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1 ELETRÔNICA DE POTÊNCIA CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDAS PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS APLICAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER (REVISÃO) PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005 2 CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS SÉRIE DE FOURIER (REVISÃO) 1. FUNÇÕES PERIÓDICAS Uma função f(t) é periódica se: f(t+T) = f(t) para -∞< t < ∞. [1] Figura 1- Funções Periódicas O menor T que satisfaz a equação [1] é chamado de período de f(t). A equação [1] implica que f(t + n.T) = f(t); ∀ t no intervalo -∞< t < t; sendo n inteiro. As funções periódicas são completamente especificadas por seus valores em qualquer período. Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) – u(t-t0-T)] [2] Onde u(t) é o degrau unitário Então ( )∑ ∞ −∞= += n T Tntftf .)( [3] A função fT(t) é chamada de gerador de f(t). T T t t+T t f(t) T f(t) tt t+T f(t) = f(t+T) 3 Funções periódicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua análise. Função par é uma função periódica que f(-t) = f(t). Figura 2 - Função par Quando a função é par ela possui simetria com relação ao eixo das ordenadas (eixo y). Função ímpar é uma função periódica que f(-t) = -f(t). Figura 3 - Função ímpar Quando a função é ímpar ela possui simetria com relação à origem. Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ímpar função uma é .sen..sen. par função uma é .cos..cos. tAtA tAtA ωω ωω −=− =− Soma de funções pares resultam em uma função par: ( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares. ωωωωt−ω−ω−ω−ωt ωωωωt f(ω(ω(ω(ωt) A A.cos(ωωωωt) ωωωωt −ω−ω−ω−ωt ωωωωt f(ω(ω(ω(ωt) A A.sen(ωωωωt) A1 -A1 4 Soma de funções ímpares resultam em uma função ímpar: ( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares. Produto de funções pares resultam em uma função par: ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares. Produto de funções ímpares resultam em uma função ímpar: ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares. Produto de funções pares por funções ímpares resultam em uma função ímpar: ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi é uma função par, e gi e hi são funções ímpares. Qualquer função periódica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma função par com uma função ímpar. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [4c] [4b] 2 [4a] 2 tftftf tftf tf tftf tf ip i p =+ −− = −+ = Definições importantes: Valor médio ou média de uma função periódica f(t): ∫ + = Tt tmédio dttf T f 0 0 ).(1 [5] Valor médio quadrado de uma função periódica f(t) (é chamado de potência média em f(t)): ∫ + = Tt t médio dttf T f 0 0 .)(1 22 [6] Raiz quadrada do valor médio quadrado, ou valor rms de uma função periódica f(t): ∫ + == Tt t médiorms dttfTff 0 0 .)(1 22 [7] 5 2. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Se uma função periódica f(t) obedece às condições de Dirichlet, então a função pode ser representada pela série trigonométrica de Fourier. É bom ressaltar que as condições de Dirichlet são suficientes, mas não necessárias, pois existem funções periódicas que não obedecem a estas condições, e, no entanto possuem série de Fourier. As condições de Dirichlet são: 1. f(t) é contínua por partes 2. f(t) possui um número de máximos e mínimos finitos em qualquer intervalo finito. 3. f(t) é absolutamente integrável sobre um período, isto é: ( )∫ ∞<T dttf0 . A série trigonométrica de Fourier é dada por: ( ) ( ) ( )[ ] [rad/s] onde T tnbtnaatf n nn pi ωωω 2 .sen.cos 2 1 0 =++= ∑ ∞ = [8] an e bn são os coeficientes da série de Fourier e dependem de f(t) ( ) ( ) ... ..sen).(2 ..cos).(2 0 0 0 0 3. 2, 1, 0,= ⋅= ⋅= ∫ ∫ + + n dttntf T b dttntf T a Tt tn Tt tn ω ω [9a] Outra forma de expressar an e bn em função da variável ωt e período 2pi, que é muito comum em engenharia elétrica, é dada abaixo: ( ) ( ) ( ) ( ) ... ..sen).(1 ..cos).(1 2 0 2 0 3. 2, 1, 0,= ⋅= ⋅= ∫ ∫ n tdtntfb tdtntfa n n pi pi ωω pi ωω pi [9b] Podemos observar que o primeiro termo da série, a0/2 é o valor médio da função f(t). Na análise de circuitos elétricos, é mais conveniente representar-se a série de Fourier combinando-se os termos em seno e cosseno em um único termo em seno ou cosseno (série de Fourier trigonométrica compacta). 6 Figura 4 ( ) ( ) −=+= == ++= ∑ ∞ = n n nnnn n nn a bbac tfac tncctf arctan )( de médio valor 2/ .cos. 22 00 1 0 θ θω [10] ou ( ) ( ) =+= == ++= ∑ ∞ = n n nnnn n nn b abac tfac tncctf arctan )( de médio valor 2/ .sen. 22 00 1 0 φ φω [11] 3. INFLUÊNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER 3.1. SIMETRIA PAR Funções periódicas com simetria par são do tipo ( ) ( )tftf −= . Para as funções periódicas com simetria par, as equações usadas para calcular os coefi- cientes da série de Fourier se reduzem a: ( )tnan .cos. ω ( )tnsenbn .. ω ( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. ωω + Θn φn an bn cn 7 ( ) ( ) ( ) ... 3, 2, 1, 0 ... 3, 2, 1, ...cos.4 . 2 2/ 0 2/ 00 == == = ∫ ∫ kb kdttktf T a dttf T a k T k T ω [12] Observe que as funções periódicas com simetria par, não possuem termos em seno. 3.2. SIMETRIA ÍMPAR Funções periódicas com simetria ímpar são do tipo ( ) ( )tftf −−= . Para as funções periódicas com simetria ímpar, as equações usadas para calcular os coe- ficientes da série de Fourier se reduzem a: ( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4 ... 3, 2, 1, 0 0 2/ 0 0 === == = ∫ kkdttktfTb ka a T k k ω [13] Observe que as funções periódicas com simetria ímpar, não possuem termos em cosse- no, e seu valor médio é nulo. 3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA Funções periódicas com simetria de meia-onda são do tipo ( ) ( ) ( )22 TtfTtftf −−=+−= . Figura 5 - Simetria de meia onda T/2 t t+(T/2) A -A T t f(t) 8 Para as funções periódicas com simetria de meia-onda, as equações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a: ( ) ( ) ( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4 par) ( ... 6, 4, 2, 0 ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4 par) ( ... 6, 4, 2, 0 0 2/ 0 2/ 0 0 kkdttktf T b kkb kkdttktf T a kka a T k k T k k ∫ ∫ == == == == = ω ω [14] Observe que as funções periódicas com simetria de meia-onda, só possuem termos ím- pares, e seu valor médio é nulo. 3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA Funções periódicas com simetria de quarto de onda são funções que possuem simetria de meia-onda e, além disso, simetria em relação ao pontomédio dos semiciclos positivo e negativo. Quando uma função possui simetria de quarto de onda, sempre é possível torná-la com simetria par ou ímpar. Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda ímpar t f(t) t f(t) (a) (b) 9 Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa- ções usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a: ( ) ( ) )(qualquer ... 3, 2, 1, 0 ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8 )par ( ... 6 4, 2, 0 0 4/ 0 0 kkb kkdttktf T a kka a k T k k == == == = ∫ ω [15] Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, só possuem termos ímpares em cosseno, e seu valor médio é nulo. Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, as e- quações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a: ( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8 )par ( ... 6 4, 2, 0 ) (todo ... 3, 2, 1, 0 0 4/ 0 0 kkdttktf T b kkb kka a T k k k ∫ == == == = ω [16] Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, só possuem termos ímpares em seno, e seu valor médio é nulo. Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da série de Fourier da senóide recortada de amplitude A como mostra a figura 7 abaixo. Figura 7 seno α β f(ωωωωt) ωωωωt 2pi A 10 Solução: Das relações [9b] vem que: Exemplo 2 Calcular a série de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e período T da figura 8 a seguir. Figura 8 Solução: Das relações [9a] vem que: Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que: )](sen)([sen 2 )()cos()sen(.1)()cos()(1 22 2 0 1 αβ pi ωωω pi ωωω pi β α pi −−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ A tdttAtdttfa (((( )))) −−−− ++++−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 2 )2sen()2sen( 2 )()sen()sen()()sen()(1 2 0 1 βα αβ pi ωωω pi ωωω pi β α pi A tdttAtdttfb T T1 A t f(t) )]1[sen( . 2)cos(.2)cos()(2 1 0 0 0 Tn Tn AdttnA T dttntf T a TTt t n ωωω ∫∫ === + )]1cos(1[ . 2)sen(.2)sen()(2 1 0 0 0 Tn Tn AdttnA T dttntf T b TTt t n ωωω −=== ∫∫ + T TAdtA T dttf T a TTt t 1. . 1).(1 2 1 0 0 0 0 ∫∫ === + [ ]∑ ∞ = −++= 1 )sen()]1cos(1[)cos()1sen( . 2 2 1.)( n tnTntnTn Tn ATA tf ωωωω 11 4. A SÉRIE DE FOURIER, O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E O CÁLCU- LO FASORIAL. O principal conceito que se pode inferir da série de Fourier trigonométrica aplicada na análise de circuitos lineares que possuem geradores de tensão e/ou corrente com formas de ondas periódicas não senoidais, caracteriza-se pelos seguintes pontos: a) O gerador de forma de onda não senoidal pode ser substituído por uma soma de geradores senoidais com amplitudes e freqüências dos respectivos harmônicos da série de Fourier de sua forma de onda periódica, além de um gerador constan- te (corrente contínua) com amplitude correspondente ao valor médio da forma de onda. b) Se o circuito for linear pode-se aplicar o princípio da superposição, isto é, a res- posta do circuito é a soma das respostas de cada termo (a cada gerador) da série de Fourier. c) Se estivermos interessados apenas na resposta no regime permanente, pode-se utilizar a análise fasorial para se encontrar as respostas de cada termo (de cada gerador) senoidal (e/ou cossenoidal) da série de Fourier. Neste caso, facilita-se o trabalho se a série estiver escrita em sua forma compacta, isto é, ou somente em termos de seno ou de cosseno (ver item 2). Figura 8 - Ilustração do Princípio da Superposição REDE REDE ω0000 REDE i0(t) ω1111 REDE i1(t) ωn REDE in(t) i(t) i(t) Fonte Original Fontes Equivalentes Superposição ∑ ∞ = =0n (t)nii(t) 12 Vf(t) Vf o n te = Vc ar ga R L VL VR i ωωωωt 0 2pipipipipi/2pi/2pi/2pi/2 pipipipi 300 Cosseno Exemplo 3 Suponha um gerador de onda quadrada, de amplitude A e freqüência f Hertz (ou ω=2pi.f rad/s) alimentado uma carga RL, conforme a figura 9 abaixo. Deseja- se determinar a corrente de regime permanente do circuito. Figura 9 - Circuito RL série A série de Fourier da função vf(t), com forma de onda quadrada, é dada por: ( ) ( ) ímpar .sen4 1 n n tnA tv n f ∑ ∞ = ⋅ = ω pi A solução será dada pela série de Fourier da corrente, onde cada harmônico de corrente pode ser calculado a partir de cada harmônico de tensão, dividindo-se o fasor tensão pela impedância calculada na freqüência do respectivo harmônico. O fasor corrente de cada harmônico é dado por: ( ) ( ) ( )RLnLnR n A Z V I nn nn nn .arctan. 0.4 22 0 ωω pi φ θ ϕ + == Portanto a corrente do circuito é dada pela seguinte série de Fourier: (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))RLntnLnRn A ti .arctan.sen .. 14 22 ωω ωpi −−−− ++++ ⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑ Exemplo 4 A onda de tensão da figura a seguir é aplicada a um circuito série RL com R igual a 2000 Ω e L igual a 10 H. Achar a tensão no resistor empregando a série trigo- nométrica de Fourier. Figura 10 - Forma da tensão produzida por um retificador de meia onda. 13 Solução: A onda aplicada possui simetria par, portanto, contém apenas termos em cos- seno, cujo os coeficientes são obtidos pela integração: cos(npi/2) é -1 quando n = 2, 6, 10, ... é +1 quando n = 4, 8, 12, ... cos(npi/2) é 0 quando n é ímpar Para n igual a 1 a expressão é indeterminada e deve ser calculada separadamente. O valor de a0/2, que é o valor médio da função é dado por: Assim, a série de Fourier da onda de tensão aplicada ao circuito RL série é dada por: A impedância total do circuito série é Z = R + j(n.ωL) e deve ser calculada para cada harmônico na expressão da tensão v. Os resultados são mostrados na tabela abaixo. n n.ω R n.ωL |Z| θ 0 1 2 4 6 0 377 754 1508 2262 2k 2k 2k 2k 2k 0 3,77k 7,54k 15,08k 22,62k 2k 4,26k 7,78k 15,2k 22,6k 0o 62o 75,1o 82,45o 84,92o Calculando-se os coeficientes para a série da corrente (observando os ângulos de atra- so), temos: n = 0 ⇒ k I 2 /300 0 pi = n = 1 ⇒ )62cos( 26,4 2/300 1 o −= t k I ω ( ) ( ) ( ) ( )2/cos )1( 600 ..cos.cos.3001 2 2/ 2/ pi pi ωωω pi pi pi n n tdtntan ⋅ − =⋅= ∫ − ( ) ( ) 2 300 2 )2sen( 2 300 .cos.3001 2/ 2/ 2/ 2/ 2 1 = +⋅=⋅= − − ∫ pi pi pi pi ωω pi ωω pi tt tdta [ ] pi =ω pi =ωω⋅ pi = ∫ pi pi− pi pi− 300 2 300300 2 1 2 2 2 2 2 0 / / / /)tsen()t(d).tcos(. a −+−++⋅= ...)6cos( 35 2)4cos( 15 2)2cos( 3 2)cos( 2 1300 ttttv ωωωωpi pi 14 n = 2 ⇒ )1,752cos( 78,7 3/600 2 o −= t k I ωpi etc A série da corrente é, então: Fazendo-se o produto da corrente i pelo resistor de 2kvem que a tensão no resistor é: VALOR MÉDIO E RMS DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA 4.1. VALOR MÉDIO O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo: ∫ + == Tt tmédio dttf T Ff 0 0 ).(10 [17] Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se: ( ) 2 ...sen. 1 0 0 1 00 0 0 a cdttncc T F Tt t n nn == ++⋅= ∫ ∑ + ∞ = θω [18] 4.2. VALOR RMS O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo: ∫ + == Tt tRRMS dttf T Ff 0 0 .)(1 2 [19] Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se: ( ) dttncc T F Tt t n nnR ...sen. 1 2 1 0 0 0∫ ∑ + ∞ = ++⋅= θω [20] A integração, em um período, de termos em seno, ou produtos de termos em seno com freqüências distintas é nula. Portanto, a equação anterior se reduz a: ...)92,846cos()6,22(35 600 )45,824cos()2,15(15 600)1,752cos()78,7(3 600)62cos( 26,4)2( 300 2 300 −−+ +−−−+−+= o ooo t k t k t k t kk i ω pi ω pi ω pi ω pi ...)92,846cos(483,0 )45,824cos(67,1)1,752cos(4,16)62cos(4,705,95 −−−−−−−−++++ ++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++==== o ooo t tttvR ωωωω ωωωωωωωωωωωω 15 ∑∑ ∞ = ∞ = += += 1 2 2 0 1 2 2 0 22 .. 1 n n n n R c c c TTc T F [21] Observa-se, portanto, que o valor rms consiste na raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores rms dos harmônicos individuais mais o quadrado do valor médio da função periódica. 5. ONDULAÇÃO E FATOR DE ONDULAÇÃO DE TENSÕES E CORRENTES PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier abaixo: ( ) ( )∑ ∑ ∞ = ∞ = ++= ++= 1 1 .sen .sen n inpnDC n vnpnDC tnIIi tnVVv θω θω [22] onde: VDC – valor da componente contínua da tensão (valor médio da tensão) Vpn – amplitude do harmônico de ordem n da tensão (valor de pico) θvn – ângulo de fase do harmônico de ordem n da tensão IDC – valor da componente contínua da corrente (valor médio da corrente) Ipn – amplitude do harmônico de ordem n da corrente (valor de pico) θin – ângulo de fase do harmônico de ordem n da corrente A partir dos resultados do item 5.2, pode-se determinar os valores rms (eficazes) da ten- são e da corrente através das equações abaixo: ∑ ∑ ∞ = ∞ = += += 1 22 1 22 n nDCR n nDCR III VVV [23] onde: 2pnn VV = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da tensão 2pnn II = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da corrente Os somatórios dentro das equações [23], referem-se à soma dos quadrados dos valores rms (eficazes) dos componentes harmônicos da tensão e da corrente. Como os compo- nentes harmônicos são senóides e, portanto possuem médias nulas, as somatórias refe- rem-se, portanto, ao quadrado do valor rms da componente CA das formas de onda, 16 denominada de ondulação. As componentes CA (ou de ondulação) da tensão e da cor- rente são, portanto, definidas pelas equações a seguir: 22 1 2 22 1 2 DCR n nCA DCR n nCA IIII VVVV −== −== ∑ ∑ ∞ = ∞ = [24] A partir das equações [24], define-se os fatores de ondulação da tensão e da corrente, conforme as equações abaixo: %100% spercentuai valores em ou, %100% spercentuai valores em ou, ••••======== ••••======== ii DC CA i vv DC CA v rr I I r rr V V r [25] onde: rv é fator de ondulação de tensão, e ri é o fator de ondulação de corrente. Observe que para uma tensão (ou corrente) com forma de onda puramente alternada, o fator de ondulação é infinito, e para uma tensão (ou corrente) com forma de onda cons- tante, o fator de ondulação é nulo. 6. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM CIRCUITOS LINEARES COM CORRENTES E TENSÕES PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier das equações [22]. A potência instantânea nos terminais deste dipolo será dada pelo produto v.i. A potência média (ou eficaz) deste dipolo será, portanto: ( ) ( )∫ ∑∑ ∫∫ + ∞ = ∞ = ++ ++ ++= == Tt t n inpnDC n vnpnDC Tt t Tt t dttnIItnVV T P dtiv T dtp T P 0 0 0 0 0 0 11 .sen..sen 1 .. 1 . 1 θωθω [26] Tendo em vista que os termos em seno e os termos com produto de senos de freqüências distintas possuem integrações nulas em um período, tem-se o seguinte resultado para a equação anterior: 17 ( ) ( ) onde cos.. cos..cos 2 . . 1 11 invnnn n nnDCDC invn n nnDCDCinvn n pnpn DCDC IVIVP IVIV IV IVP θθϕϕ θθθθ −=+= −+=−+= ∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = [27] A equação [26] mostra que a potência média (eficaz) total é a soma das potências mé- dias obtidas a partir da interação de correntes e tensões com a mesma freqüência; cor- rentes e tensões com freqüências diferentes não interagem para produzir potência média (eficaz). Da mesma forma que é definida para circuitos com tensões e correntes senoidais, defi- ne-se também a potência aparente para circuitos com tensões e correntes periódicas não senoidais como sendo o produto da tensão rms (eficaz), com a corrente rms (eficaz), conforme a equação abaixo: ∑∑ ∞ = ∞ = +⋅+=⋅= 1 22 1 22 n nDC n nDCRR IIVVIVS [28] Convém chamar atenção aqui que o termo potência eficaz, refere-se à potência média, isto é, o valor médio da potência instantânea, ao passo que os termos tensão e corrente eficazes referem-se aos valores rms da tensão e da corrente. A partir das equações [27] e [28], determina-se o fator de potência, que é definido como sendo a relação entre a potência média (eficaz) e a potência aparente, conforme a equa- ção abaixo: ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = +⋅+ + = == 1 22 1 22 1 cos.. . n nDC n nDC n n nnDCDC RR IIVV IVIV fp IV P S Pfp ϕ [29] Observe da equação [29], que quando as formas de onda de corrente e tensão não são senoidais, o fator de potência não pode ser igualado a cos(ϕ), onde ϕ é o ângulo da im- pedância do circuito. 6.1. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA QUANDO UMA DAS FORMAS DE ONDA (TENSÃO OU CORRENTE) FOR SENOIDAL. É muito comum em circuitos de eletrônica de potência ocorrer que uma da formas de onda, geralmente a tensão, de um determinado dipolo seja senoidal, enquanto que a cor- rente do mesmo é periódica, mas não senoidal. Neste caso, as equações dos itens anteri- ores podem ser simplificadas conforme apresentado a seguir. 18 Seja um dipolo, cujas formas de onda de tensão e corrente possam ser representadas pelas equações abaixo: ( ) ( )∑ ∞ = ++= += 1 11 .sen .sen n inpnDC vp tnIIi tVv θω θω [30] Então, o cálculo da potência média (equações [26] e [27]) se reduz a: 111 cos. ϕIVP = [31] Logo, pode-se observar que apenas o componente de primeiro harmônicoda corrente é responsável pela potência média (eficaz). Os demais componentes, tanto o DC, quanto os harmônicos não produzem potência média. A potência aparente do dipolo será dada então por: ∑ ∞ = +⋅=⋅= 1 22 11 n nR IIVIVS DC [32] O fator de potência, neste caso, é determinado pela equação abaixo: ( ) ( ) ( )senoidais correntes para 11 cos coscos. 1 22 1 1 1 22 11 1 111 =≤ + = ⋅= + = ⋅ == ∑ ∑ ∞ = ∞ = δδ ϕδϕϕ n n n n R II I II I IV IV S Pfp DC DC [33] Quando a forma de onda da corrente possuir componente DC (médio) nulo, as equações da potência aparente e do fator de potência podem ser reescritas conforme a seguir: ( ) ( ) Harmônico Distorção de Fator :FDH 1 cos coscos. 1 2 1 1 1 2 11 1 111 1 2 11 ≤= ⋅== ⋅ ⋅ == ⋅=⋅= ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = n n n n R n nR I IFDH FDH I I IV IV S Pfp IVIVS ϕϕϕ [34] 19 Pode-se, então, desenvolver-se a expressão da potência aparente. ( ) 221 2 22 1 2 11 2 . DSIVIVS n n += ⋅+= ∑ ∞ = [35] onde: S1 é a potência aparente de primeiro harmônico D é denominada de potência de distorção harmônico A potência aparente S1 é a potência aparente para formas de onda senoidais e pode ser escrita em termos da potência média (ativa ou eficaz) e da potência reativa, ambas de primeiro harmônico. ( ) ( )1111 1111 2 1 2 1 2 1 sen. cos. ϕ ϕ IVQ IVP QPS = = += [36] Logo, a equação [35] pode ser reescrita conforme a equação [37], mostrando que a po- tência aparente total é composta de um componente de potência ativa, devido ao primei- ro harmônico, um componente de potência reativa devido ao primeiro harmônico, e um componente de distorção harmônica, devidos aos demais harmônicos de corrente. 22 1 2 1 2 DQPS ++= [37] A equação [37] define um tetraedro de potências, ao invés de um triângulo de potências como é o caso de circuitos com formas de onda puramente senoidais. D S S1 P1 Q1 20 A -A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi A -A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi Série de Fourier de algumas formas de onda ------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- ++++++++++++++++==== ...ωt)(ωt)(ωt)(t( pi A tf 7sen 7 15sen 5 13sen 3 1)sen4)( ωω ++++++++++++++++++++==== ...)7cos(2)7( 1)5cos(2)5( 1)3cos(2)3( 1)cos(2 4 2 )( ttttAAtf ωωωω pi ω ++++++++−−−−++++−−−−==== ...)5sen( 5 1)4sen( 4 1)3sen( 3 1)2sen( 2 1)sen(2)( tttttAtf ωωωωω pi ω 21 A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi meio ciclo de senóide A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi−2pi−2pi−2pi−2pi 3pi3pi3pi3pi 2αααα αααα ------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi meio ciclo de senóide −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−++++==== ...)8cos( 97 2)6cos( 75 2)4cos( 53 2)2cos( 31 2)sen( 2 1)( tttttAtf ωωωωωpi pi ω ++++ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−==== ...)8cos( 97 2)6cos( 75 2)4cos( 53 2)2cos( 31 212)( ttttAtf ωωωω pi ω ++++−−−−++++−−−−−−−−==== ... 4 4cos4sen 3 3cos3sen 2 2cos2sen 1 cossen22)( αααααααα pipi α ω AA tf 22 A ωωωωt0 2pi2pi2pi2pi−2pi−2pi−2pi−2pi−4pi−4pi−4pi−4pi ------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- A ωωωωt0 2pi2pi2pi2pi−2pi−2pi−2pi−2pi 4pi4pi4pi4pi ++++++++++++++++++++==== )...5sen( 5 1)4sen( 4 1)3sen( 3 1)2sen( 2 1)sen( 2 )( tttttAAtf ωωωωω pi ω ++++++++++++++++−−−−==== )...5sen( 5 1)4sen( 4 1)3sen( 3 1)2sen( 2 1)sen( 2 )( tttttAAtf ωωωωω pi ω A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi −pi−pi−pi−pi −2pi−2pi−2pi−2pi -A ++++++++++++++++++++−−−− ++++ ++++++++++++++++++++==== )...11sen( 11 1)9sen( 9 1)7cos( 7 1)5cos( 5 1)3cos( 3 1)sen(2 ...)9sen(2)9( 1)7cos(2)7( 1)5cos(2)5( 1)3cos(2)3( 1)cos(2 4)( tttttt A ttttt A tf ωωωωωω pi ωωωωω pi ω 23 (pi+δ) / 2(pi+δ) / 2(pi+δ) / 2(pi+δ) / 2 A ωωωωt0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi -A δδδδ (pi−δ) / 2(pi−δ) / 2(pi−δ) / 2(pi−δ) / 2 ------------------------------------------------------------------------- αααα A ωωωωt 0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi −pi−pi−pi−pi −2pi−2pi−2pi−2pi -A ββββ senóide [[[[ ]]]] ∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== ++++ ++++−−−−++++ ++++ −−−− −−−−−−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅++++ ++++∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== ++++ ++++−−−−++++ ++++ −−−− −−−−−−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅++++ ++++⋅⋅⋅⋅ −−−− ++++−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++−−−−==== 2 ).sen( )1( ])1sen[(])1sen[( )1( ])1sen[(])1sen[( 2 2 ).cos( )1( ])1cos[(])1cos[( )1( ])1cos[(])1cos[( 2 )sen( 2 )2sen()2sen()( 2 )cos()(2sen)(2sen 2 )cos()cos( 2 )( n tn n nn n nnA n tn n nn n nnA t A t AA tf ω βααβ pi ω βαβα pi ω βα αβ pi ωαβ pi βα pi ω (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ++++ ++++ ++++ ++++ ⋅⋅⋅⋅==== ...7sen2 7 sen5sen2 5 sen3sen2 3 sensen2sen 4)( tttt n A tf ωδωδωδωδ pi ω 24 Forma de onda de um inversor trifásico (Seis pulsos - 3 semicondutores em condução simultânea) Série de Fourier Forma de onda de um inversor trifásico (Seispulsos - 2 semicondutores em condução simultânea) V pipipipi 2pi2pi2pi2pi 3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi -V ωωωωt 2V/3 V/3 -2V/3 -V/3 ABV ACV CAV ANV BNV CNV ++++⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== 6 sen 6 cos 4 1 pi ω pi pi tn n n V n ABV (((( ))))tnn n V n ω pi pi sen 6 cos 3 4 1 ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== ANV 25 Série de Fourier V pipipipi 2pi2pi2pi2pi 3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi -V ωωωωt V/2 ABV ANV BNV CNV -V/2 ++++⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== 6 sen 6 cos 2 1 pi ω pi pi tn n n V n ANV ++++⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== 3 sen 6 cos 34 1 pi ω pi pi tn n n V n ABV
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