Exercicios Parga Cap 2

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122 A GEOMETRIA DO Rn 
II.10 – Exercícios 
 
 
1) Procure em uma revista ou jornal impresso um quadro explicativo que, 
retiradas as legendas, obtém-se uma matriz numérica. É possível, para essa 
matriz, relacionar de alguma forma as operações matriciais de adição, 
transposição e multiplicação por escalar? Como? 
 
Considere, para os exercícios 2 a 5 , as seguintes matrizes: 
A = 













1543
1110
1111
1432
 , B = 














4141
2231
0321
2411
 , C = 














11
11
01
11
 , D = 












0
2
1
0
 , E = 












10
8
6
4
 
 
F = 




 
2
1
2
100
0010
 : 
 
2) Faça as seguintes operações, com as matrizes acima: 
a) A + B b) B + A c) AB d) BA e) AC f) AD g) BC 
h) (A + B)C i) A t j) B t k) (AB) t l) B t A t m) A tB t 
n) det A o) det B p) det AB q) det BA r) det A t s) det A-1. 
 
3) Calcule, de existir, A-1 , B-1 , (AB)-1 , (AA)-1 e det B-1. 
 
4) Classifique os sistemas abaixo e obtenha as soluções, se for o caso: 
a) A X = D b) A X = E c) B X = D d) B X = E e) C X = D 
f) Resolva os sistemas A X = D e A X = E sem usar escalonamento, usando 
apenas a matriz inversa. 
 
5) Mostre que: 
a) F é uma inversa à esquerda de C. 
b) F não tem inversa à esquerda. 
 
6) Invente um exemplo real em que pode ser usada a multiplicação matricial. 
 
7) Dê exemplo de uma matriz que seja: 
a) Triangular superior. b) Diagonal. c) Simétrica. d) Nula. 
 
8) Quais, dentre as matrizes abaixo, não estão reduzidas por linhas à forma 
escada? Justifique. 
A GEOMETRIA DO Rn 123 
 
a) 












00000
31000
20710
10501
 b) 










000
410
302
 c) 










3010
0000
2101
 d) 
















0000
1000
1100
1110
1111
. 
9) Considere a matriz A = 












0501
1000
2210
3421
. Resolva simultaneamente os itens a e b e 
depois use a matriz inversa para resolver o item c. 
a) Encontre, se existir, a inversa da matriz A. 
b) Calcule det A. 
c) Resolva o sistema AX = b, com b t = ( 1 , -1 , -2 , 11 ). 
 
10) Considere as matrizes A = 













8752
0212
4321
2110
 e b = 













4
5
2
2
. 
a) Resolva o sistema AX = b , usando escalonamento. 
b) Calcule a inversa de A. 
c) Resolva o sistema AX = b , usando a inversa. 
d) Calcule det A. 
11) Considere o sistema 











































0
0
1
1
31411
30300
20211
21100
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
 
a) Resolva o sistema acima usando as operações elementares. 
b) Classifique o sistema quanto ao número de soluções. 
c) Existe alguma solução do sistema tal que x1 = 3 e x5 = 0 ? Se existir, 
qual é essa solução ? 
 
12) Dado o sistema 
1
0
1
43
2
2 432
2
432
1
1











xxx
x
xxx
x
x : 
 
a) Resolva o sistema acima indicando as operações usadas e escreva a solução 
matricialmente. Classifique o sistema quanto ao número de soluções. 
124 A GEOMETRIA DO Rn 
b) Obtenha uma solução X = 












4
3
2
1
x
x
x
x
 , de forma que x1 + x2 + x3 + x4 = 1. 
 
13) Resolva os sistemas abaixo usando as operações elementares e classifique-os 
quanto ao número de soluções: 
a) 








33
22
1
421
321
432
xxx
xxx
xxx
 b) 








13
12
1
421
321
432
xxx
xxx
xxx
 
c) 








03
04822
023
5421
54321
5421
xxxx
xxxxx
xxxx
 
 
14) Calcule os determinantes das seguintes matrizes: 
a) A = 













5333
0101
4321
1111
 b) B = 













4433
0101
4321
1111
 c) C = 

















31111
42142
11111
22211
11111
. 
 
15) Calcule os determinantes das seguintes matrizes, usando somente o 
desenvolvimento de Laplace: 
a) A = 















9560
4003
0010
3002
 b) B = 

















321071723
05020
03000
180310
5172117
 c) C = 












110
111
112
. 
 
16) Dadas as matrizes b = 












4
3
2
1
 e A de ordem 4x5, tal que a reduzida por linhas 
à forma escada de A não tem linha nula: 
A GEOMETRIA DO Rn 125 
 
a) Resolva o sistema homogêneo AX = 0 , sabendo-se que 
















2
1
0
1
2
 é uma 
solução desse sistema. 
b) Se 
















9
6
4
2
7
 é solução do sistema AX = b , encontre as demais soluções. 
17) Para cada uma das matrizes abaixo, considere o sistema homogêneo AX = 0: 
 A = 












8642
3210
4321
1111
 , A = 












 3101
1110
4321
1111
 , A = 













11212
11211
01210
 , 
 A = 













210
311
321
012
 e A = 














27
53
11
11
. 
 
 a) Classifique os sistemas quanto ao número de variáveis livres. 
 b) Veja que, em todos os sistemas acima, o número de linhas não nulas da 
matriz reduzida por linhas à forma escada de A mais o número de 
variáveis livres é igual ao número de colunas. 
 c) Observe atentamente a matriz reduzida por linhas à forma escada de A e 
veja que o item b sempre ocorre. 
 
18) Dada a matriz A = 










ihg
fed
cba
 se for aplicada a operação elementar abaixo, 
obtendo a matriz R, calcule os determinantes de A e R e verifique a relação 
entre esses determinantes devido à aplicação da operação: 
a) Operação elementar: L1  L2 e R = 










ihg
cba
fed
. 
b) Operação elementar: L2  k L2 e R = 










ihg
kfkekd
cba
. 
126 A GEOMETRIA DO Rn 
c) Operação elementar: L2  L2 + k L1 e R = 











ihg
kcfkbekad
cba
. 
 
19) Considere as matrizes A = 







31
13
 ,X = 





y
x
 e b = 





2
1
b
b
 : 
a) Mostre que a equação matricial AX = X tem solução X, qualquer que 
seja o número real  . 
b) Por que o sistema AX = b é possível e determinado qualquer que seja a 
matriz b ? 
c) Encontre os números reais  que fazem com que, a equação AX = X , 
para esses valores de  , seja um sistema possível e indeterminado. 
 
20) Considere as matrizes A  Mmxn e Y  Mmx1: 
a) Mostre que as matrizes A A t e A t A são quadradas. 
b) Mostre que as matrizes A A t e A t A são simétricas. 
c) Mostre que: Y t Y = 0  Y = 0. 
d) Mostre que se o sistema A X = 0 é possível e determinado então a 
matriz A t A é invertível. 
e) Se A = 











21
11
11
 , calcule A t A e conclua que A t A é invertível, usando 
o item anterior. 
 
21) Se as matrizes A, B , C e X são quadradas de mesma ordem e invertíveis, 
encontre a matriz X nas expressões: 
a) C X B = A. 
b) A (X B)-1 C = A B-1. 
c) (C t)-1 X t (A-1) t = B. 
 
22) Dada a matriz A = 





2
2
2
2
b
a , determine as condições entre a e b para que: 
a) A matriz A tenha inversa. 
b) A inversa de A seja sua transposta. 
 
23) Encontre os valores de k , para que o sistema 








23
03
32
zkyx
kzyx
kzyx
, seja: 
a) Possível e determinado. 
b) Possível e indeterminado. 
c) Impossível.