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1A LISTA DE EXERCÍCIOS - FÍSICA MATEMÁTICA I 
 
ANÁLISE VETORIAL: ÁLGEBRA VETORIAL (ADIÇÃO DE VETORES, MULTIPLICAÇÃO DE VETORES, 
PRODUTOS TRIPLOS); TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS DE COORDENADAS. 
 
 
1. Forças 1F
r
, 2F
r
, ..., 6F
r
 atuam sobre um objeto P, situado sobre a origem de um sistema de eixos 
cartesianos, conforme ilustrado abaixo. Cada pequeno quadrado do gráfico tem lado unitário. 
Encontre a força 7F
r
 que deve ser aplicada no objeto P para evitar que o mesmo se mova. Resolva o 
problema graficamente e analiticamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
6F
r
5F
r
4F
r
3F
r
2F
r
1F
r
 
 y 
 P 
 
Resposta: analiticamente, 7 4 2F i j= − −
r r r
 
 
2. Prove que se byaxbyax
rrrr
2211 +=+ , onde a
r
 e b
r
 são não colineares, então 21 xx = e 21 yy = . 
 
3. Prove que se ar , b
r
 e c
r
são não coplanares então 0=++ czbyax r
rr
 implica 0=== zyx . 
 
4. Sejam três pontos 1P , 2P , 3P . Sejam 1rr , 2rr , 3rr os vetores posição, em relação a uma origem O, dos 
pontos 1P , 2P , 3P , respectivamente. Mostre que se a equação vetorial 0332211 =++ rarara
rrr
 for 
válida no sistema com origem O, então uma equação análoga será válida no sistema com origem 
O′ , se e somente se 0321 =++ aaa . 
 
5. Se kjir
rrrr
+−= 21 , kjir
rrrr 232 −+= , kjir
rrrr 323 −+−= e kjir
rrrr 5234 ++= , encontre os escalares a, 
b, c tais que 3214 rcrbrar
rrrr
++= . 
Resposta: 2−=a , 1=b , 3−=c . 
 
6. Encontre a equação do plano que é perpendicular ao vetor kjiA
rrrr
632 ++= e passa pelo ponto 
terminal do vetor kjiB
rrrr
35 ++= . Encontre a distância da origem ao plano. 
Respostas: equação 35632 =++ zyx ; distância 5. 
 
7. Prove que CABACBA
rrrrrrr
×+×=+× )( para o caso em que A
r
 é perpendicular a B
r
 e também a C
r
. 
8. Prove a lei dos senos para triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a 
 b 
 c 
 
αααα 
 
ββββ 
 
γγγγ 
 
cba
α γβ sinsinsin
== 
 
 
9. Considere o tetraedro com faces F1 , F2 , F3 , F4 . Sejam 1V
r
, 2V
r
 , 3V
r
 , 4V
r
 vetores cujas magnitudes 
são iguais às áreas de F1 , F2 , F3 , F4 , respectivamente e cujas direções são perpendiculares a 
estas faces, apontando para fora do tetraedro. Mostre que 04321 =+++ VVVV
rrrr
. 
 
 
A
r
B
r
C
r
 
 
10. Sejam 1rr , 2rr , 3rr os vetores posição dos pontos ( )1111 ,, zyxP , ( )2222 ,, zyxP , ( )3333 ,, zyxP , 
respectivamente, em relação a um sistema de eixos cartesianos com origem O. Encontre a equação 
do plano passando por estes pontos. 
Resposta: 0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
 
 
11. Encontre a equação do plano determinado pelos pontos ( )1,1,21 −P , ( )1,2,32 −P , ( )2,3,13 −P . 
Resposta: 3013511 =++ zyx 
 
12. Verifique que ( ) ( )2222 .BABABA rrrrrr −=× . 
 
13. Prove que ( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBA rrrrrrrrrrrr ..−⋅⋅=×⋅× . 
 
 
 
14. Mostre que a magnitude de um vetor A
r
 é invariante sob rotação, isto é, 
( ) ( ) 2122221222 zyxzyx AAAAAA ′+′+′=++ , 
onde os iA′ são as componentes do vetor em um sistema de coordenadas cartesianas que sofreu uma 
rotação de um ângulo θ em torno do eixo z . 
 
15. Mostre que o produto escalar permanece invariante uma transformação ortogonal de coordenadas: 
i
i
ik
k
k BABA ∑∑ =′′ . 
 
16. Mostre que duas rotações do sistema cartesiano em torno do mesmo eixo z, a primeira rotação de 
um ângulo 1θ e a segunda de um ângulo 2θ , são equivalentes a uma só rotação de um ângulo 
21 θθ + , ou seja, que as matrizes de rotação estão relacionadas por: 
1 2 1 2M M Mθ θ θ θ+ =