aula reta tangente derivada

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RETA TANGENTE 
A equação de uma reta é determinada por 2 pontos. No caso 
da reta tangente , geralmente, é conhecido apenas 1 ponto. 
 
Como determinar a Equação da Reta Tangente à f em um 
ponto? 
Exemplos: Determine a equação da reta tangente à curva 
indicada nos gráficos: 
 
 
a)Y = X2 b)Y = X3 
 
Como determinar a Equação da Reta Tangente á f em um 
ponto? 
 
Y = a x + b 
 b 
a = tg α 
Seja a reta que 
passa por A e B 
Y = m x + b 
 
 y 
a = tg α = 
 
a = coeficiente angular da 
reta tangente 
Assim, se existe e é finito o limite 
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = f(x) 
no ponto de abscissa x0. 
 
Sendo α ângulo que a reta tangente forma com o eixo x, 
temos que 
 
tg α = 
 
RETA TANGENTE 
Definição: Suponhamos que a função f seja contínua em x1. A 
reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0, f (x0) ) é: 
i) A reta passando por P tendo como inclinação m (x0) , 
dada por 
 
 m (x0) = 
 
 se o limite existir; 
RETA TANGENTE 
ii) a reta x = x0 se 
+ 
for + ∞ ou - ∞ 
e 
- 
for + ∞ ou - ∞ 
Derivada da função f 
Exemplo: c) f(x) = tem reta tangente à f em x= 0, é 
uma reta vertical, embora f não é diferenciável em x = 0 
A reta tangente à f em 
x= 0 é 
 x = 0 
No entanto f não é 
diferenciável em x=0. 
Exemplo d) função f não diferenciável em x=0 e que não 
existe reta tangente. 
Ex e: F(x) = |x | não é 
diferenciável em x = 0 e não 
possui reta tangente em x = 0 
Ex f: F(x) = não é 
diferenciável em x = 0 mas 
possui reta tangente, x = 0 
Teoremas sobre Derivação 
Teorema 1: Se c for uma constante e se f(x) = c para todo x 
então f’(x) = 0 
Ex: Se f(x) = 5 então f’(x) = 
Teorema 2: Se n for um inteiro positivo e se f(x) = xn 
então f’(x) = n xn-1 
Ex: Se f(x) = x3 então f’(x) = 
 
Teorema 3: Se f for uma função, c uma constante e 
 g a função definida por g(x) = c f(x) 
então, se f’(x) existir, 
 g’(x) = c . f’(x) 
Ex: Se f(x) = 6 x4 então f’(x) = 
 
Observação: O teorema 2 também vale para n < 0 e n  Q. 
Ex: a) f(x) = 1/x5 então f’(x) = a) f(x) = então f’(x) = 
 
1) Já podemos determinar a equação da reta tangente à curva 
indicada nos gráficos dos exemplos do início da aula. 
 
 
a)Y = X2 b)Y = X
3 
 
2) Verifique algébricamente, por que no exemplo c) f(x) = 
não é difrenciável em x=0. 
3) Idem para f(x) = em x=0. 
Continuando Teoremas sobre Derivação 
Teorema 4: Se f e g forem funções e se h for a função 
definida por h(x) = f(x) + g(x) 
 então 
se f’(x) e g’(x) existirem, h’(x) = f’(x) e g’(x) 
Ex: Se f(x) = 5x3 + x então f’(x) = 
Teorema 5: A derivada da soma de um número finito de 
funções é igual a soma de suas derivadas, se elas existirem. 
Ex: Se f(x) = 4 x5 - 2x3 + x - 9 então f’(x) = 
 
Teorema 6: Se f e g forem funções e se h for a função 
definida por h(x) = f(x). g(x) 
 então 
 se f’(x) e g’(x) existirem, h’(x) = f(x). g’(x) + g(x) .f’(x) 
Ex: Se h(x) = (2x3 + x - 5). (2x3 - x + 1) então f’(x) = 
 
Continuando Teoremas sobre Derivação 
Teorema 7: Se f e g forem funções e se h for a função 
definida por h(x) = 
 então 
se f’(x) e g’(x) existirem, h’(x) = 
 
Ex: Se então f’(x) = 
 
2 
Fórmulas Trigonométricas