 
E) Determinar a área limitada pelas curvas e . 
 
 
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F) Determinar a área limitada pelas curvas , e o eixo y 
 
G) Determinar a área limitada pelas curvas √ , e o eixo y 
 
 
H) Determine os pontos de interseção dos dois gráficos e calcule a área 
limitada pela região pelos dois gráficos 
 
1) e 
2) 
 
 
 e 
3) e 
4) √ e 
5) e 
6) e 
7) e 
8) e 
9) e 
10) e 
 
 
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I) Calcule a área da região limitada pelos gráficos das equações dadas: 
1) , 
 
 
 , e 
2) , , e 
3) , , e 
4) , , , primeiro quadrante