3listacal2T01T022010 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DEMAT/ICE/UFRRJ, Prof.Orlando
3a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II-IC 242-T01/T02
1. (Problema de crescimento) Seja N(t) a quantidade de substaˆncia (ou pop-
ulac¸a˜o) em processo de crescimento ou decrescimento onde t e´ o tempo, e,
admita que a taxa de variac¸a˜o e´ proporcional a` quantidade de substaˆcias pre-
sentes, enta˜o formula-se o problema matema´tico
dN(t)
dt
= kN(t)
N(0) = N0
onde k e´ uma constante e N(0) = N0 e´ a quantidade de substaˆncias presentes
no in´ıcio do processo. Baseado neste problema, responda as questo˜es a seguir:
(a) Sabe-se que a populac¸a˜o de certo estado cresce a uma taxa proporcional
ao nu´mero presente de habitantes. Se apo´s dez anos a populac¸a˜o triplicou
e se apo´s vinte anos a populac¸a˜o e´ de 150.000 pessoas, determine o nu´mero
inicial N0 de habitantes no estado. Resposta: N0 = 16.620
(b) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional a` quantidade
presente. Se inicialmente ha´ 100 miligramas e se, apo´s dois anos, 5%
do material decaiu, determine a expressa˜o para a massa m(t) em um in-
stante t e o tempo necessa´rio para o decaimento de 10% do material.(Aqui
m(t)=N(t)) Resposta: m(t) = 100e−0,026t e t = 4, 05 anos.
2. (Variac¸a˜o de temperatura) Considere um modelo simplificado para o fenoˆmeno
da variac¸a˜o de temperatura num corpo por perda de calor para o meio ambi-
ente, fazendo as seguintes hipo´teses:(i) a temperatura T e´ a mesma em todo
o corpo e depende apenas do tempo t, (ii) Seja T (t)a mesma em todo o meio
ambiente, (iii) o fluxo de calor atrave´s das paredes do corpo, dado por dT
dt
e´
proporcional a` diferenc¸a entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente,
assim T (t) satisfaz a EDO
dT (t)
dt
= −k(T − Ta)
T (0) = T0, (T0 e´ a temperatura inicial do corpo, suposta conhecida)
onde k e´ uma constante positiva que depende de propriedades f´ısicas do corpo.
(a) Um corpo a` temperatura de 500C e´ colocado ao ar livre onde a temper-
atura e´ 1000C. Se, apo´s 5 minutos, a temperatura do corpo e´ de 600C,
determine o tempo t necessa´rio para que o corpo atinja a temperatura de
750C e determine tambe´m a temperatura T do corpo apo´s 20 minutos.
Resposta: 15, 4 min; 79, 50C.
1
(b) Um corpo com temperatura desconhecida e´ colocado em um quarto que
e´ mantido a` temperatura constante de 300C. Se, apo´s 10 minutos, a
temperatura do corpo e´ 00C e apo´s 20 minutos e´ 150C, determine a
temperatura inicial T0 do corpo. Resposta: T0 = −300C
(c) Um corpo a 1000C e´ posto numa sala de temperatura desconhecida, mas
que e´ mantida constante. Sabendo que apo´s 10minutos o corpo esta´ a
900C e apo´s 20 minutos a 820C, calcule a temperatura na sala. R: 500C
(d) Uma barra de ferro, previamente aquecida a 12000C, e´ resfriada em um
tanque de a´gua mantida a` temperatura constante de 500C. A barra resfria
2000 no primeiro minuto. Quanto tempo levara´ ate´ que a barra resfrie
outros 2000C? Resposta: Mais 1, 24 min.
3. Seja A0 a quantidade de dinheiro aplicada a uma taxa de k%, computados
continuamente. Se A(t) representa a quantidade de dinheiro ao final de t
anos, temos a seguinte formulac¸a˜o para calcular A(t):{
d
dt
A(t) = k
100
A
A(0) = A0
(a) Encontre a fo´rmula para calcular A(t).
(b) Daniele depositou R$5.000, 00 em uma conta que paga juros compostos
continuamente. Admitindo que na˜o haja depo´sitos adcionais ou retiradas,
determine o saldo S da conta de Daniele apo´s sete anos, se a taxa de juros
e´ de 8, 5% durante os quatro primeiros anos e de 9, 25% durante os treˆs
u´ltimos anos.
4. No exerc´ıcio 2 acima, suponha que a temperatura do meio ambiente Ta = Ta(t)
varia com o tempo ao receber ou ceder calor do corpo. Sejam m e ma, respec-
tivamente, as massas do corpo e do meio ambiente e designemos por c e ca os
calores espec´ıficos do corpo e do meio ambiente. Pela lei da conservac¸a˜o da
quantidade de calor, tem-se
mc(T0 − T (t)) = maca(Ta(t)− Ta,0)
onde T0 = T (0) e Ta,0 = Ta(0). Enta˜o isolando Ta(t) nesta equac¸a˜o e substi-
tuindo na edo do exerc´ıcio 2, obte´m-se a edo linear{
dT (t)
dt
+ k(1 + A)T = k(Ta,0 − AT0)
T (0) = T0
2
(a) Encontre a soluc¸a˜o da edo.
(b) Qual deve ser a temperatura da a´gua para que um corpo a 1000C nela
imerso venha a uma temperatura de 300C em meia hora? Sabe-se que
o corpo e´ de ferro( calor espec´ıfico 0, 113calg−1(0C)−1) e tem massa de
500 g, enquanto a a´gua( calor espec´ıfico 1 ) tem massa 4000g. Assuma
k = 0, 05.
5. (Mistura salina) Um tanque conte´m inicialmente 100 gal(galo˜es) de salmora,
na qual 50 l(litros) de sal esta˜o dissolvidos. Uma salmora contendo 2 l/gal
de sal e´ despejada no tanque a uma taxa de 5 gal/min. A mistura e´ mantida
uniforme ao ser agitada e sai do tanque a uma taxa de 4 gal/min.
(a) A que taxa (litros por minuto) o sal entra no tanque no instante t? R.
10l/min
(b) Qual e´ o volume de salmora no instante t? R. V = (100 + t)gal
(c) A que taxa (litros por minuto) o sal sai do tanque no instante t? R.
4
(
y
100+t
)
l/min
(d) Escreva e resolva o problema de valor inicial que descreve o processo de
mistura. R. dy
dt
= 10 − 4y
100+t
, y(0) = 50 e a soluc¸a˜o e´ y = 2(100 + t) −
150
(1+ t
100
)4
(e) Ache a concentrac¸a˜o de sal no tanque 25 minutos apo´s o in´ıcio do proces-
so. R. Concentrac¸a˜o= y(25)
qtde. de salmora no tanque
= 188,6
125
≈ 1, 5l/gal.
6. Encontre uma func¸a˜o r(x) de modo que y = sen(lnx), x > 0, seja soluc¸a˜o da
edo:
d
dx
[r(x)y′] +
y
x
= 0 Resposta: r(x) = x
7. Resolva as equac¸o˜es diferenciais abaixo:
a) xdy−ydx = 0, b) xy′+y = 3xcos(2x), x > 0, c) (2x−y)dx+(2y−x)dy = 0,
d) (2y4 + x4)dx− (xy3)dy = 0, e) x2y′ − xy = x3 + 4
Respostas: a) y = Cx, b) y =
1
x
[
3
2
xsen(2x) +
3
4
cos(2x) + C
]
,
c) x2 − xy + y2 = C, d) x
8
x4 + y4
= C, e) y = Cx+ x2 − 2
x
8. Seja y1(x) uma soluc¸a˜o de y
′+p(x)y = 0 e seja y2(x) uma soluc¸a˜o do problema
na˜o-homogeˆneo y′+p(x)y = q(x). Mostre que y1(x)+y2(x) tambe´m e´ soluc¸a˜o
do problema na˜o-homogeˆneo.
3
9. Se y0(x) e´ uma soluc¸a˜o da edo linear y
′ + a(x)y = b(x), verifique que:
y1(x) = y0(x) + Ce
−
∫
a(x)dx

tambe´m e´ soluc¸a˜o, para qualquer valor da constante C.
10. Use a reduc¸a˜o de ordem z = y′ para resolver a edo na˜o-linear abaixo:
y′′ = 1 + (y′)2
11. Obtenha as soluc¸o˜es de cada edo abaixo. Em seguida, determine a soluc¸a˜o do
problema de valor inicial com y(0) = 1 e diga os domı´nios de definic¸a˜o das
soluc¸o˜es.
a) y′ =
1 + y
1 + x
, b) y′ =
1 + y2
1 + x2
, c) y′ = (1 + x)(1 + y)
d) y′ − 2xy = x, e) y′ − (tgx)y = cosx
12. Determine se cada edo abaixo e´ exata. Para as exatas, encontre a soluc¸a˜o.
Para as na˜o exatas, verifique se existe um fator de integrac¸a˜o F (x) ou F (y)
que multiplicando a edo a torne exata, em seguida encontre a soluc¸a˜o.
(a) (2x+ 3) + (2y − 2)y′ = 0
(b) (2x+ 4y) + (2x− 2y)y′
(c) dy
dx
= −ax+by
bx+cy
, a, b, c constantes.
(d) dy
dx
= −ax−by
bx−cy
(e) (exseny − 2y)dx+ (excosy + 2cosx)dy = 0
(f) (exseny + 3y)dx− (3x− exseny)dy = 0
(g) (yexycos(2x)− 2exysen(2x) + 2x)dx+ (xexycos(2x)− 3)dy = 0
(h) (xlny + xy)dx+ (ylnx+ xy)dy = 0, x > 0, y > 0
(i) x
(x2+y2)
3
2
dx+ y
(x2+y2)
3
2
dy = 0
13. Determine, sem resolver o problema, um intervalo no qual a soluc¸a˜o do PVI
certamente existe.
(a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x, y(1) = 2
(b) y′ + (tgx)y = senx, y(pi) = 0
4
(c) (4− x2)y′ + 2xy = 3x2, y(−3) = 1
(d) (4− x2)y′ + 2xy = 3x2, y(1) = −3
14. Determine, sem resolver o problema, uma regia˜o do plano xy onde a func¸a˜o
f(x, y) satisfaz ∂f(x,y)
∂y
seja cont´ınua, onde f representa o lado direito das edos.
(a) y′ = x−y
2x+5y
(b) y′ =
√
1− x2 − y2
(c) y′ = (x2 + y2)
3
2
(d) y′ = (cotgx)y
1+y
15. (Equac¸a˜o de Bernoulli) A equac¸a˜ode Bernoulli e´ uma equac¸a˜o diferencial
na˜o-linear da forma
y′ + p(x)y = q(x)yn
(a) Resolva a equac¸a˜o de Bernoulli para n = 0 e n = 1.
(b) Mostre que, se n 6= 0, 1, enta˜o a substituic¸a˜o v = y1−n reduz a equac¸a˜o
de Bernoulli a uma equac¸a˜o linear.
(c) Calcule a soluc¸a˜o geral de x2y′ + 2xy − y3 = 0
(d) Calcule a soluc¸a˜o geral de y′ = (γcosx+τ)y−y3, onde γ e τ sa˜o constantes.
(e) Resolva o PVI y′ + 1
x
y = (cosx)y−2, y(1) = 1
(f) Resolva o PVI x2y′ = xy − y2, y(e) = e
(g) Resolva o PVI y′ + x2y = 1
x2
y4, y(−1) = −2
16. A equac¸a˜o na˜o-linear
y′ + P (x)y +Q(x)y2 = f(x)
e´ conhecida como a equac¸a˜o de Riccati.
(a) Mostre que se y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Riccati, enta˜o a
func¸a˜o z(x) = y2(x)− y1(x) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Bernoulli abaixo
z′ + (P (x) + 2y2(x)Q(x))z −Q(x)z2 = 0
5
(b) Sabendo que y(x) = x e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Riccati
y′ + x3y − x2y2 = 1
determine as demais soluc¸o˜es.
(c) Sabendo que y(x) = x2 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Riccati
y′ = y2 + 2x− x4
determine as demais soluc¸o˜es.
(d) Mostre que a mudanc¸a de varia´vel v = y
′
y
transforma a equac¸a˜o
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
numa equac¸a˜o de Riccati
v′ + α0(x) + α1(x)v + α2(x)v2 = 0
Use este fato para transformar a equac¸a˜o linear xy′′ − y′ − x3y = 0 em
uma equac¸a˜o de Riccati. Encontre uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o de Riccati
e a seguir obtenha a soluc¸a˜o da equac¸a˜o original.
17. Resolva o problema de valor inicial
y′ + 2y = g(x), y(0) = 0
onde g(x) =
{
1, 0 ≤ x ≤ 1,
0, x > 1
A soluc¸a˜o e´ cont´ınua em x = 1?
18. Mostre que a equac¸a˜o
(cosy)y′ + 2xseny = −2x
pode ser transformada em uma equac¸a˜o linear fazendo a mudanc¸a de varia´veis
z = seny e encontre a soluc¸a˜o geral.
19. Resolva as equac¸o˜es diferenciais abaixo:
a) y′′′−y′′−6y′ = 0, b) y′′−3y′+2y = 0, c) y(4)+5y′′′ = 0, d) 8y′′+4y′+y = 0,
e)
{
y′′ − 4y′ + 5y = 0
y(0) = 1 y′(0) = 5
, f)
{
y′′ − 2y′ + y = 4cos(x)
y(0) = 1 y′(0) = 0
,
6
g)
{
y′′ − 3y′ + 2y = ex − 2e2x + senx , h)
{
y′ + y = 1 + xe2x
y(0) = 1
Respostas: a) y = C1 + C2e
3x + C3e
−2x, b) y = C1ex + C2e2x,
c) y = C1 + C2x+ C3x
2 + C4e
−5x, d) y = e(
−x
4
)[C1cos(
x
4
) + C2sen(
x
4
)],
e) y = e2x(cosx+ 3senx), f) y = ex + xex − 2senx,
g) y =
1
10
senx+
3
10
cosx−xex−2xe2x+C1ex+C2e2x, h) y = −1−e2x+xex+3ex
20. Encontre a soluc¸a˜o da edo y′ − 5y = x2ex − xe5x e mostre que a func¸a˜o
encontrada e´ de fato soluc¸a˜o.
Resposta: y = −1
2
x2e5x −
(
1
4
x2 +
1
8
x+
1
32
)
ex + C1e
5x
21. Encontre uma equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o geral e´ y = c1e
2x + c2e
−3x
22. Encontre uma equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o geral e´ y = c1e
−x
2 + c2e
−2x
23. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial 2y′′ − 3y′ + y = 0, y(0) =
2, y′(0) = 1
2
. Depois, determine o valor ma´ximo da soluc¸a˜o e encontre tambe´m,
o ponto onde a soluc¸a˜o se anula.
24. Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = α, y′(0) = 2.
Depois, encontre α de modo que a soluc¸a˜o tenda a zero quando x→∞.
25. Obtenha a soluc¸a˜o geral das edos de segunda ordem.
(a) y′′ + 2y′ + y = 2xe−x
(b) y′′ − 5y + 6y = e2xxsen(2x)
(c) y′′ + y = secx
(d) y′′ + 2y′ + y = e−xlnx
(e) y′′ + 3y′ + 2y = 1
1+ex
(f) y′′ + 3y′ + 2y = 1
1+senx
7