Dominios e Curvas de Nível

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Ana´lise Matema´tica II
2017/2018
Prof. Telma Guerra Santos
Ficha 1 : Domı´nios e curvas de n´ıvel
Objetivos
· Ca´lculo de domı´nios de func¸o˜es reais de varia´vel vetorial e sua representac¸a˜o
geome´trica;
· Representac¸a˜o de curvas de n´ıvel;
· Utilizac¸a˜o das curvas de n´ıvel em exerc´ıcios concretos de aplicac¸a˜o.
Exerc´ıcios de treino....
1. Determine anal´ıtica e graficamente, quando poss´ıvel, o domı´nio das se-
guintes func¸o˜es:
(a) f(x, y) = 1
x+2y
;
(b) f(x, y) =
√
1
x+2y
;
(c) f(x, y) = 3
√
1
x+2y
;
(d) f(x, y) =
√
x2 − y − 1;
(e) f(x, y) = ln(x2 − y − 1);
(f) f(x, y) =
√
y − x2 +√2x− y;
(g) f(x, y) = ln(x2 + y2);
(h) f(x, y) = e
√
y−x + lnx;
(i) f(x, y) =
√
x2+y2−9
ln(x+y)
;
(j) f(x, y) = tan
(
x2
y
)
;
(k) f(x, y) =
√
xy;
(l) f(x, y) = 3x
2
x2+y2
.
2. Determine o domı´nio das func¸o˜es que se seguem e trace algumas das
suas curvas de n´ıvel.
1
(a) f(x, y) = x + y;
(b) f(x, y) = x2 + y2;
(c) f(x, y) = x2 − y2;
(d) f(x, y) =
√
1− x2 − y2;
(e) f(x, y) = 1−√x2 + y2;
(f) f(x, y) = ln(x
2
9
+ y2).
3. Considere a func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R definida por f(x, y) = ln(ex+y − 1).
(a) Determine o domı´nio D e represente geometricamente o conjunto. Des-
creva, anal´ıticamente, as curvas de n´ıvel do gra´fico de f ;
(b) Escreva a equac¸a˜o da curva de n´ıvel de f que passa no ponto (−2, 3) e
da curva de n´ıvel que passa pelo ponto (8, 2).
Exerc´ıcios de aplicac¸a˜o....
4. Uma chapa plana de metal esta´ situada no plano xoy, de modo a que
a temperatura T (em oC) no ponto (x, y) seja inversamente proporcional a`
distaˆncia a` origem.
(a) Descreva as curvas isote´rmicas;
(b) Sendo a temperatura no ponto P = (4, 3) de 40oC, determine a equac¸a˜o
da curva isote´rmica para uma temperatura de 20oC.
5. De acordo com a lei dos gases ideais, a pressa˜o P , o volume V e a
temperatura T de um ga´s confinado esta˜o relacionados pela fo´rmula
PV = kT,
para uma dada constante k. Expresse P em func¸a˜o de V e de T e descreva
as curvas de n´ıvel associadas a esta func¸a˜o. Qual o significado f´ısico dessas
curvas de n´ıvel?
2