MÓDULO 2. SISTEMAS LINEARES

Prévia do material em texto

04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/26
 
 
Conteúdo 1. Sistemas Lineares. Introdução.
 
Considere o problema a seguir:
“Marcelo comprou um cd player e uma antena para o seu carro, gastando no total 1.500 reais. Quanto ele pagou por cada um dos produtos?”
Apenas com esta informação “Marcelo comprou um cd player e uma antena para o seu carro, gastando no total 1.500 reais”, podemos encontrar
várias soluções, veja a seguir:
Se x é o valor pago pelo cd player e y é o valor pago pela antena, então temos que x+y=1500 reais.
Pagou 1200 reais pelo cd player e 300 reais pela antena (1200+300=1500), ou 800 reais pelo cd player e 700 reais pela antena (800+700=1500),
ou 1152 reais pelo cd player e 348 reais pela antena (1152+348=1500), ou...
Veja o que acontece se acrescentarmos mais uma informação ao problema:
Sabendo que o cd player custou o triplo da antena, quanto ele pagou por cada um dos produtos?”
Se o cd player custou o triplo da antena, então temos que x=3y.
Sendo assim a solução do problema é: Marcelo gastou 1125 reais no cd player e 375 reais na antena. (Encontramos assim uma única solução para
o problema).
A informação “Marcelo comprou um cd player e uma antena para o seu carro, gastando no total 1.500 reais” fornece apenas uma equação linear
com duas incógnitas (x: valor do cd player e y: valor da antena)
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/26
 
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/26
 
 
Conteúdo 2. Classificação do sistema linear e Resolução de sistemas lineares por escalonamento.
 
 
Classificação:
Ø Sistema Possível e Determinado: (SPD) possui uma única solução.
Ø Sistema Possível e Indeterminado: (SPI) possui infinitas soluções.
Ø Sistema Impossível: (SI) não possui solução.
 
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 4/26
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 5/26
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/26
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 7/26
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 8/26
Conteúdo 3. Sistemas Lineares. Problemas.
Considere o seguinte problema:
“A montadora “BRASCAR” produz 3 tipos diferentes de carros, que passam por 3 setores de montagem: motores, lataria e acabamento. O carro
tipo A precisa de 2 horas no setor de motores, 1 hora no setor de lataria e 3 horas no setor de acabamento. O carro B precisa de 1 hora no setor de
motores, 2 horas no setor de lataria e 4 horas no setor de acabamento. O carro C precisa de 3 horas no setor de motores, 3 horas no setor de
lataria e 2 horas no setor de acabamento. Sabendo que o setor de motores trabalha 62 horas por semana, o setor de lataria trabalha 64 horas por
semana e o setor de acabamento trabalha 88 horas por semana, quantos carros de cada tipo a montadora “BRASCAR” é capaz de produzir
semanalmente?”
Para resolver este problema usaremos o que foi aprendido em sistemas lineares, veja a seguir:
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 9/26
Sumarizando as informações em uma tabela, temos:
 
 Carro tipo A Carro tipo B Carro tipo C
Motores 2 1 3
Lataria 1 2 3
Acabamento 3 4 2
 
 
A: número de carros do tipo A
B: número de carros do tipo B
C: número de carros do tipo B
Como o número de horas disponível por semana no setor de motores é de 62 horas semanais, então temos a seguinte equação:
2A+B+3C=62
Como o número de horas disponível por semana no setor de lataria é de 64 horas semanais, então temos a seguinte equação:
A+2B+3C=64
Como o número de horas disponível por semana no setor de acabamento é de 88 horas semanais, então temos a seguinte equação:
3A+4B+2C=88
Com as três equações acima temos um sistema linear:
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 10/26
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 11/26
 
 
Exercício 1:
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 12/26
 
A)
-3
 
B)
-5
 
C)
5
 
D)
3
 
E)
0
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 13/26
C) x+y+z= 5 
C) x+y+z= 5 
C) x+y+z=5 
B) x+y+z=-5 
D) x + y + z = z= 3 + 1 + (-1) = 3 
Exercício 2:
Uma pequena fábrica de móveis produz 3 tipos de armários. Cada um desses armários passa por 3 setores: serralheria,
montagem e acabamento. O setor de serralheria trabalha 17 horas por semana; o setor de montagem trabalha 37 horas
por semana e o setor de acabamento trabalha 25 horas por semana . O armário tipo A precisa de 1hora no setor de
serralheria , 2 horas no setor de montagem e 2 horas no setor de acabamento. O armário tipo B precisa de 2 horas no
setor de serralheria, 5 horas no setor de montagem e 3 horas no setor de acabamento. O armário tipo C precisa de 3
horas no setor de serralheria, 6 horas no setor de montagem e 3 horas no acabamento. Quantos armários de cada tipo a
fábrica é capaz de produzir semanalmente?
 
A)
4 armários tipo A, 5 armários tipo B e 1 armário tipo C.
 
B)
5 armários tipo A, 3 armários tipo B e 2 armários tipo C.
 
C)
7 armários tipo A, 2 armários tipo B e 2 armários tipo C.
 
D)
2 armários tipo A, 6 armários tipo B e 3 armários tipo C.
 
E)
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 14/26
1 armário tipo A, 5 armários tipo B e 4 armários tipo C.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) A= 5 B= 3 C= 2 A+B+C= 10 
Exercício 3:
 
A)
impossível.
 
B)
 possível e determinado.
 
C)
possível e indeterminado com solução {(-z,-z,z)}.
 
D)
admite apenas a solução trivial.
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 15/26
 
E)
possível e indeterminado com solução {(z,2z,5z)}.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Impossível de resolver 
C) x y z = L1 1 1 2 0 L2 2 1 3 0 L2-2*L1 x y z = L1 1 1 2 0 L2 0 -1 -1 0 -y= z y= -z 
Exercício 4:
Um mecânico pretende montar uma determinada máquina, mas para isso ele necessita comprar 3 tipos de peças A, B e C que estão faltando. Se ele
comprar 3 peças do tipo A, 4 peças do tipo B e 2 peças do tipo C, ele gastará R$ 730,00. Se ele comprar 5 peças do tipo A, 1 peça do tipo B e 3 peças
do tipo C, ele gastará R$ 770,00. Se ele comprar 1 peça do tipoA, 5 peças do tipo B e 4 peças do tipo C, ele gastará R$ 1.000,00. Qual o preço de
cada peça?
 
A)
Tipo A: 50 reais, Tipo B: 70 reais e Tipo C: 150 reais.
 
B)
Tipo A: 40 reais, Tipo B: 80 reais e Tipo C: 160 reais.
 
C)
 Tipo A: 10 reais, Tipo B: 50 reais e Tipo C: 150 reais.
 
D)
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 16/26
Tipo A: 150 reais, Tipo B: 80 reais e Tipo C: 50 reais.
 
E)
Tipo A: 60 reais, Tipo B: 70 reais e Tipo C: 150 reais.
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) A= R$50,00 B= R$70,00 C= R$150,00 
Exercício 5:
 
 
A)
O sistema é possível e determinado com solução S={(3, 4, 1)}.
 
 
B)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(z, -2z, z)}.
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 17/26
 
C)
O sistema é impossível.
 
D)
O sistema é possível e determinado com solução S={(2, 1, 3)}.
 
E)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(2y, 3y, 4y)}.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
C) Impossível resolver pois as Linhas 2 e 3 se anulam 
B) y= -2z 
Exercício 6:
 
 
A)
40
 
B)
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 18/26
23
 
C)
39
 
D)
24
 
E)
41
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) x+3y+5z=? 43 
Exercício 7:
Qual é a classificação e a solução do sistema linear abaixo?
 
A)
SPI e S={(7, 3, 1)}.
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 19/26
 
 
B)
SPD e S={(3, 7, 1)}.
 
 
C)
SI e S={ }.
 
 
D)
SPD e S={(9, 4, 1)}.
 
 
E)
SPD e S={(4, 5, 0)}.
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) z= 1 y= 7 x= 3 
Exercício 8:
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 20/26
 
A)
13
 
B)
20
 
C)
25
 
D)
-12
 
E)
24
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) x+y+z=? 13 
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 21/26
Exercício 9:
 
 
A)
O sistema é possível e determinado com solução S={(4,1,0)}.
 
 
B)
O sistema é possível e determinado com solução S={(2,2,0)}.
 
 
C)
O sistema é impossível.
 
 
D)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(y,2y,3y)}.
 
 
E)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(3z,2z,z)}.
 
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 22/26
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 0=-7 (Falso) 
Exercício 10:
 
A)
O sistema é possível e determinado com solução S={(0,0,0)}
 
 
B)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(-5y,y,-2y)}
 
 
C)
O sistema é impossível.
 
 
D)
O sistema é possível e determinado com solução S={(-1,3,1)}
 
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 23/26
 
E)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(6y,2y,3y)}
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
C) -2 0 FALSO 
A) -2 0 FALSO 
C) Linha 3 Zerada com Z igual a 0 
B) Linha 3 Zerada 
Exercício 11:
 
A)
18
 
B)
10
 
C)
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 24/26
14
 
D)
-8
 
E)
15
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) z= 2 y= 3 x= 13 x+y+z= 18 
Exercício 12:
 
A)
O sistema é possível e determinado com solução S={(3, 1, 2)}.
 
B)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(x, 2x, 3x)}.
 
C)
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 25/26
O sistema é impossível.
 
D)
O sistema é possível e determinado com solução S={(5, 1, 3)}.
 
E)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(2y, 3y, 4y)}.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) x y z = L1 1 -1 1 4 L2 0 -3 6 6 L3 0 0 0 -3 FALSO 
Exercício 13:
 
A)
O sistema é possível e determinado com solução S={(3, 4, 1)}.
 
B)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(x, 2x, 3x)}.
 
04/04/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 26/26
 
 
C)
O sistema é impossível.
 
D)
O sistema é possível e determinado com solução S={(2, 1, 3)}.
 
E)
O sistema é possível e indeterminado com solução S={(2y, 3y, 4y)}.
 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) z= 1 y= 4 x= 3