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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica – CCEN
F´ısica Experimental 1
Apostila 1: Medidas e incertezas
Resumo
Esta apostila apresenta as ideias e objetivos que determinam como expressar resultados de
medidas. Introduzimos aqui os conceitos de algarismos significativos e de incerteza, em especial
aquela associada ao instrumento de medida. Apresentamos regras de propagac¸a˜o de incertezas.
Suma´rio
1 O que significa medir uma grandeza? 2
2 Medida e incerteza 3
2.1 Notac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Regras de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Notac¸a˜o cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza 8
3.1 Exemplos de leitura instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Propagac¸a˜o de incertezas 13
4.1 Propagac¸a˜o de incertezas na soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Composic¸a˜o de fontes independentes de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Propagac¸a˜o de incertezas por linearizac¸a˜o a derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . 18
Apeˆndice A Paqu´ımetro 22
Apeˆndice B Microˆmetro 24
F´ısica Experimental 1
1 O que significa medir uma grandeza?
Voceˆ certamente ja´ sabe de forma intuitiva o que significa medir grandezas f´ısicas. De maneira
formal, uma medic¸a˜o consiste quase sempre em comparar duas quantidades de uma mesma grandeza
(comprimentos, massas, tempos etc), sendo uma delas definida como um padra˜o.
O padra˜o e´ a convenc¸a˜o a definir a quantidade unita´ria de certa grandeza, recebendo sua unidade
uma nomenclatura especial (e.g. metro, grama, segundo etc). Para comparar algo a` convenc¸a˜o aceita
(i.e. medir), utiliza-se um instrumento calibrado pelo padra˜o de medida.
Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui 2 kg de massa, queremos dizer que, dentro
de certa precisa˜o, sua massa corresponde a duas ‘massas-padra˜o’, cuja unidade de medida no sistema
adotado e´ o quilograma, denotada pelo s´ımbolo ‘kg’.
Em toda medida e´ fundamental o uso da unidade da grandeza correspondente, uma
vez que padro˜es dependem de convenc¸o˜es. A convenc¸a˜o mais utilizada atualmente e´ o Sistema
Internacional de unidades (SI), ou sistema me´trico. A tabela 1 mostra algumas unidades do SI.
Grandeza Nome S´ımbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Tabela 1: Exemplos de unidades adotadas no SI.
A maior parte das grandezas envolvidas na descric¸a˜o dos fenoˆmenos estudados em F´ısica Geral 1
e 2 pode ser expressa a partir de apenas treˆs grandezas fundamentais: tempo, comprimento e massa.
Para lhe dar uma noc¸a˜o de como sa˜o definidas as unidades no SI, explicitamos algumas abaixo:
• Segundo: o tempo que um iso´topo espec´ıfico do a´tomo de ce´sio leva para realizar 9 192 631 770
oscilac¸o˜es entre duas configurac¸o˜es eletroˆnicas internas definidas.
• Metro: a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo na frac¸a˜o de 1 / 299 729 458 de um segundo
(i.e. a velocidade da luz e´ definida como exatamente 299 729 458 m/s).
• Quilograma: a massa de um cilindro de platina-ir´ıdio depositado no Biroˆ Internacional de Pesos
e Medidas, em Se`vres, Franc¸a.
Um bom padra˜o de medida e´ hoje entendido como algo robusto que pode ser verificado com alta
precisa˜o atrave´s de experimentos locais em qualquer parte do mundo.
Da´ı a prefereˆncia por padro˜es definidos por constantes fundamentais da natureza, como a veloci-
dade da luz, ou quantidades adimensionais, como o nu´mero de oscilac¸o˜es de um a´tomo.
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Apostila 1: Medidas e incertezas
2 Medida e incerteza
Uma medida determina o valor de uma grandeza f´ısica nas unidades convencionadas.
Presume-se que, independentemente do ato de medir, exista um valor verdadeiro associado a`
grandeza, e que a medida seja um processo de mera extrac¸a˜o dessa informac¸a˜o.
O valor verdadeiro e´ o ideal do romantismo experimental: possui precisa˜o infinita e, por isso,
jamais pode ser atingido. Afinal, toda valor medido deve possuir um nu´mero finito de algarismos (caso
contra´rio, precisar´ıamos de memo´ria infinita para denota´-lo, ale´m de outros problemas), implicando
numa du´vida fundamental sobre onde exatamente esta´ o valor verdadeiro.
Como na˜o podemos evitar essa fonte de du´vida, precisamos ser realistas e inclui-la como algo
intr´ınseco a todo resultado de medida: toda medida deve, enta˜o, possuir uma incerteza. Isso
implica que, ao contra´rio do nosso ideal de valor verdadeiro, uma medida real na˜o e´ representada por
um valor pontual, mas por um intervalo!
A incerteza denota o intervalo de confianc¸a em que o(a) experimentador(a) garante como
correto o resultado da medida, ou, de forma complementar, o quanto o valor mais confia´vel obtido
pela medida pode diferir do valor verdadeiro. A incerteza e´ sempre denotada por um nu´mero positivo.
Para expressar corretamente o resultado de uma medida, e´ preciso fornecer, ale´m
do valor obtido para a grandeza, tambe´m sua incerteza e sua unidade de medida. Isso
ocorre porque o resultado de uma medida na˜o e´ um valor pontual, mas um intervalo.
2.1 Notac¸a˜o
A notac¸a˜o e´ uma forma econoˆmica de comunicar todas as informac¸o˜es relevantes de um
resultado de medida. Ela reu´ne em poucos s´ımbolos o valor mais confia´vel da grandeza, sua
incerteza e sua unidade.
O valor mais confia´vel representa nossa melhor estimativa para o valor verdadeiro, sendo a
primeira informac¸a˜o a aparecer na notac¸a˜o. A incerteza, colocada apo´s o simpa´tico s´ımbolo ‘±’,
denota o quanto esse valor pode variar para mais ou para menos.
Tomemos como exemplo a grandeza m, cujo resultado de medida seria denotado assim:
m = M ± σM . (1)
Na notac¸a˜o acima, M e´ o valor mais confia´vel (e.g. a leitura do instrumento de medida), e σM ,
sua incerteza, representa o quanto esse valor pode ter sido subestimado ou superestimado.
Em outras palavras, a Eq. (1) comunica que m vale com alta confianc¸a algo entre M − σM e
M + σM , sendo o nu´mero M a estimativa mais razoa´vel da grandeza m na opinia˜o de quem realizou
a medida. O resultado de medida e´ sempre um intervalo finito com tamanho na˜o-nulo.
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F´ısica Experimental 1
Mas aqui voceˆ ja´ comec¸a a perceber a terminologia que confunde os na˜o-iniciados na arte da
medida: quanto e´ ‘alta confianc¸a’? Ou: o que e´ ‘razoa´vel’? Tudo isso ficara´ mais claro na Apostila
2, quando utilizaremos distribuic¸o˜es de probabilidade para dar sentido estat´ıstico a essas afirmac¸o˜es.
Por enquanto, basta voceˆ usar o ‘bom senso’ (ooops, mais um conceito dif´ıcil de definir...) tendo
sempre em mente os princ´ıpios guiadores da tarefa de medir coisas: fornecer resultados claros
e com informac¸a˜o completa tal que outras pessoas possam repetir seu experimento e
obter resultados compat´ıveis com o seu.
Pode ocorrer em alguns casos de a incerteza ser assime´trica em torno do valor de maior confianc¸a,
caso em que a expressa˜o acima deve ser escrita como
m = M
+σM+
−σM
−
. (2)
Isso significa que o valor mais confia´vel para m continua a ser M , no entanto a incerteza da medida
permite que o valor verdadeiro da grandeza esteja com alta confiabilidade entreM−σM
−
eM+σM+ .
2.1.1 Nu´mero de algarismos significativos
A incerteza na medic¸a˜o implica que na˜o faz sentido representar resultados de medida por valores
nume´ricos com tantos algarismos quanto se queiram: a precisa˜o nume´rica so´ possui significado
se compat´ıvel com a precisa˜o da medida.
Os algarismosque de fato guardam sentido sa˜o chamados algarismos significativos. E´ mesmo
um erro muito comum expressar o valor de medidas com mais algarismos do que permitido por sua
incerteza ou pelo contexto: a forma correta de escrita deve indicar ate´ que casa decimal o
valor nume´rico da grandeza e´ confia´vel.
Tomemos um exemplo corriqueiro. E´ comum encontrar placas informativas de altitude de cidades
num formato tal como “729,8756 m” com relac¸a˜o ao n´ıvel do mar. A notac¸a˜o utilizada aponta
nada menos do que 7 algarismos significativos.
Faz sentido empregar tal precisa˜o nesse caso? Claro que na˜o! Bem, a medida em si certamente
na˜o possui precisa˜o de 0,1 mm (o diaˆmetro de um fio de cabelo!) em 730 m; ale´m disso (e mais
importante), a pro´pria ide´ia na˜o faz sentido, pois a altitude de uma cidade inteira varia muito
mais do que isso em seu interior. Para uma placa desse tipo, seria ja´ exagerado denotar a altitude
como 730 m, sendo mais razoa´vel escreveˆ-la simplesmente como 0,7 km ou 0,73 km.
Quando na˜o explicitada, a incerteza numa medida deve ser entendida como igual a uma unidade
em seu algarismo de menor valor no posicionamento decimal1. No entanto, iremos expressar
incertezas explicitamente na maior parte das vezes, e voceˆ deve tentar fazer isso sempre.
1Segundo o exemplo acima, a notac¸a˜o empregada na placa nos leva a entender a altitude da cidade como sendo
igual a 729,8756±0,0001 m, claramente um absurdo.
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Apostila 1: Medidas e incertezas
2.1.2 Nu´mero de algarismos significativos na incerteza
A mesma filosofia do que possui ou na˜o significado deve ser utilizada para escolher o nu´mero de
algarismos usados para denotar a pro´pria incerteza. Por exemplo, na˜o faria sentido escrever
730,4± 8,3 m, (3)
tendo em vista o significado dos algarismos representados: se o algarismo ‘0’ ja´ esta´ incerto em ate´
8 unidades, qual e´ o sentido de dizer que ha´ 3 unidades de incerteza no algarismo a` sua direita, que
possui valor posicional 10 vezes menor? Como o erro no algarismo mais a` direita esta´ contido muitas
vezes no erro do algarismo mais a` esquerda, na˜o faz sentido denota´-lo.
Como regra geral, convencionamos neste curso utilizar apenas 1 algarismo significa-
tivo na incerteza.
No entanto, apesar de nossa convenc¸a˜o, um caso especial digno de nota ocorre quando a incerteza
possui ‘1’ ou ‘2’ como primeiro algarismo, caso em que e´ correto denotar a incerteza com dois
algarismos significativos. Por exemplo, apesar de neste curso perferirmos a forma
730± 3 m (4)
em lugar de
730,0± 2,8 m, (5)
ambas esta˜o corretas e sa˜o encontradas na literatura cient´ıfica.
A escolha por dois algarismos significativos visa evitar que a imprecisa˜o da incerteza seja excessiva
nesses casos especiais. Por exemplo, se σ = 2 m, utilizar apenas 1 algarismo na notac¸a˜o indicaria
implicitamente que a incerteza poderia ser qualquer coisa entre σ = 1 m e σ = 3 m, i.e. uma
variac¸a˜o de ≈ 50%.
O problema esta´ nesse valor de imprecisa˜o ser excessivo quando comparado aos casos em que
o algarismo mais a` esquerda e´ maior do que 3, implicando em falta de uniformidade. De fato,
se tive´ssemos σ = 8 m, a mesma regra implica dizer que algo entre σ = 7 m e σ = 9 m seria
aceita´vel: nesses casos, pore´m, a imprecisa˜o da incerteza e´ de apenas ≈ 10%.
Assim, a convenc¸a˜o de se utilizar apenas 1 algarismo significativo na incerteza torna o erro relativo
na incerteza irrealisticamente grande nos casos em que o primeiro algarismo de σ e´ ‘1’ ou ‘2’.
Para evitar ser ta˜o pessimista, denota-se a´ı o segundo algarismo da incerteza.
No exemplo acima, se a incerteza de medida passa a ser enunciada como σ = 2,1 m, entende-se
agora que esse valor poderia ser facilmente σ = 2,0 m ou σ = 2,2 m, algo incerto em ≈ 5%.
Assim, a inclusa˜o do segundo algarismo torna mais uniforme a imprecisa˜o relativa da incerteza
em todo o intervalo de valores admitidos.
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F´ısica Experimental 1
2.1.3 Nu´mero de algarismos significativos no valor mais confia´vel
Em todos os exemplos acima, o valor mais confia´vel foi denotado com o mesmo nu´mero de
casas decimais da incerteza. O motivo disso e´ o fato central de que a incerteza fornece a
precisa˜o do valor mais confia´vel.
Para se convencer disso, analise com cuidado o significado da notac¸a˜o: cada algarismo da incerteza
se refere ao algarismo na posic¸a˜o decimal correspondente do valor mais confia´vel, e portanto na˜o faz
sentido denotar um sem o outro!
A incerteza determina como o valor confia´vel deve ser escrito: em outras palavras, a incerteza
fornece o nu´mero de algarismos significativos do valor mais confia´vel.
Como consequeˆncia, note que na Eq. (5) fomos obrigados a manter o algarismo ‘0’ (zero) a` direita
da v´ırgula na notac¸a˜o do valor mais confia´vel, pois e´ tambe´m significativo. Em resultados de
medida, zeros colocados ‘depois da v´ırgula’ possuem significado!
2.2 Regras de arredondamento
Regras de arredondamento sa˜o utilizadas para eliminar da notac¸a˜o algarismos sem significado,
tornando-a clara e sucinta: so´ se enuncia aquilo garantido como significativo – e nada mais.
Vamos adotar as normas da Associac¸a˜o Brasileira de Normas Te´cnicas (ABNT) para os arredon-
damentos nume´ricos, que sa˜o de fato bem intuitivas. A incerteza deve ser arredondada pelas mesmas
regras ate´ atingir 1 algarismo significativo, de acordo com a convenc¸a˜o adotada neste curso.
Regra 1 - Quando o algarismo a ser desprezado for inferior a 5, mante´m-se o algarismo a` sua
esquerda inalterado. Ou seja, ‘arredonda-se para baixo’. Exemplos:
l = 3,4745± 0,0320 m −→ l = 3, 47± 0,03 m,
t = 1,11238± 0,00533 s −→ t = 1, 112± 0,005 s,
m = 9,49075± 1,11111 kg −→ m = 9± 1 kg.
(6)
Regra 2 - Quando o algarismo a ser desprezado for superior a 5 ou igual a 5 seguido por um
algarismo diferente de zero, soma-se a unidade ao algarismo anterior. Ou seja, ‘arredonda-se para
cima’. Exemplos:
l = 3,4751± 0,0290 m −→ l = 3, 48± 0,03 m,
t = 1,11260± 0,00483 s −→ t = 1, 113± 0,005 s,
m = 9,51075± 0,96315 kg −→ m = 10± 1 kg.
(7)
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Apostila 1: Medidas e incertezas
Regra 3 - Quando o algarismo a ser desprezado for igual a 5 seguido de zeros (ainda que impl´ıcitos),
aplica-se a seguinte convenc¸a˜o: se o algarismo anterior for ı´mpar, acrescenta-se uma unidade a ele;
se for par, permanece inalterado.
O arredondamento tem efeito nulo sobre o resultado nume´rico da medida, uma vez que os alga-
rismos desprezados na˜o sa˜o confia´veis.
2.3 Notac¸a˜o cient´ıfica
A notac¸a˜o cient´ıfica e´ uma forma de representac¸a˜o exponencial de nu´meros, dada explicitamente
por M · 10p, em queM e´ a mantissa (por vezes convencionada como um nu´mero entre 1 e 10) e p
e´ a ordem de grandeza do nu´mero.
Esse tipo de notac¸a˜o e´ usado para acomodar de forma compacta nu´meros muito grandes (e.g.
200 000 000 000 = 2 ·1011) ou muito pequenos (e.g. 0,000 000 000 03 = 3 ·10−11). Sua vantagem com
relac¸a˜o a` representac¸a˜o decimal convencional e´ eliminar ambiguidades ou mesmo equ´ıvocos de
notac¸a˜o relacionados ao nu´mero de algarismos significativos.
Na notac¸a˜o cient´ıfica, o nu´mero de algarismos da mantissa e´ igual ao nu´mero de
algarismos significativos da medida.
Por exemplo, a maior distaˆncia observa´vel do universo e´ medida como cerca de
400 000 000 000 000 000 000 000 000 m. Com esse nu´mero na˜o queremos dizer que o tamanho do
universo e´ conhecido com precisa˜o de metros! Nesse caso, a notac¸a˜o cient´ıfica traz a vantagem de
representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, como e.g. 4 · 1026 m, caso
em que a incerteza fica impl´ıcita como afetando ja´ o algarismo 4. Outros exemplos:
2483± 4 s → (2,483± 0,004) · 103s,
0, 00034± 7 m → (3,4± 0,7) · 10−4m.
(8)
Devemos empregar a notac¸a˜o cient´ıficatambe´m para tornar correta a notac¸a˜o da incerteza usando
apenas 1 algarismo significativo. Por exemplo, a forma correta seria escrever:
2 100 000± 1 000 s −→ (2,100± 0,001) · 106 s. (9)
Note que a notac¸a˜o a` esquerda esta´ incorreta se o experimento na˜o for capaz de justificar o fato de
a incerteza ser conhecida com 4 algarismos significativos.
Outra forma de notac¸a˜o comumente encontrada explicita a incerteza como um nu´mero entre
pareˆnteses referente ao u´ltimo algarismo do valor medido, tornando a notac¸a˜o mais econoˆmica:
(2,100± 0,005) · 106 s = 2, 100(5) · 106 s. (10)
7
F´ısica Experimental 1
2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas
A incerteza se torna essencial quando se precisa comparar resultados de medidas diferentes.
Considere um caso extremo como ilustrac¸a˜o. Para valores nume´ricos ideais (infinitamente preci-
sos), provar a igualdade entre eles significar mostrar que sa˜o, na verdade, o mesmo nu´mero: as duas
sequeˆncias infinitas de algarismos a definir cada nu´mero devem coincidir perfeitamente.
Ja´ no caso de resultados de medida, os objetos a serem comparados (valores medidos) na˜o sa˜o
dados por valores pontuais, mas por intervalos com tamanhos dados pela incerteza de medida.
Falar em infinite´simos matema´ticos perde o sentido nesse caso, pois a incerteza nos da´ um nu´mero
t´ıpico de algarismos para o valor da grandeza. Ir ale´m dessa resoluc¸a˜o, como vimos, e´ o mesmo que
adicionar algarismos sem significado ao valor mais confia´vel: na˜o faz sentido.
E´ preciso enta˜o redefinir o que se entende por valores medidos ‘iguais’ ou ‘diferentes’, e considerar,
no lugar disso, a compatibilidade entre eles.
Duas medidas sa˜o compat´ıveis quando seus intervalos de confianc¸a se sobrepo˜em,
definic¸a˜o essa que substitui o conceito matema´tico de igualdade em nosso caso.
De maneira oposta, duas medidas sa˜o incompat´ıveis quando seus valores mais confia´veis
distam entre si de ‘muitas’ unidades de incerteza. O significado de ‘muitas’, conforme veremos
na Apostila 2, sera´ tornado estat´ıstico. Podemos dizer, de forma intuitiva, que incompat´ıveis sa˜o
valores medidos representados por intervalos excludentes.
Outra forma de pensar, u´til em alguns contextos, define compatibilidade de forma negativa: se
dois resultados de medida se sobrepo˜em em suas incertezas, enta˜o na˜o e´ poss´ıvel convencer algue´m
de que sa˜o diferentes: logo, sa˜o compat´ıveis. E vice-versa.
3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza
A primeira fonte de incerteza encontrada ao se fazer uma medida e´ consequeˆncia da precisa˜o do
instrumento de medida, algo intr´ınseco que depende da construc¸a˜o e calibrac¸a˜o do instrumento.
Em geral, instrumentos de medida determinam um certo nu´mero de algarismos sig-
nificativos de maneira exata e, em va´rios casos, permitem que o operador estime um
algarismo adicional por inspec¸a˜o visual. Este u´ltimo e´ chamado de algarismo inexato ou
duvidoso, sendo definido como o algarismo no qual recai a incerteza.
Para utilizar um instrumento corretamente, devemos nos perguntar:
• Quantos algarismos significativos o instrumento fornece?
• Qual a incerteza inerente ao instrumento?
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Apostila 1: Medidas e incertezas
A primeira questa˜o se responde facilmente pela forma de leitura do instrumento. O nu´mero de
algarismos significativos e´ simplesmente igual ao nu´mero de algarismos que se consegue
ler a partir do instrumento.
Esse nu´mero e´ igual ao nu´mero de algarismos exatos (lidos diretamente na escala enumerada ou
mostrador do instrumento) mais o nu´mero de algarismos duvidosos, se existirem (em geral apenas 1
ou 2 algarismos nos quais recai a incerteza).
Adotamos neste curso algumas convenc¸o˜es para estabelecer a incerteza instrumental:
• Se o instrumento permitir a avaliac¸a˜o visual do algarismo duvidoso, a incerteza sera´ tomada
como metade da menor divisa˜o de leitura do instrumento.
• Se o instrumento na˜o permitir a avaliac¸a˜o do algarismo duvidoso, este sera´ considerado como
o u´ltimo algarismo (mais a` direita) da leitura do instrumento; a incerteza sera´ tomada como
igual a 1 na posic¸a˜o desse algarismo.
Em geral, outras fontes de incerteza ira˜o combinar-se a` incerteza inerente ao instrumento,
formando a incerteza total de medida, tratada mais adiante.
3.1 Exemplos de leitura instrumental
Exemplo 1
Considere a re´gua da figura 1 e um bloco retangular do qual desejamos medir o comprimento. A
mı´nima gradac¸a˜o da re´gua e´ dada em cent´ımetros. Isso significa que o fabricante do instrumento nos
garante leitura exata ate´ algarismos que denotem cent´ımetros. Assim, objetos menores do que 1 cm
na˜o podem ser medidos de forma exata com esse instrumento.
Figura 1: Medida de comprimento do bloco com re´gua graduada em cent´ımetros.
Vemos da figura que o comprimento do bloco vale algo entre 3 e 4 cm, afirmac¸a˜o que podemos
fazer de maneira exata. Poder´ıamos escrever como resultado da medida
L = 3,5± 0,5 cm, (11)
o que estaria compat´ıvel com a observac¸a˜o.
No entanto, nesse caso nos furtamos a estimar o valor mais confia´vel. Ale´m disso, o valor encon-
trado e´ pessimista na incerteza, uma vez que o comprimento do bloco e´ certamente maior que 3,1
cm ou mesmo que 3,2 cm, e aparentemente menor que 3,5 cm.
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F´ısica Experimental 1
Em toda medida, devemos estimar o valor mais confia´vel e, se necessa´rio, tambe´m a incerteza.
Uma estimativa visual razoa´vel seria nesse caso L = 3,4 cm, podendo estar entre L = 3,3 cm e 3,5 cm.
Portanto, no limite da precisa˜o visual, obter´ıamos
L = 3,4± 0,1 cm. (12)
Nos resultados acima, o algarismo 3 e´ igualmente obtido em ambos, pois e´ o algarismo exato do
instrumento; ja´ o segundo algarismo na˜o precisa necessariamente concordar entre as medidas pois,
sendo estimado visualmente, e´ o algarismo duvidoso.
Diferentes experimentadores poderiam estimar valores distintos para o algarismo duvidoso. Pore´m,
todas as medidas devem concordar dentro do intervalo de incerteza.
Isso de fato ocorre entre as duas medidas acima, pois seus intervalos de confianc¸a se sobrepo˜em.
A diferenc¸a fundamental entre elas e´ a confianc¸a que o experimentador deposita em seu instrumento
de medida2.
O primeiro resultado e´ mais conservador, pois da´ prefereˆncia a permanecer dentro de margem
mais segura de incerteza, enquanto o segundo utiliza o instrumento de medida ao limite, de forma
a dele extrair o valor mais preciso poss´ıvel. A escolha da margem de incerteza depende muito dos
objetivos da medida, e ambas as formas acima estariam corretas dentro do contexto apropriado.
Neste curso, vamos adotar o crite´rio conservador, tomando como incerteza da medida o valor
igual a` metade do intervalo de menor divisa˜o do instrumento.
Devemos ainda assim estimar o algarismo duvidoso, a fim de estabelecer o valor mais confia´vel
poss´ıvel da medida. Assim, o resultado dessa medida conforme convencionado neste curso seria
L = 3,4± 0,5 cm. (13)
Vemos que a incerteza de medida adotada e´ conservadora, pois denota ser o comprimento real do
bloco algo entre 2,9 cm e 3,9 cm, sendo que temos certeza do valor com maior precisa˜o do que isso.
Nossa convenc¸a˜o busca simplificar a atribuic¸a˜o de incerteza instrumental que, como dito, sempre
guarda certa subjetividade para medidas tomadas visualmente. Embora ela possa parecer pessimista
para uma re´gua graduada em cent´ımetro, a verdade e´ que para gradac¸o˜es mais finas na˜o seria poss´ıvel
estimar visualmente o algarismo duvidoso com tanta precisa˜o, e nossa regra seria menos pessimista.
Note que todas as medidas acima foram enunciadas com dois algarismos significativos, uma vez
que esse e´ o limite do instrumento para objetos com dimenso˜es de cent´ımetros.
2Note que o ‘instrumento de medida’ e´na verdade formado pelo uso composto da re´gua e do instrumento humano
de visa˜o! Por isso a incerteza pode variar de pessoa para pessoa.
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Apostila 1: Medidas e incertezas
Exemplo 2
Considere agora outra re´gua, graduada em mil´ımetros, conforme ilustra a figura 2, e o mesmo
bloco do exemplo anterior. Como a resoluc¸a˜o oferecida pela escala graduada da re´gua e´ maior, o
resultado de medida deve possuir incerteza menor, pois o algarismo duvidoso do exemplo 1 passa a
ser um algarismo exato nesse caso.
Figura 2: Medida de comprimento do bloco com re´gua graduada em mil´ımetros.
A melhor leitura do valor medido, como ja´ discutido, deve ser o nu´mero de unidades lido direta-
mente no instrumento acrescido de uma estimativa visual para a quantidade extra que se encontra
entre marcac¸o˜es do instrumento.
Inspec¸a˜o direta do instrumento nos fornece o comprimento L do bloco entre 3,4 cm e 3,5 cm.
Sendo a menor divisa˜o do instrumento igual a 1 mm, convencionamos associar 0,5 mm como incerteza
instrumental. Supondo que o experimentador estime o algarismo duvidoso como sendo 6, sua melhor
resposta para o comprimento do bloco seria
L = 3,46± 0,05 cm.
Note que agora a medida fornece treˆs algarismos significativos (sendo dois deles exatos) como
consequeˆncia da maior precisa˜o instrumental dispon´ıvel.
Exemplo 3
Vamos investigar neste exemplo o caso em que o instrumento de medida na˜o permite ao ex-
perimentador a estimativa do algarismo duvidoso. Nessas situac¸o˜es, o algarismo duvidoso e´ dado
diretamente a partir da resoluc¸a˜o do mostrador do instrumento.
Figura 3: Mostrador de balanc¸a eletroˆnica.
Considere uma balanc¸a eletroˆnica a medir o valor de uma massa, conforme mostrado na figura 3.
Seu mostrador indica 71 kg. Neste caso, na˜o ha´ como fazer estimativas de algarismos adicionais ale´m
dos impressos na tela, e a incerteza do instrumento e´ providenciada em seu manual. Na auseˆncia do
11
F´ısica Experimental 1
manual, cabe ser pessimista e tomar como incerteza da medida a resoluc¸a˜o do mostrador que, neste
caso, e´ de 1 kg. O resultado da medida e´
m = 71± 1 kg.
Dois algarismos significativos sa˜o fornecidos pelo instrumento. O algarismo duvidoso e´ nesse caso o
u´ltimo algarismo fornecido, sem a possibilidade de estimativas adicionais.
Figura 4: Mostrador de balanc¸a digital.
Suponha que a leitura no painel de uma balanc¸a mais precisa fosse 71,0 kg, como indicado na
figura 4. Ao contra´rio do que pode parecer a` primeira vista, o zero colocado apo´s a v´ırgula na˜o
e´ desnecessa´rio, mas possui significado experimental: o instrumento nos indica que, dentro de sua
incerteza de 0,1 kg, aquele algarismo e´ de fato medido como nulo. Sendo assim, o resultado de medida
passa a ser
m = (71,0± 0,1) kg,
com 3 algarismos significativos, sendo 1 duvidoso.
Finalmente, uma balanc¸a mecaˆnica, com leitura por ponteiro, possuindo a mesma escala de divisa˜o
da balanc¸a digital anterior (0,1 kg), permitiria ainda a estimativa de um algarismo significativo
adicional. O valor convencionado da incerteza e´ metade da menor divisa˜o da balanc¸a, ou seja, 0,05
kg nesse caso. Supondo que o experimentador tenha atribu´ıdo o valor 0 para o algarismo duvidoso
dispon´ıvel, o resultado da medida seria
m = (71,00± 0,05) kg,
com 4 algarismos significativos, dos quais 1 e´ duvidoso.
Exemplo 4
Pode ocorrer de o mostrador de um instrumento eletroˆnico apresentar leituras varia´veis no tempo.
No exemplo acima, a balanc¸a poderia comec¸ar mostrando o valor 71,0 kg para, um segundo depois,
pular para 71,3 kg, retornando mais tarde a` leitura 71,0 kg.
Nesse caso, fica a crite´rio do experimentador decidir como interpretar a leitura do instrumento,
sempre tendo em mente que o objetivo da medida e´ obter o valor mais confia´vel da grandeza dentro
de uma faixa especificada de incerteza.
Algumas pessoas decidiriam tomar a me´dia dos valores extremos e colocar a incerteza como
metade do intervalo de variac¸a˜o da leitura, como 71,15 ± 0,15 kg, o que poderia se tornar 71,2 ±
0,2 kg (note que o arredondamento da incerteza ficou tambe´m a crite´rio do experimentador). Outras
12
Apostila 1: Medidas e incertezas
poderiam notar que o mostrador fica mais tempo no valor 71,0 kg do que em 71,3 kg, e por isso
escolheriam ser mais conservadoras deixando de confiar na u´ltima casa decimal do instrumento para
escrever simplesmente 71± 1 kg.
Em geral, esse tipo de detalhe depende de especificidades de funcionamento do instrumento, e
deve ser checado no manual do equipamento se necessa´rio. Todas as formas de expressa˜o comentadas
estariam corretas se justificadas e serviriam a propo´sitos diferentes.
4 Propagac¸a˜o de incertezas
Em va´rias situac¸o˜es na˜o e´ poss´ıvel medir diretamente a grandeza de interesse. Nesse caso, o
caminho e´ inferir seu valor a partir de medidas das grandezas de que depende (“medida indireta”).
A incerteza da grandeza inferida e´ obtida pela propagac¸a˜o das incertezas das grandezas medidas.
Por exemplo: como medir uma componente da forc¸a agindo sobre um corpo utilizando apenas
instrumentos capazes de medir massa e acelerac¸a˜o? A resposta o´bvia e´ empregar a 2a lei de
Newton, que relaciona essas treˆs grandezas. A incerteza no valor da forc¸a, obtida indiretamente,
dependera´ de qua˜o precisas sa˜o as medidas de massa e acelerac¸a˜o.
Antes de comec¸ar o tratamento mais rigoroso, podemos estabelecer uma regra simples mas po-
derosa para a propagac¸a˜o de incertezas: quando uma grandeza e´ inferida a partir de outras, ela
na˜o pode ser mais precisa do que a mais imprecisa das grandezas de que depende; caso contra´rio,
poder´ıamos usar esse truque para aumentar ao infinito a precisa˜o de qualquer medida!
Esse racioc´ınio indica que o nu´mero de algarismos significativos (precisa˜o da medida) na˜o
pode aumentar, mas apenas se manter ou diminuir, na infereˆncia de novas grandezas.
Atenc¸a˜o: note que o nu´mero de casas decimais e´ irrelevante, pois depende da escolha de
posicionamento da v´ırgula (tornado arbitra´rio pela notac¸a˜o cient´ıfica!). O que importa e´ mesmo o
nu´mero de algarismos significativos.
Portanto, a precisa˜o de uma grandeza composta deve estar limitada pela mais im-
precisa das grandezas de que depende. Seguindo esse princ´ıpio geral, tratemos alguns casos
particulares de relac¸o˜es comuns entre grandezas.
Multiplicac¸a˜o
Uma forma bastante comum de se determinar uma grandeza de forma indireta e´ medir outras
grandezas cujo produto fornece a grandeza procurada.
Seguindo o preceito geral descrito acima, podemos estimar a incerteza da grandeza composta
simplesmente mantendo seu valor com o mesmo nu´mero aproximado de algarismos significativos da
mais imprecisa das grandezas medidas.
13
F´ısica Experimental 1
Por exemplo, suponhamos que a massa da part´ıcula seja medida como m = 0,9 kg, e sua ace-
lerac¸a˜o, como a = 1,23 m/s2. Supo˜e-se que esses valores possuam a u´ltima casa indicada como
incerta em uma unidade, conforme convenc¸a˜o adotada, sendo explicitamente m = 0,9± 0,1 kg e
a = 1,23± 0,01 m/s2.
Nesse caso, a magnitude da forc¸a, calculada pela multiplicac¸a˜o, resultaria F = 1,107 N. No
entanto, sabemos que conheceˆ-la com 4 algarismos significativos e´ certamente muito otimista,
pois a massa e´ determinada com apenas 1 algarismo significativo.
Devemos esperar que o valor calculado da forc¸a so´ tenha 1 ou 2 algarismos significativos, devendo
ser escrito como 1 N ou 1,1 N. Para escolher entre elas, notemos que a primeira forma implica
imprecisa˜o quase total, i.e. 100%, dado que seu valor seria implicitamente entendido como F =
1± 1 N (ou seja, entre 0 N e 2 N). A segunda forma deve ser enta˜o a mais apropriada nesse caso,
ou seja, F = 1,1 ± 0,1 N. Nesse caso, a imprecisa˜oe´ de aproximadamente 10%, compat´ıvel com
a incerteza relativa inicial na massa.
A contagem de algarismos significativos e´ um me´todo grosseiro de estimativa da incerteza, e serve
mais para detetar inconsisteˆncias de resultados do que para calcular propriamente as incertezas.
Um me´todo mais confia´vel, embora ainda ligeiramente grosseiro, de se calcular a incerteza, cha-
mado aqui coloquialmente de ‘me´todo trabalhoso’, e´ determinar os valores ma´ximo e mı´nimo
da grandeza compat´ıveis com o intervalo de incerteza das quantidades medidas.
No exemplo acima, o valor mı´nimo inferido para a magnitude da forc¸a ocorre quando massa e
acelerac¸a˜o sa˜o mı´nimas dentro da incerteza, ou seja, para mmin = m − σm = 0,8 kg e amin =
a−σa = 1,22 m/s2, com o que obtemos Fmin = 0,96 N. Repetindo o mesmo procedimento para seu
valor ma´ximo, obtemos Fmax = mmax · amax = 1,24 N. Sendo o valor mais confia´vel da forc¸a dado
por F = m · a = 1,107 N, podemos estimar a incerteza na forc¸a como σF = (Fmax − Fmin)/2 =
0, 14 N (note que tambe´m podemos calcular σF como σF = Fmax − F = F − Fmin). O resultado
obtido fica denotado como F = 1,1±0,2 N, em que arredondamos a incerteza de forma pessimista.
Conforme veremos, essa forma de estimativa da incerteza e´ pessimista, pois supo˜e estarem ambas
as grandezas maximamente erradas ao mesmo tempo, o que na˜o e´ prova´vel.
Soma
Um caso mais problema´tico ocorre nas operac¸o˜es de soma com nu´meros possuindo incerteza,
sendo esse um to´pico bastante conhecido em computac¸a˜o. Similarmente a` situac¸a˜o experimental, a
representac¸a˜o de um nu´mero no computador so´ pode ser realizada dentro de certa precisa˜o.
No caso do computador, esse nu´mero e´ limitado em u´ltima instaˆncia pela quantidade de memo´ria
alocada na representac¸a˜o do nu´mero, enquanto em f´ısica experimental ele e´ limitado pela incerteza
da medida. Para procedermos com a soma, devemos identificar as posic¸o˜es decimais dos algarismos
duvidosos de cada parcela e soma´-las ate´ a posic¸a˜o decimal do algarismo menos confia´vel entre eles.
14
Apostila 1: Medidas e incertezas
Por exemplo, suponhamos que precisemos somar os nu´meros 12,8 e 146. Apesar de ambos
possu´ırem treˆs algarismos significativos, o nu´mero 146 na˜o possui definido o algarismo na primeira
posic¸a˜o decimal apo´s a v´ırgula, sendo sua incerteza impl´ıcita de uma unidade ja´ no algarismo 6,
seu algarismo duvidoso. Portanto, o algarismo duvidoso do nu´mero 12,8 (no caso, 8), por possuir
posic¸a˜o decimal de maior precisa˜o, perde significado no resultado da soma.
Devemos considerar, na verdade, a soma de 13 e 146, em que ambos os nu´meros devem ser arre-
dondados antes de realizada a operac¸a˜o de soma. A resposta confia´vel seria 159, com incerteza
impl´ıcita de 1 no u´ltimo algarismo e herdada essencialmente do nu´mero 146. Note como o resul-
tado mudaria bastante de significado caso o nu´mero a ser somado fosse 146,0 (quatro algarismos
significativos). Nesse caso, na˜o haveria grande perda de precisa˜o na soma, sendo o resultado
confia´vel dado por 158,8.
Note que resultados de somas podem ficar indefinidos por conta da incerteza!
Um exemplo de situac¸a˜o patolo´gica ocorre na soma dos nu´meros 12,12 e −12,12. Apesar de
cada parcela ser conhecida com quatro algarismos significativos, obtemos algo indefinido como
resultado, pois a soma fica indeterminada dentro da incerteza. A forma correta de representar
o resultado dessa soma e´ 12,12 + (−12,12) = 0,00 ± 0,01. Nesse exemplo, passamos de um erro
inicial de 1 parte em 10 mil (ou seja, 4 algarismos significativos) para indefinic¸a˜o total.
O significado da notac¸a˜o do exemplo acima e´ que podemos afirmar o resultado como compat´ıvel
com zero dentro da incerteza. Em outras palavras, na˜o ha´ precisa˜o sequer para apontar a
ordem de grandeza do valor mais confia´vel, mas apenas para afirmar que esta´ entre 0,01 e −0,01 (a
incerteza).
Nesse caso, toda a informac¸a˜o reside na incerteza, que denota a confianc¸a com que
podemos afirmar o valor zero como resultado.
Resultado similar seria obtido ao se tentar medir o diaˆmetro de um fio de cabelo com uma re´gua
milimetrada, por exemplo. O valor medido na˜o possuiria qualquer algarismo significativo, o que pode
ser visto facilmente em notac¸a˜o cient´ıfica, na qual seria representado como (0 ± 5) · 10−1 mm. A
precisa˜o da medida so´ permite visualizar um ‘zero a` esquerda’.
A operac¸a˜o de soma sempre resulta em valores relativamente mais imprecisos. Por isso, e´ mais
preciso medir diretamente grandezas compostas por somas sempre que poss´ıvel.
4.1 Propagac¸a˜o de incertezas na soma
Vimos que, na soma de duas grandezas, a incerteza do resultado deve ser maior que a incerteza
absoluta com que cada parcela e´ conhecida. No caso mais pessimista, a incerteza do resultado sera´
a soma das incertezas de cada parcela.
15
F´ısica Experimental 1
Conceitualmente, somar as incertezas de todas as parcelas significaria esperar que todos os valores
somados estivessem ao mesmo tempo no limite superior (ou inferior) de seus intervalos de confianc¸a.
Se as medidas forem independentes e descorrelacionadas, e´ pouco prova´vel que isso ocorra.
E´ mais plaus´ıvel esperar que poucos valores se encontrem nos limites superior ou inferior de seus
intervalos de confianc¸a; uma frac¸a˜o maior das medidas deve estar equivocada por e.g. metade da
incerteza, tanto acima quanto abaixo do valor verdadeiro; mas a maior frac¸a˜o delas deve se concentrar
nas proximidades dos valores verdadeiros.
Nesse caso, devemos compor as incertezas levando em conta as diferentes probabilidades de
magnitude de erro afetando uma frac¸a˜o das parcelas.
Ja´ sabemos que a incerteza na grandeza inferida deve ser maior que a maior incerteza dentre todas
as parcelas, pois a quantidade final na˜o pode ser conhecida de maneira mais precisa que nenhuma de
suas parcelas. Pore´m, ela deve ser menor que a soma de todas as incertezas, como vimos.
O valor mais prova´vel da incerteza estara´ entre esses dois extremos. A forma rigorosa de se
propagar incertezas supo˜e que se referem num certo sentido a distribuic¸o˜es de probabilidade,
como veremos em maior detalhe na Apostila 2.
Considere duas grandezas quaisquer medidas com valores m1 = M1 + σM1 e m2 = M2 + σM2 . O
valor mais confia´vel da grandeza compostam = M+σM , inferido a partir da soma comom = m1+m2,
deve ser dado obviamente por
M = M1 +M2. (14)
Ja´ sua incerteza deve ser propagada por uma regra de composic¸a˜o triangular3
(σM)
2 = (σM1)
2 + (σM2)
2. (15)
De fato, essa expressa˜o limita σM inferiormente pela grandeza de maior incerteza, por ser uma
soma de quadrados. Se σM1 ≫ σM2 , enta˜o σM ≈ σM1 (demonstre!).
Por outro lado, se as duas incertezas sa˜o parecidas (σM1 ≈ σM2), enta˜o a Eq. (15) fornece algo
mais otimista do que a soma das incertezas, pois obtemos σM ≈
√
2 σM1 < σM1 + σM2 (demonstre!).
Note que a incerteza se calcula da mesma forma para uma soma entre nu´meros com sinais opostos.
Se, por exemplo, vale que m1 > 0 e m2 < 0, a resposta seria m = |M1| − |M2| ±
√
(σM1)
2 + (σM2)
2,
sem mudanc¸a no ca´lculo da incerteza.
Assim, o valor obtido da grandeza m a partir de medidas diretas de M1 e M2 e´
m = (M1 +M2)±
√
(σM1)
2 + (σM2)
2, (16)
expressa˜o na qual ja´ aparecem o valor mais prova´vel e sua incerteza.
3O motivo dessa forma para composic¸a˜o de incertezas adve´m da suposic¸a˜o de que cada fonte de incerteza seja
independente das demais e represente uma distribuic¸a˜o gaussiana de probabilidade. A composic¸a˜o de va´rios processos
desse tipo fornece como resultado um novo processo gaussiano cuja variaˆncia e´ a soma das variaˆncias de todos os
processos subjacentes. Veremos esses conceitos em mais detalhe na Apostila 2.
16
Apostila 1: Medidase incertezas
Retornando ao exemplo da u´ltima sec¸a˜o, podemos calcular agora a incerteza na soma de 12,8
e 146 de maneira mais sistema´tica. Tomando m1 = 12,8 ± 0,1 e m2 = 146 ± 1, obtemos M =
12,8 + 146 = 158,8 e σM =
√
(0,1)2 + (1)2 ≈ 1,005. Devemos novamente manter apenas 1
algarismo significativo na incerteza e adequar a ela a resposta do valor mais prova´vel, e portanto
σM = 1 pelas regras de arredondamento; obtemos como resultado m = 159± 1.
Note que no exemplo acima a incerteza do nu´mero 12,8, por ser muito menor que aquela do
nu´mero 146, na˜o contribui efetivamente para a incerteza do resultado final.
Como regra informal, na propagac¸a˜o das incertezas de uma soma, podemos desprezar
de in´ıcio incertezas menores que a metade da maior das incertezas das parcelas.
Para um nu´mero qualquer de parcelas, a Eq. (15) se generaliza facilmente. Seja a grandeza
m = M + σM composta por N parcelas mk = Mk + σMk , com ı´ndice k = 1, 2, 3, . . . , N . Temos enta˜o
(σM)
2 = (σM1)
2 + (σM2)
2 + · · ·+ (σMN )2 =
∑
k
(σMk)
2. (17)
A propagac¸a˜o de incerteza de soma se da´ essencialmente pela soma dos quadrados
das incertezas de todas as parcelas, outra propriedade de processos gaussianos.
4.2 Composic¸a˜o de fontes independentes de incerteza
A mesma regra de propagac¸a˜o da soma vale para compor fontes independentes de incerteza
a afetar a medida de uma u´nica grandeza.
Pelos mesmos argumentos, supomos nesse caso que cada processo a contribuir para a incerteza
da medida e´ independente dos demais, obedecendo estat´ıstica gaussiana. A incerteza total e´ obtida
pela aplicac¸a˜o da Eq. (15) utilizando σM1 e σM2 como as incertezas respectivas de cada processo.
Por exemplo, suponhamos que ao medir o bloco da figura 1 descubramos que rugosidades em sua
superf´ıcie fazem com que a medida de comprimento varie de acordo com o local onde se coloca
a re´gua. Comparando va´rias medidas em posic¸o˜es diferentes, percebemos que o comprimento
medido varia por ate´ 3 mm. Nesse caso, a incerteza da medida do bloco e´ composta por duas
fontes de incerteza: a leitura da re´gua e a rugosidade da superf´ıcie do bloco.
Poder´ıamos reescrever o valor do comprimento do bloco como L = 3,4±0,5±0,3 cm, dessa forma
especificando cada fonte de incerteza. Poder´ıamos tambe´m compoˆ-las a fim de obter a incerteza
total da medida do bloco. Usando a Eq. (15), obtemos σL =
√
0,52 + 0,32 = 0,6, com o que o
resultado da medida seria modificado para L = 3,4± 0,6 cm.
De maneira ana´loga, N fontes independentes de incerteza resultara˜o na incerteza total dada pelo
mesmo tipo de soma triangular da Eq. (17).
17
F´ısica Experimental 1
4.3 Propagac¸a˜o de incertezas por linearizac¸a˜o a derivadas parciais
A forma mais geral de inferir grandezas consiste em atribuir uma func¸a˜o gene´rica ligando uma
grandeza a` outra. A incerteza da grandeza inferida pode ser obtida pelo intervalo de variac¸a˜o de
seu valor mais confia´vel causada pelas incertezas das grandezas medidas.
Uma forma de determinar esse intervalo e´ considerar como o valor de uma func¸a˜o responde
a pequenas variac¸o˜es independentes em seus argumentos. Essa aproximac¸a˜o linear e´ realizada
expandindo a func¸a˜o em primeira ordem no entorno do valor mais confia´vel da grandeza inferida.
Func¸o˜es de uma varia´vel e incerteza relativa
Considere uma func¸a˜o bem comportada f(x) qualquer. Buscamos saber quanto seu valor muda
conforme seu argumento x varia por uma quantidade σx.
Com isso queremos determinar o quanto a incerteza σx influencia o valor da grandeza composta
f(x). Se a variac¸a˜o σx for relativamente pequena, podemos expandir a func¸a˜o em primeira ordem
em torno de x usando a aproximac¸a˜o linear pela derivada,
f(x+ σx) ≈ f(x) + df(x)
dx
· σx. (18)
Portanto, chegamos a` incerteza de f(x), dada pelo intervalo de variac¸a˜o, como
σf = |f(x+ σx)− f(x)| =
∣∣∣∣df(x)dx
∣∣∣∣ · σx, (19)
na qual tomamos o mo´dulo para impor o fato de que a incerteza e´ sempre positiva.
A expressa˜o acima e´ ilustrada de forma gra´fica na figura 5. Note como a derivada no ponto x
fornece a relac¸a˜o de proporcionalidade entre as incertezas σx e σf no entorno de uma regia˜o pequena.
Figura 5: Propagac¸a˜o de incerteza pela derivada. Os intervalos de variac¸a˜o ∆x e ∆f fazem as vezes
de incertezas na grandeza medida x e na grandeza inferida f , respectivamente
18
Apostila 1: Medidas e incertezas
Tomemos um exemplo. Gostar´ıamos de medir a a´rea de um ladrilho quadrado, e para isso
medimos o comprimento de um de seus lados como l = 41±4 cm. Ale´m disso, verificamos dentro
da precisa˜o experimental que todos os seus lados possuem o mesmo comprimento. A a´rea do
ladrilho e´ calculada como A = l2. Usando a Eq. (19), sua incerteza e´ dada por
σA =
d
dl
(l2) · σl = 2lσl. (20)
Substituindo o valor medido e aplicando as convenc¸o˜es de notac¸a˜o, obtemos a a´rea A = (1,7 ±
0,3) · 103 cm2 (voceˆ encontrou esse resultado?).
Notemos algo peculiar no exemplo acima. Ao dividirmos a incerteza na medida de comprimento
por seu valor mais confia´vel, verificamos que a incerteza relativa na medida de comprimento
e´ aproximadamente σl/l = 0,1, ou seja, ela possui incerteza percentual de 10%. Ja´ para a a´rea
inferida, o mesmo ca´lculo revela uma incerteza percentual de 20% (σA/A = 0,2): nesse caso, a
incerteza relativa dobra no processo de propagac¸a˜o.
Vejamos porque isso acontece. Voltando a` Eq. (20), notamos que ela pode ser reescrita dividindo
seus dois membros pela expressa˜o da a´rea, de onde obtemos
σA
A
=
2lσl
l2
=⇒ σA
A
= 2
σl
l
. (21)
Portanto, a incerteza relativa dobra por causa da dependeˆncia quadra´tica de A em l.
Para qualquer func¸a˜o f(x) dada por uma poteˆncia de x, obter´ıamos em geral
f(x) = xn =⇒ σf
f
= n
σx
x
. (22)
Da mesma forma, se n < 1 a incerteza percentual diminui na grandeza composta.
Qualquer que seja a dependeˆncia funcional ‘bem comportada’ de f em x, a Eq. (19) pode ser
empregada para propagac¸a˜o de incerteza, assim como o me´todo gra´fico equivalente da figura 5.
Func¸o˜es de mu´ltiplas varia´veis e derivadas parciais
Consideremos agora uma grandeza inferida a partir de duas outras grandezas que podem ser
medidas diretamente. Consideramos novamente essas medidas independentes, ou seja, a medida de
uma delas na˜o influencia o resultado de medida da outra.
Representamos a grandeza inferida por uma func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y). Se x e y sa˜o varia´veis
independentes, a expansa˜o linear se generaliza para
σf = |f(x+ σx, y + σy)− f(x, y)| ≈
∣∣∣∣∂f(x, y)∂x
∣∣∣∣ · σx +
∣∣∣∣∂f(x, y)∂y
∣∣∣∣ · σy. (23)
Lembre-se de que a derivada parcial de f(x, y) com relac¸a˜o a x, denotada por ∂f(x,y)
∂x
e´ calculada
como a derivada comum com relac¸a˜o a x considerando y constante, e vice-versa para ∂f(x,y)
∂y
.
19
F´ısica Experimental 1
Voltemos ao exemplo da sec¸a˜o 4, em que se buscava determinar a forc¸a agindo sobre um corpo a
partir de medidas diretas de sua massa e acelerac¸a˜o. As derivadas parciais relevantes sa˜o nesse
caso ∂F
∂m
= a e ∂F
∂a
= m. Usando a Eq. (23), obtemos
σF =
∂F
∂a
· σa + ∂F
∂m
· σm = mσa + aσm. (24)
Dividindo os dois membros da equac¸a˜o pela expressa˜o da forc¸a, encontramos para a incerteza
relativa
σF
F
=
σa
a
+
σm
m
. (25)
Ou seja, a incerteza relativa da grandeza inferida seria dada no caso pessimista pela soma das
incertezas relativas das grandezas medidas diretamente.
Ja´ vimos esse tipo de composic¸a˜o de incertezas na sec¸a˜o. 4.1. Essa e´ a forma pessimista de
se estimar a incerteza na grandeza inferida, uma vez que e´ pouco prova´vel que todas as grandezas
independentes das quais depende desviem maximamente ao mesmo tempo de seus valores verdadeiros.
A diferenc¸acom relac¸a˜o a` discussa˜o anterior e´ que a expressa˜o acima considera a incerteza relativa
no lugar da incerteza absoluta. Devemos interpretar a Eq. (23) num sentido estat´ıstico, tal como
fizemos para a propagac¸a˜o da soma de grandezas.
A forma mais adequada de se calcular a incerteza final e´ supor que cada argumento da func¸a˜o
contribui com erro relativo independente e, de acordo com argumentos estat´ısticos, soma´-los de
maneira triangular.
Portanto, a incerteza relativa da grandeza composta deve ser calculada como
(σf )
2 =
(
∂f(x, y)
∂x
· σx
)2
+
(
∂f(x, y)
∂y
· σy
)2
, (26)
va´lida no limite de pequenas incertezas relativas.
Assim, para grandezas calculadas atrave´s de multiplicac¸o˜es e operac¸o˜es afins, a incerteza rela-
tiva so´ pode aumentar ou se manter constante conforme mais fontes de incerteza sa˜o
inclu´ıdas. Analogamente ao caso da propagac¸a˜o de incerteza da soma, a incerteza relativa final
e´ maior que a mais incerta das incertezas relativas que a compo˜em.
Aplicando a Eq. (26) ao exemplo anterior, obtemos a incerteza relativa da forc¸a como
(σF
F
)2
=
(σa
a
)2
+
(σm
m
)2
⇒ σF =
√(σa
a
)2
+
(σm
m
)2
F. (27)
Usando os valores do exemplo da sec¸a˜o 4, a incerteza relativa da massa seria σm/m ≈ 0,1 (i.e.
10%), enquanto da acelerac¸a˜o seria σa/a ≈ 0,01 (i.e. 1%). Como σa/a ≪ σm/m, a incerteza da
forc¸a e´ quase toda devida a` incerteza na massa.
Usando a Eq. (19), obtemos σF /F = 0,1, i.e. σF = 0,12 N. Note que esse valor e´ ligeiramente
menor do que encontrado na sec¸a˜o 4, embora concordem no algarismo significativo, mostrando
que o ca´lculo de incerteza conforme realizado naquela sec¸a˜o era de fato conservador.
20
Apostila 1: Medidas e incertezas
A Eq. (26) se generaliza facilmente para uma grandeza inferida a partir de um nu´mero qualquer
de grandezas que podem ser medidas diretamente.
Consideremos a func¸a˜o f(x1, x2, . . . , xN ) para representar essa grandeza, com argumentos inde-
pendentes. Generalizando a Eq. (23), a incerteza em f e´ calculada como
(σf )
2 =
(
∂
∂x1
f · σx1
)2
+
(
∂
∂x2
f · σx2
)2
+ · · ·+
(
∂
∂xN
f · σxN
)2
=
N∑
k=1
(
∂
∂xk
f(x1, x2, . . . , xN) · σxk
)2
(28)
Dividindo a equac¸a˜o acima pela expressa˜o de f(x1, x2, . . . , xN), determinamos o ‘peso’ com que
as incertezas relativas parciais contribuem para a incerteza da grandeza inferida.
Queremos encontrar a densidade ρ de um so´lido cu´bico a partir da medida de sua massa M =
1,02± 0,01 kg e do comprimento de um de seus lados, L = 25,0± 0,01 cm. Sabemos que:
ρ =
M
L3
=⇒


∂ρ
∂M
=
1
L3
.
∂ρ
∂L
= −3M
L4
.
(29)
Note que a derivada parcial ∂ρ
∂L
e´ negativa, indicando que os sentidos de variac¸a˜o de ρ e L sa˜o
opostos (e.g. ρ e´ superestimado quando L e´ subestimado), e que isso na˜o afeta a incerteza total.
Usando a Eq. (26),
(σρ)
2 =
(
1
L3
σM
)2
+
(
3M
L4
σL
)2
. (30)
Ja´ poder´ıamos substituir os valores medidos de M , L, σM e σL nessa expressa˜o para obter σρ.
No entanto, prosseguir com a divisa˜o dos dois membros da equac¸a˜o por ρ nos permite determinar
a importaˆncia de cada grandeza em σρ. Obtemos
(
σρ
ρ
)2
=
(σM
M
)2
+
(
3
σL
L
)2
. (31)
A grandeza L contribui com peso treˆs vezes maior na incerteza final. O motivo estat´ıstico para
isso e´ o fato de que sua incerteza aparece treˆs vezes na expressa˜o e de forma correlacionada.
Segundo os valores dados, as incertezas percentuais de M e L sa˜o, respectivamente, 1% e 0,4%.
Normalmente, seguindo a regra informal da sec¸a˜o 4.1, poder´ıamos desprezar a contribuic¸a˜o de σL,
com relac¸a˜o a σM , pois σL < σM/2. Entretanto, como L contribui com poteˆncia 3 na expressa˜o
de ρ, sua incerteza se torna mais importante. Obtemos
σρ
ρ
= 2%, isto e´, ρ = 65± 1 kg/m3.
Note que, caso o valor de alguma incerteza relativa seja muito grande, a propagac¸a˜o por expansa˜o
linear na˜o sera´ precisa no ca´lculo da incerteza final. Nesse caso, podemos expandir a func¸a˜o ate´ ordens
mais altas, ou utilizar o ‘me´todo trabalhoso’ (mais conservador) da sec¸a˜o 4 para estimar a incerteza.
21
F´ısica Experimental 1
Apeˆndice A Paqu´ımetro
O paqu´ımetro e´ um instrumento especializado em medir objetos pequenos de maneira versa´til e
precisa4. Sua maior aplicac¸a˜o reside em medidas de diaˆmetros internos e externos, comprimentos de
objetos, profundidade de rebaixos etc.
Todos esses tipos de medidas podem ser lidos em um sistema formado por duas escalas: a escala
principal, denotada no corpo fixo do instrumento, e a escala auxiliar, gravada na pec¸a mo´vel a que
chamamos vernier ou noˆnio.
Figura 6: Paqu´ımetro.
Para atingir resoluc¸a˜o melhor do que 1 mm, o paqu´ımetro faz uso da escala auxiliar em combinac¸a˜o
com a escala principal, atingindo resoluc¸a˜o cerca de dez vezes maior do que dispon´ıvel fazendo uso
apenas de sua escala principal. Vejamos como funciona o paqu´ımetro e como utilizar o vernier para
conseguir medidas de maior precisa˜o.
A leitura do instrumento ate´ o algarismo do mil´ımetro e´ realizada observando-se onde a marcac¸a˜o
‘0’ do vernier se localiza com relac¸a˜o a` escala localizada no corpo fixo do instrumento, no mesmo
esp´ırito da leitura de uma re´gua comum.
Vemos na figura 7 a escala principal em detalhe. Pela marcac¸a˜o ‘0’ do vernier, a leitura direta da
escala principal nos fornece o valor 87 mm. Portanto, seguindo as convenc¸o˜es das sec¸o˜es anteriores,
poder´ıamos estimar o algarismo duvidoso como sendo talvez 7, e dessa forma denotar o resultado de
medida como 87,7± 0,5 mm usando o paqu´ımetro como se fosse uma re´gua.
Figura 7: Detalhe do vernier.
4Applets em http://www.stefanelli.eng.br/webpage/metrologia/p-paquimetro-nonio-milimetro-05.html.
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Apostila 1: Medidas e incertezas
Observemos agora o vernier em mais detalhe. Pela figura 7, vemos que ele possui 10 diviso˜es,
cada qual correspondendo a um nu´mero de 0 a 10, conforme indicado em sua escala. Pela construc¸a˜o
do paqu´ımetro, essa escala e´ calibrada para representar no total 1 mm, de forma que sua menor
divisa˜o deve corresponder a 0,1 mm.
Portanto, a escala do vernier fornece o pro´ximo algarismo significativo. Para identifica´-lo, deve-
mos observar qual de suas marcac¸o˜es melhor coincide com uma marcac¸a˜o qualquer da escala principal,
e ler seu valor correspondente no vernier. No exemplo da figura, essa marcac¸a˜o se refere ao algarismo
8 no vernier. Assim, o valor medido nesse caso seria
L = 87,8± 0,1 mm.
Note que a medida final e´ bem mais precisa do que o valor anteriormente obtido utilizando o
paqu´ımetro como se fosse uma re´gua.
No paqu´ımetro na˜o temos como estimar visualmente o algarismo duvidoso, e a incerteza do
paqu´ımetro reside no u´ltimo algarismo que ele nos fornece de forma direta (conforme a regra es-
tabelecida anteriormente). Tomamos assim a incerteza do instrumento como igual a` sua menor
divisa˜o, tornando-se o u´ltimo algarismo lido, na verdade, o algarismo duvidoso.
Figura 8: Detalhe do vernier.
Vejamos um outro exemplo a seguir. Na figura 8, temos um vernier com 20 diviso˜es na escala
auxiliar, diminuindo a incerteza da medida por um fator 2 (ja´ que a escala do vernier continua
representando 1 mm em sua totalidade). Seguindo o mesmo procedimento, obtemos o valor 76 mm
a partir da escala principal, e, identificando a marcac¸a˜o do vernier que melhor coincide com a escala
principal como correspondendo ao algarismo 9, podemos escrever como resposta final o valor
L = 76,90± 0,05 mm.
Como na˜o e´ poss´ıvel estimar visualmente o u´ltimo algarismo, mantemos seu valor conforme lido
diretamente da escala do vernier, com incerteza dada por sua menordivisa˜o.
23
F´ısica Experimental 1
Apeˆndice B Microˆmetro
O microˆmetro, ou parafuso microme´trico, e´ constitu´ıdo por um parafuso de passo constante bem
preciso. Uma rotac¸a˜o completa do parafuso corresponde a um deslocamento de um passo. Ele e´
usado para medir dimenso˜es com resoluc¸o˜es da ordem de 10 µm.
Apesar de apresentar uma resoluc¸a˜o maior que o paqu´ımetro, o microˆmetro mostra-se um instru-
mento bem menos versa´til. As dimenso˜es medidas na˜o podem passar de alguns cent´ımetros e devem
corresponder sempre a diaˆmetros externos. A figura 9 ilustra um microˆmetro com a nomenclatura
de suas parte.
Figura 9: Microˆmetro.
Para iniciar a utilizac¸a˜o do instrumento, e´ necessa´rio determinar a correc¸a˜o do zero de sua escala,
lida a partir do tambor. Para tanto, gira-se o parafuso microme´trico ate´ que as superf´ıcies de fuso e
batente se encostem. Para medir a dimensa˜o de um objeto, repete-se o procedimento com o mesmo
localizado entre fuso e batente.
Atenc¸a˜o: Caso o zero na escala do tambor na˜o coincida com o zero da escala linear quando fuso
e batente se encostam, o valor lido deve ser usado para corrigir todas as medidas efetuadas com o
microˆmetro em questa˜o.
A maioria dos microˆmetros possui uma catraca, localizada na extremidade do parafuso, cuja
func¸a˜o e´ aliviar pressa˜o excessiva que o operador possa exercer, evitando deformar o objeto a ser
medido ou danificar o instrumento por tenso˜es mecaˆnicas excessivas.
A dimensa˜o do objeto e´ lida a partir de duas escalas, como ilustrado em detalhe na figura 10.
A primeira escala, expressa em mil´ımetros, se localiza na bainha e e´ responsa´vel para leitura com
precisa˜o de 0,5 mil´ımetro; a segunda escala, de maior precisa˜o, se encontra inscrita no tambor.
A marcac¸a˜o graduada localizada na bainha e´ geralmente subdividida em intervalos mı´nimos de
1 ou 0,5 mm. As marcac¸o˜es dos mil´ımetros partem da linha da escala num sentido, enquanto as
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Apostila 1: Medidas e incertezas
marcac¸o˜es de meio mil´ımetro, quando existentes, partem no outro. Sua leitura e´ realizada diretamente
pelo nu´mero indicado pelo corte que o tambor cria na escala subjacente. Ou seja, a parte vis´ıvel da
escala da bainha denota o valor da medida.
Figura 10: Detalhe das escalas de leitura na bainha e no tambor.
O tambor, que se encontra fixo ao parafuso, proporciona a leitura dos demais algarismos. O
princ´ıpio de funcionamento do microˆmetro consiste em dividir o deslocamento de um passo do pa-
rafuso por um nu´mero N de diviso˜es (normalmente, N = 50 ou 100), no movimento circular do
tambor. Sua menor divisa˜o corresponde a 0,01 mm.
A leitura do nu´mero do tambor e´ realizada de forma similar, pelo ponto em que sua escala
numerada e´ cortada pela linha horizontal inscrita na bainha. Isso permite ler dois algarismos exatos
no tambor e estimar o algarismo duvidoso.
O resultado final da medida e´ a soma das leituras das duas escalas.
No exemplo da figura 10, a leitura da escala em mil´ımetros proporciona o valor 17,5 mm. Ja´ a
escala do tambor proveˆ a leitura do nu´mero 32, que deve ser entendido como 0,32 mm. O algarismo
duvidoso pode ser estimado como 0, fornecendo portanto a leitura 0,320 mm na escala mais fina, que
fornece a incerteza. Assim, o resultado da medida e´ a soma desses nu´meros,
L = 17,820± 0,005 mm,
em que a incerteza de leitura foi tomada, de acordo com a convenc¸a˜o estabelecida, em metade da
menor divisa˜o de leitura da escala mais fina (tambor).
Questo˜es sobre o material dida´tico devem ser enderec¸adas no momento ao Prof. Alessandro S.
Villar, no e-mail villar@df.ufpe.br.
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