Modelagem Probabilistica e Simulação de Sistemas de Produção

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE MODELAGEM PROBABILÍSTICA E SIMULAÇÃO 
DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO 
 
Prof. William Morán 
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 2 
 
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SUMÁRIO 
 
Análise de Decisões .......................................................................................... 05 
 
Critério do Valor Esperado ............................................................................. 05 
 
Critério do Valor Esperado – uso de Bayes .................................................. 06 
 
Decisões sob incerteza ..................................................................................... 09 
 
Critério de Laplace, Maximim (Minimax), Savage ..................................... 09 
 
Critério de Hurwicz ......................................................................................... 10 
 
Teoria de Filas ................................................................................................... 13 
 
Importância da distribuição exponencial na teoria de filas ....................... 14 
 
A notação de Kendall ...................................................................................... 19 
 
Estado de Equilíbrio e estado Transiente .................................................... 19 
 
Modelo de nascimento puro ......................................................................... 21 
 
Resumo da relação entre a Exponencial e a Poisson ................................. 22 
 
Modelo de morte puro ................................................................................... 23 
 
Modelo M/M/1 .............................................................................................. 24 
 
Modelo M/M/S, com S > 1 .......................................................................... 35 
 
Modelo M/M/1 fila finita ............................................................................ 38 
 
Modelo M/M/S fila finita ........................................................................... . 40 
 
Modelo M/M/1 população finita ............................................................... 42 
 
Modelo M/M/S população finta ................................................................ 43 
 
Modelo M/G/1 ............................................................................................. 46 
 
Modelo M/Ek/1 ........................................................................................... 47 
 
Simulação ...................................................................................................... 49 
 
Simulação Monte Carlo ............................................................................... 52 
 
Geração de Números Aleatórios, Mét. Dos Quadrados Médios ........... 60 
 
Método Congruente, NA em [ 0, 1 ] .,,....................................................... 61 
 
Randu e Rand1 ............................................................................................. 62 
 
Rand2, Rand4, Gerador Pascal, Gerador Excel ..................................... 62 
 
Números aleatórios uniformes em [a, b] .................................................... 63 
 
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Números aleatórios uniformes em [a, b] inteiros .................................... 63 
 
Aplicação de NA: Cálculo de integrais definidas ................................... 64 
 
Método da Transformação Inversa ........................................................... 65 
 
Distribuição Exponencial - Transformação Inversa ............................... 67 
 
Distribuição Triangular – Transformação Inversa ................................. 68 
 
Distribuição de Poisson – Simulação Direta .......................................... 70 
 
Distribuição Normal – Simulação Direta ................................................ 72 
 
Distribuição Beta – Método da Rejeição ................................................. 74 
 
Processos Estocásticos, Cadeias de Markov .......................................... 76 
 
Representação de uma Cadeia de Markov ............................................ 77 
 
Probabilidades de Transição em n-etapas e Absolutas ....................... 78 
 
Classificação dos estados numa Cadeia de Markov ............................ 79 
 
Probabilidade de estado de equilíbrio e tempos médios de retorno 
das Cadeias Ergódicas .............................................................................. 81 
 
Análise de Estados Absorventes ............................................................ 86 
 
Referências bibliográficas ....................................................................... 90 
 
Formulário ................................................................................................ 91 
 
Tabela Normal ......................................................................................... 107 
 
Tabela Normal Acumulada .................................................................... 108 
 
Tabela de NA em [0, 1] ........................................................................... 109 
 
Tabela de Distribuição Q-Quadrado ................................................... 110 
 
Tabelas para modelos com população finita (N = 5) ........................ 111 
 
Tabelas para modelos com população finita (N = 10) ...................... 113 
 
Tabelas para modelos com população finita (N = 20) ...................... 116 
 
Tabelas para modelos com população finita (N = 30) ...................... 121 
 
Lista 1 ....................................................................................................... 126 
 
Lista 2 ............................................................................ ........................... 129 
 
Lista 3 ....................................................................................................... 139 
 
Lista 4 ............................................................................ ........................... 142 
 
 
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ANÁLISE DE DECISÕES 
 
 Na análise de decisões usa-se um processo racional para selecionar a melhor de varias 
alternativas. A qualidade da alternativa selecionada depende da índole dos dados a serem usados 
para descrever o caso abordado pela decisão (Taha, 2004). Alguns autores costumam abordar e 
classificar as decisões segundo o conhecimento das probabilidades envolvidas. Conforme Changkong 
et all (1992), as decisões podem ser classificadas em três tipos: 
 
 Decisões sob certeza. Neste tipo de decisão sabe-se o que acontecerá quando é eleita uma alternativa, 
consistindo o problema em escolher a melhor alternativa. Nesta categoria encontram-se os problemas 
determinísticos como os encontrados na programação linear e inteira, nos modelos EOQ, etc. 
 
 Decisões sob risco. Nestes casos são conhecidas as probabilidades associadas à escolha de cada 
alternativa. Nesta categoria encontram-se os problemas estocásticos. 
 
 Decisões sob incerteza. Supõe-se que o decisor não conhece as probabilidades associadas a cada 
alternativa, deixando disponível alguns critérios para a tomada de decisão que funcionam sem a 
necessidade de probabilidade associadas à escolha de cada alternativa ou mediante a estimação 
subjetiva de probabilidades (Gould et al, 1992) como: Maximin/Minimax, Método de Laplace, etc. 
 
TOMADA DE DECISÕES SOB RISCO (Taha, 2008): 
 
 Em condições de risco, as vantagens associadas a cada alternativa de decisão se descrevem com 
distribuições de probabilidade.Por essa razão a tomada de decisão sob risco se baseia no critério valor 
esperado, no qual se comparam alternativas de decisão com base na maximização da utilidade 
esperada ou a minimização do custo esperado. 
 
a) Critério do Valor Esperado: Esse critério busca a maximização do lucro (médio) esperado ou a 
minimização do custo esperado. Nesse caso, se supõe que o lucro (ou o custo) associado a cada 
alternativa de decisão é probabilística. O caso da arvore de decisão, usada em esse tipo de 
problemas pode ser mostrado com um exemplo. 
 
Exemplo: Suponha que uma empresa deseja investir 10.000 reais no mercado de valores, 
comprando ações de uma de dois companhias: A e B. As ações da companhia A são arriscadas, 
mas poderiam produzir um rendimento de 50% sobre o investimento durante o próximo ano. Se 
as condições do mercado de valores não são favoráveis (isto é, o mercado está “em baixa”), as 
ações podem perder 20% do seu valor. A empresa B proporciona utilidades seguras, de 15% num 
mercado “em alta” e só 5% num mercado “em baixa”. Todas as publicações que consultou 
predizem que há 60% de probabilidade que o mercado esteja “em alta” e 40% de que esteja “em 
baixa”. Onde deveria investir seu dinheiro?. 
Solução: O problema pode-se resumir como segue: 
 
 Rendimentos em um ano por investimento de $ 10.000 
Alternativa de decisão Mercado “em alta” ($) Mercado “em baixa” ($) 
Ações da empresa A 5000 - 2000 
Ações da empresa B 1500 500 
Probabilidade de ocorrência 0,6 0,4 
 
O problema também pode ser representado mediante uma arvore de decisão. Um quadrado 
representa um ponto de decisão e um círculo representa um evento: 
 
Investir em 
ações de A
1
2
3
Investir em 
ações de B
Mercado “em alta” (0,6)
Mercado “em baixa” (0,4)
Mercado “em alta” (0,6)
Mercado “em baixa” (0,4)
$ 5000
$ - 2000
$ 1500
$ 500
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Os rendimentos esperados para o ano 1 das alternativas são: 
Ações A: (5000) (0,6) + (- 200) (0,4) = 2200 Ações B: (1500) (0,6) + (500) (0,4) = 1100 
 
Com base nesses cálculos, se escolheria investir nas ações de A. 
 
Em geral, diz-se que é necessário conhecer os estados da natureza (“em alta” e “em baixa” do 
problema anterior), isto implica conhecer suas probabilidades e seus possíveis resultados. A decisão 
será o máximo valor esperado (quando a decisão implica lucro) ou o mínimo valor esperado (quando a 
decisão implica perda). Note que o somatório das probabilidades é igual a 1 e cada probabilidade deve 
ser  0. 
 
Portanto, se VEi representa o valor esperado da alternativa “i”, teremos que: 
 
VEi = ai1 p1 + ai2 p2 + .......... + ain pn; sendo i = 1, 2, ......, n e (p1 + p2 + ..... + pn) = 1 
 
onde: 
a i j é o retorno da alternativa “i”dado o estado da natureza “j” 
p i é a probabilidade de ocorrência do estado da natureza “j”, sendo p j  0 
 
b) Probabilidades a posteriori (Bayes): Considere o problema anterior sobre “mercado de valores”. 
Agora suponha que além de confiar nas publicações (que indicam que há 60% de probabilidade 
que o mercado esteja “em alta” e 40% de que esteja “em baixa”) você decidiu fazer uma pesquisa 
mais pessoal. Sua pesquisa permitiu saber sobre o fato de votar “a favor” ou “em contra” de 
investir. Assim, dentro da empresa, você determinou que se há um mercado “em alta” há um 90% 
de probabilidade de que o voto seja “a favor”. Se há um mercado “em baixa” há um 50% de 
probabilidade de que o voto seja “a favor”. 
a) Se a pesquisa feita por você indica “a favor”, investiria você nas ações de A ou em B? 
b) Se a pesquisa feita por você indica “em contra”, investiria você nas ações de A ou em B? 
Solução: 
Usando os seguintes símbolos: 
v1 = voto “a favor” v2 = voto “em contra” 
m1 = mercado “em alta” m2 = mercado “em baixa” 
Esse problema poderia ser resolvido com um arvore decisão como segue: 
 
 
 
Sabe-se que a probabilidade condicional de um evento B, conhecido um evento A, denotada como 
P(B\A), é: 
Investir em 
ações de A
2
4
5
Investir em 
ações de B
Mercado “em alta” (m1)
Mercado “em baixa” (m2)
Mercado “em alta” (m1)
Mercado “em baixa” (m2)
$ 5000
$ - 2000
$ 1500
$ 500
Investir em 
ações de A
3
6
7
Investir em 
ações de B
Mercado “em alta” (m1)
Mercado “em baixa” (m2)
Mercado “em alta” (m1)
Mercado “em baixa” (m2)
$ 5000
$ - 2000
$ 1500
$ 500
1
Voto “em 
contra” (v2)
Voto “a favor” 
(v1)
P (m1|v1) = 0,730
P (m2|v1) = 0,270
P (m1|v1) = 0,730
P (m2|v1) = 0,270
P (m1|v2) = 0,231
P (m2|v2) = 0,769
P (m1|v2) = 0,231
P (m2|v2) = 0,769
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0)A(Ppara,
)A(P
)BA(P
)A\B(P 


 
 
0)A(Ppara),A(P)A\B(P)BA(P:alevaissoqueNote 
 
 
Supondo que E1, E2, ........, Ek sejam k conjuntos mutuamente excludentes e exaustivos, então: 
 
 P(B) = P(BE1) + P(BE2) + ......... + P(BEk) 
 
 = P(B\E1) P(E1) + P(B\E2) P(E2) + ......... + P(B\Ek) P(Ek) 
 
Um gráfico da divisão de um evento B entre uma coleção de 4 eventos mutuamente excludentes (sem 
interseção entre eles) e exaustivos (todos eles somam o universo) mostra-se na figura abaixo: 
 
 
 
O teorema de Bayes indica que se E1, E2, ......, Ek forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e 
B for qualquer evento, então: 
 
0)B(Ppara,
)E(P)E\B(P.........)E(P)E\B(P)E(P)E\B(P
)E(P)E\B(P
)B\E(P
kk2211
11
1 


 
 
Portanto, devemos notar que o que necessitamos calcular são as probabilidades: 
 
P (m1|v1) ; P (m1|v2) e P (m2|v1) ; P (m2|v2) 
 
Assim: 
 P (m1|v1) = 
0)1v(Ppara,
)1v(P
)1m(P)1m\1v(P
)2m(P)2m\1v(P)1m(P)1m\1v(P
)1m(P)1m\1v(P


 
 
Do problema inicial, sabemos que P(m1) = 0,6 e P(m2) = 0,4; e que as novas informações permitem 
descrever as seguintes probabilidades condicionais: 
 
P (v1|m1) = 0,9; P (v2|m1) = 0,1; P (v1|m2) = 0,5; P (v2|m2) = 0,5; portanto: 
 
0)1v(Ppara,730,0
)4,0()5,0()6,0()9,0(
)6,0()9,0(
)1v|1m(P 


 
0)2v(Ppara,231,0
)4,0()5,0()6,0()1,0(
)6,0()1,0(
)2v|1m(P 


 
 
0)1v(Ppara,270,0
)6,0()9,0()4,0()5,0(
)4,0()5,0(
)1v|2m(P 


 
 
0)2v(Ppara,769,0
)6,0()1,0()4,0()5,0(
)4,0()5,0(
)2v|2m(P 


 
 
Agora estamos prontos para avaliar as alternativas com base nos retornos esperados: 
 
Voto a favor, investir em A: (5000) (0,730) + (- 2000) (0,270) = 3100 
4E
1E
3E
2E
1EB
4EB
2EB
3EB
B
S
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Voto a favor, investir em B: (1500) (0,730) + (500) (0,270) = 1230 
Se o voto for “a favor” a melhor decisão é investir em ações A. 
 
Voto em contra, investir em A: (5000) (0,231) + (- 2000) (0,769) = - 383 
Voto em contra, investir em B: (1500) (0,231) + (500) (0,769) = 731 
Se o voto for “Em contra” a melhor decisão seria investir em ações B. 
 
Problema: Uma certa empresa varejista coloca candidatos a crédito em duas categorias, riscos ruins e 
riscos bons. Estatísticas indicam que 10% da população seria classificada como de risco ruim pelos 
padrões da empresa. A empresa usa uma estratégia de escore de crédito para resolver se o crédito 
deveria ser concedido ao candidato. A experiência sugere que, se uma pessoa de bom risco, se 
candidata conseguirá crédito 90% das vezes. Se um indivíduo de risco ruim se candidata, o crédito 
será concedido em 20% das vezes. A gerencia acredita que é razoável presumir que as pessoas que 
pedem crédito sejam selecionadas de modo aleatório entre a população. Qual é a probabilidade de 
uma pessoa que recebe crédito ser um risco ruim? (Useo teorema de Bayes) 
 Resposta: P(risco ruim  crédito) = 0,024 
 
Problema: Jenny Lind é autora de romances. Uma empresa de filmes e uma rede de TV querem direitos 
exclusivos de uma de suas obras mais populares. Se ela assinar com a rede, receberá uma soma única, 
mas se assinar com a empresa de filmes, a quantia que receberá vai depender da resposta do mercado 
ao filme. Os resultados de Jenny estão resumidos na tabela abaixo. Se as estimativas de probabilidade 
para os estados de natureza são P(pequena) = 0,3; P(média) = 0,6 e P(grande) = 0,1. 
a) Para quem Jenny deveria vender os direitos? 
b) Qual é o máximo que Jenny deveria estar disposta a pagar para saber a magnitude da 
bilheteria antes de decidir com quem assinar? 
 
 Estado da natureza 
Decisão Bilheteria pequena Bilheteria média Bilheteria grande 
Assinar com a empresa de cinema 200.000 1.000.000 3.000.000 
Assinar com a rede de TV 900.000 900.000 900.000 
 
 Problema: O fazendeiro McCoy pode plantar milho ou soja. Se as probabilidades dos preços da 
próxima safra desses grãos subirem, permanecem os mesmos ou baixarem são 0,25; 0,30 e 0,45, 
respectivamente. Se os preços subirem, a safra de milho gerará 30.000 reais líquidos e a soja 10.000. Se 
os preços permanecerem os mesmos, McCoy (mal) conseguirá equilibrar a receita e despesa. Mas, se 
os preços baixarem, as safras de milho e soja darão prejuízos de 35.000 e 5.000 reais respectivamente. 
a) Represente o problema de McCoy como uma árvore de decisão. 
b) Qual dos grãos McCoy deve plantar? 
Solução: b) VE(milho) = - 8.250; VE (soja) = 250. Melhor selecionar soja. 
 
Problema: Você é o autor de um romance que promete ser um sucesso e tem a opção de publicá-lo por 
conta própria ou por meio de uma editora. A editora está lhe oferecendo $20.000 para assinar o 
contrato. Se o romance for um sucesso, vendera 200.000 cópias. Se não tiver, venderá apenas 10.000 
cópias. A editora paga $ 1 de royalties por copia. Um levantamento de mercado realizado pela editora 
indica que há 70% de chance de o romance ser um sucesso. Se você publicá-lo por conta própria, 
incorrerá em um custo inicial de $90.000 para impressão e marketing, mas cada copia vendida lhe 
renderá $ 2. 
a) Você aceitaria a oferta da editora ou publicaria o livro por conta própria? 
b) Suponha que você contrate um agente literário para realizar um levantamento referente ao 
sucesso potencial do romance. Por experiência própria, o agente lhe diz que quando um 
romance se torna um sucesso, o levantamento preverá o resultado errado 20% das vezes. 
Quando o romance não se torna um sucesso, o levantamento dará a previsão correta 85% das 
vezes. Como essa informação afetaria sua decisão? 
Respostas: 
a) Melhor é publicar o livro por conta própria (VE = 196.000) 
b) Quando feito um levantamento certo melhor “conta própria” (VE = 217.568,8) 
Quando feito um levantamento errado melhor “conta própria” (VE = 173.784,4) 
Portanto, a nova informação não muda a decisão anterior. 
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DECISÕES SOB INCERTEZA 
 
Da mesma forma que nas “decisões sob risco”, as decisões sob incerteza dependem dos estados 
da natureza (aleatórios). Em geral o problema consiste de ter “m” ações alternativas e “n” estados da 
natureza, os quais podem ser representados da seguinte forma: 
 
 s1 s2 ....... sn 
a1 v (a1, s1) v (a1, s2) ....... v (a1, sn) 
a2 v (a2, s1) v (a2, s2) ....... v (a2, sn) 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
am v (am, s1) v (am, s2) ....... v (am, sn) 
 
 O elemento ai representa a ação “i”, e o elemento sj representa o estado da natureza “j”. O 
resultado associado com a ação ai e o estado sj é v (ai, sj). 
 No caso das decisões sob risco, as probabilidades dos estados da natureza se conhecem ou se 
podem determinar. No caso das decisões sob incerteza, as probabilidades dos estados da natureza se 
desconhecem ou não se podem determinar. A falta de informação levou os pesquisadores a desenvolver 
vários critérios para analisar esse tipo de problema. Entre os principais temos: 
 
a) Critério de Laplace: Baseia-se no suposto de que se não se conhecem as probabilidades dos estados 
da natureza, então não há motivo para acreditar que elas sejam distintas. Portanto, se usa a 
hipótese otimista de que todos os estados da natureza são igualmente prováveis. Assim: 
 
P(s1) = P(s2) = ……. = P(sn) = 1/n 
 
Dado que o retorno v(ai, sj) representa o ganho, a melhor alternativa é a que dá: 
 










)s,a(v
n
1
max ji
n
1j
ai
 
 
Se v(ai, sj) representar prejuízo, então a minimização substitui a maximização. 
 
b) Critério Maximin (ou Minimax): É baseado na atitude conservadora de obter o melhor das piores 
condições possíveis. Se v(ai, sj) for prejuízo, então escolhemos a ação que corresponde ao critério 
Minimax: 
 






)s,a(vmaxmin ji
sa ji
 
 
Se v(ai, sj) representar o ganho, então usar o critério Maximin: 
 






)s,a(vminmax ji
sa ji
 
 
c) Critério de Savage: Aplica-se ao conservadorismo moderado no critério Minimax (Maximin) pela 
substituição da matriz de retorno (ganho ou perda) v(ai, sj) por uma matriz de perda (ou 
arrependimento) r(ai, sj), usando a seguinte transformação: 
 








ganhoforvse),s,a(v])s,a(v[max
perdaforvse],)s,a(v[min)s,a(v
)s,a(r
jijk
a
jk
a
ji
ji
k
k
 
 
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d) Critério de Hurwicz: Elaborado para refletir atitudes da tomada de decisão que vão da mais 
otimista à mais pessimista (ou conservadora). Defina-se 0   < 1 e se considere que v(ai, sj) 
representa ganho. Então, a ação selecionada deve ser associada com: 
 






 )s,a(vmin)1()s,a(vmaxmax ji
s
ji
sa jji
 
 
O parâmetro  é denominado índice de otimismo. Se  = 0, o critério é conservador porque se aplica 
ao critério Minimax normal. Se  = 1, o critério produz resultados otimistas porque procura o 
melhor das melhores condições. Podemos ajustar o grau de otimismo (ou pessimismo) por meio 
de uma seleção adequada do valor  na faixa especificada de (0, 1). Na ausência de um forte 
sentimento em relação a otimismo e pessimismo,  = 0,5 pode ser uma escolha adequada. 
Se v(ai, sj) representar prejuízo, o critério é mudado para: 
 






 )s,a(vmax)1()s,a(vminmin ji
s
ji
sa jji
 
 
Problema: Hank é um aluno inteligente e normalmente tira boas notas, contando que possa revisar o 
material do curso na noite anterior ao teste. Para o teste de amanha, Hank enfrenta um pequeno 
problema: seus companheiros de república vão dar uma festa durante a noite, da qual ele gostaria de 
participar. Ele tem três opções: 
a1 = divertir-se a noite inteira 
a2 = dividir a noite em partes iguais para estudar e participar da festa 
a3 = estudar a noite inteira 
O teste de amanha pode ser fácil (s1), moderado (s2) ou difícil (s3), dependendo do humor imprevisível 
do professor. Hank antecipa as seguintes: 
 
 s1 s2 s3 
a1 85 60 40 
a2 92 85 81 
a3 100 88 82 
 
a) Recomende um curso de ação para Hank, com base nos critérios de Laplace, Maximin (ou 
Minimax), de Savage e de Hurwicz (use  = 0,5). 
b) Suponha que Hank esteja mais interessado na nota alfabética que conseguirá (A = 90, B = 80, C 
= 70 ou D 60). Essa atitude em relação às notas exige uma mudança no curso de ação de 
Hank? 
 
Solução: 
a) Segundo o princípio de Laplace teríamos 3 estados da natureza: (sj, j = 1, 2, 3), P(sj) = 1/3 
O valor esperado para cada uma das 3 possíveis ações (ai com i = 1, 2, 3) será: 
E(a1) = 1/3 (85 + 60 + 40)  61,67 
E(a2) = 1/3 (92 + 85 + 81)= 86 
E(a3) = 1/3 (100 + 88 + 82) = 90 
Portanto, em função do critério de Laplace a melhor ação seria a3. 
 
Segundo o critério Maximin/Minmax, temos que os valores v(ai, sj) representam ganho, 
portanto, o princípio a ser usado é Maximin: 
 
 s1 s2 s3 Min da linha 
a1 85 60 40 40 
a2 92 85 81 81 
a3 100 88 82 82  Maximin 
 
Segundo o critério de Savage, primeiro faríamos 
)s,a(v]s,a(v[max jijk
ak

, já que as notas 
representam ganho: 
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 s1 s2 s3 
a1 100 - 85 = 15 88 – 60 = 28 82 – 40 = 42 
a2 100 - 92 = 8 88 – 85 = 3 82 – 81 = 1 
a3 100 – 100 = 0 88 – 88 = 0 82 – 82 = 0 
 
Logo escolhemos o Minimax da coluna, isto é escolhemos a alternativa a3, estudar a noite 
inteira Min (42; 41; 0) = 0. 
 
 s1 s2 s3 Max da linha 
a1 15 28 42 42 
a2 8 3 41 41 
a3 0 0 0 0  Minimax 
 
Segundo o critério de Hurwicz e para = 0,5 teriamos: 
 
 s1 s2 s3 Min 
linha 
Max 
linha 
0,5*Max linha + (1-0,5)*Min linha 
a1 85 60 40 40 85 42,5 + 20,0 = 62,5 
a2 92 85 81 81 92 46,0 + 40,5 = 86,5 
a3 100 88 82 82 100 50,0 + 41,0 = 91,0  Max 
 
Por ser uma matriz de ganho, a melhor alternativa seria a de maior valor (Max ai), ou seja, 
Max (62,5; 86,5; 91) = 91, isto é, a alternativa a3. 
 
Problema: A Cia. ABXT-Produtos Eletrônicos Ltda. está considerando o lançamento de um auto-rádio e 
tem quatro opções de modelo: ST, LX, LS e GL, que diferem entre si no acabamento e características 
técnicas. Os lucros anuais que cada modelo pode fornecer são dependentes das escalas de produção, 
que por sua vez são funções dos contratos com revendedores e fornecedores de peças e componentes. 
Os custos não variam uniformemente com as produções, já que a maioria dos componentes é 
comprada de fornecedores diferentes. Por outro lado, os preços dependem da aceitação do mercado. 
Nessa etapa do processo de planejamento, a empresa acredita que o lucro de cada alternativa irá 
depender da escala de produção e venda de cada tipo e, dessa forma, identificou quatro eventos que 
podem influenciar fundamentalmente os resultados finais. São eles: 
 
 Evento 1: produção e venda de 50.000 auto-rádios por ano 
 Evento 2: produção e venda de 70.000 auto-rádios por ano 
 Evento 3: produção e venda de 90.000 auto-rádios por ano 
 Evento 4: produção e venda de 100.000 auto-rádios por ano 
 
É importante observar que a companhia não deseja, neste estado de análise do problema, realizar 
análises mais detalhadas de custo e mercado, como por exemplo entrar em contato com revendedores 
e fornecedores, para não gerar expectativas. Assim, deseja examinar o problema em caráter 
preliminar, de forma a obter elementos para discutir, mais tarde, com os demais interessados. 
Para cada um dos eventos, os lucros esperados de cada modelo são fornecidos na tabela abaixo. 
 
Tipo Evento 1 Evento 2 Evento 3 Evento 4 
ST 26 24 24 23 
LX 27 28 22 20 
LS 25 27 29 31 
GL 26 26 26 26 
 
Recomende que tipo de auto-rádio a empresa deve fabricar com base em cada um dos critérios de 
decisão sob incerteza. 
 
Problema: Um empresário de shows tem que organizar um concerto e o pode fazê-lo ao ar livre ou 
num campo coberto. Os benefícios vão depender da assistência do público, e ela (a assistência) por sua 
vez do clima, que pode ser com chuva, nublado ou ensolarado. Os resultados esperados caso o show 
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seja ao ar livre são 10.000, 50.000 e 65.000 euros se o tempo for chuvoso, nublado ou ensolarado 
respectivamente. Se o concerto se realiza em campo coberto, os resultados seriam 45.000, 40.000 e 
35.000 euros para cada estado climático respectivamente. Pede-se: 
a) Determinar a matriz de decisão. 
b) Qual decisão deve tomar o empresário se utiliza o critério de Laplace? 
c) Qual seria a opção mais adequada se fosse aplicado o critério de arrependimento de Savage? 
d) Qual decisão deve tomar o empresário se utiliza o critério de Hurwicz para  = 0,35? 
 
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TEORIA DE FILAS 
 
Esperar por um serviço faz parte de nossa vida diária. Aparecem filas nos bancos, nos cinemas, 
no correio, em processos de produção, nos semáforos, etc. Embora a espera geralmente não possa ser 
complemente eliminada (principalmente por questões de custos), é possível reduzir o impacto adverso 
“a níveis toleráveis” (Taha, 2008). 
A teoria de filas visa quantificar o fenômeno da espera em filas (mas não visa otimizar a espera na 
fila), usando medidas representativas de desempenho como o comprimento médio da fila, o tempo 
médio de espera em fila e a média de utilização da instalação (Taha, 2008). Em geral, um processo 
básico de filas seria o seguinte: 
 
 
 
A figura anterior mostra que os clientes que requerem um serviço se geram ao longo do tempo 
numa fonte de entrada. A sequência com que os clientes são gerados vêm de uma distribuição 
probabilística (pode ser normal, exponencial, de Poisson, etc). Os clientes entram no sistema e se unem 
a uma fila. Em determinado momento se seleciona um membro da fila para lhe proporcionar o serviço, 
mediante alguma regra conhecida como disciplina da fila. Logo, se realiza o serviço ao cliente em um 
mecanismo de serviço, depois o cliente sai do sistema de filas (Hillier e Lieberman, 2006). 
 
Fonte de entrada: 
Uma característica da fonte de entrada é seu tamanho. O tamanho é o número total de clientes 
potenciais que podem requerer serviço em algum momento. A população a partir da qual surgem as 
unidades (os clientes) que chegam ao sistema se conhece como população de entrada. Pode-se supor que 
o tamanho é infinito ou finito (ou seja, a fonte de entrada é ilimitada ou limitada). 
Frequentemente se considera que os cliente se geram de acordo com uma distribuição de 
Poisson. Esse caso corresponde quando o cliente chega de forma aleatória, mas com uma taxa média 
fixa () sem importar quantos cliente já estão na fila. Uma suposição equivalente é considerar que a 
distribuição de probabilidade do tempo que transcorre entre duas chegadas consecutivas seja 
exponencial. Esse tempo entre duas chegadas se conhece simplesmente como tempo entre chegadas. 
Qualquer outro suposto sobre o comportamento dos clientes também deve ser considerado. Um 
suposto muito comum é o de desistência, o qual implica que o cliente desiste de entrar na fila devido a 
que a fila está muito grande ou abandonar uma fila porque estão esperando há muito tempo. 
 
Fila: 
A fila é onde os clientes esperam antes de receber o serviço. A fila se caracteriza pelo número 
máximo permitido de clientes que podem ser admitidos. As filas podem ser finitas ou infinitas, 
segundo se esse número máximo é finito ou infinito. Como os cálculos são muito mais simples no caso 
de tamanho infinito, esse suposto se faz quando o tamanho real seja um número fixo relativamente 
grande, e se considerará implícito, em qualquer modelo que não especifique outra coisa. 
O caso finito é mais difícil devido a que o número de clientes que formam a fila afeta o número 
potencial de clientes fora do sistema em qualquer momento; mas deve-se supor o caso finito se a taxa 
com que a fonte de entrada gera clientes novos é afetada de alguma forma significativa pelo número 
de clientes no sistema de linhas de espera. 
 
Disciplina da fila: 
Refere-se à ordem em que seus membros se selecionam para receber o serviço. Embora a 
disciplina primeiro que chega – primeiro a ser servido (FCFS – first come, first served) é a mais comum, 
existem outras disciplinas como último a chegar – primeiro a ser servido (LCFS – last come, first served), 
serviço em ordem aleatória (SIRO –service in ramdom order) ou alguma outra disciplina baseada em 
alguma prioridade de atendimento (por exemplo, serviços urgentes em uma oficina são processados 
antes dos serviços comuns). 
 
Fonte de 
entrada
Clientes
Sistemas de filas
Fila
Mecanismo 
de serviço
Clientes
atendidos
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 14 
Mecanismo de serviço: 
Refere-se ao número de estações de serviço, cada uma delas com um ou mais canais de serviços 
paralelos, chamados de servidores. Se existe mais de uma estação de serviço, o cliente pode receber o 
serviço de uma sequência delas, ou numa rede (sistemas de filas interligados). Os mecanismos mais 
comum são: 
 
 1 fila e 1 servidor 
 1 fila e n servidores 
 m filas e n servidores 
 Filas especiais (caixas expressos de supermercados) 
 Filas que seguem alguma alteração dinâmica do sistema de atendimento 
 
Exercício: Em cada uma das seguintes situações identifique o cliente e o servidor, além disso, 
discuta a possibilidade de um cliente trocar, desistir ou abandonar a fila: 
 
a) Aviões que chegam a um aeroporto. 
b) Táxis parados que atendem aos passageiros à espera. 
c) Ferramentas retiradas da área de ferramentas em uma oficina de usinagem. 
d) Cartas processadas em uma agência do correio. 
e) Matrícula para aulas em uma universidade. 
f) Casos judiciais. 
g) Operação de caixas registradoras em um supermercado. 
h) Funcionamento de um estacionamento. 
 
É bom ressaltar que o processo de saída (frequentemente chamado de processo de serviço) de um 
sistema de filas, usualmente é denominado de distribuição de probabilidade (do processo de saída), e 
é ele quem estabelece o tempo de serviço dos clientes. Na maioria dos casos se assume que a 
distribuição do tempo de serviço é independente do número de clientes presentes no sistema, o qual 
implica por exemplo, que o servidor não trabalha mais rápido quando mais clientes estão presentes 
(Goldberg, 2008). 
 
IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL NA TEORIA DE FILAS 
 
No estudo das filas é essencial uma condição: Que a chegada dos clientes seja totalmente 
aleatória. Nesse contexto, a aleatoriedade significa que a ocorrência de um evento não é influenciada 
pelo tempo transcorrido desde a ocorrência do último evento. Essa condição é totalmente preenchida 
pela distribuição exponencial, explicitamente pela sua propriedade de “falta de memória”. A 
importância da propriedade de falta de memória da distribuição exponencial é que permite simplificar o cálculo 
dos principais modelos da teoria de filas, como será visto mais na frente. Também, considerando que a 
distribuição exponencial pode descrever a distância entre eventos, nesse caso um evento poderia ser 
uma falha, a chegada de um cliente ou a conclusão de um serviço. 
 
 Em geral, se diz que X tem uma distribuição exponencial com parâmetro  ( > 0) se a função de 
densidade de probabilidade de X é (Devore, 2008): 
 


 


contráriocaso0
0xparae
);x(f
x
 
 
 O valor esperado de uma va X exponencialmente distribuída é: 
 

 

 1dxex)x(E
0
x
 
 
 Deve-se lembrar que nesta distribuição  tem unidades [ u/ut ] e µ tem unidades [ ut/u ]. Para 
obter o valor esperado se requer integrar por partes. A variância se calcula usando o fato de que V(X) = 
E(X2) – [ E(X) ]2. O cálculo de E(X2) requer integrar por partes, duas vezes. Os cálculos dão como 
resultado: 
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2
2 1


 
 
 A falta de memória consiste do seguinte: Se agora for 08:20 horas da manhã e a última chegada 
de um cliente ocorreu às 08:03 horas, a probabilidade de a próxima chegada ocorrer às 08:29 horas é 
uma função do intervalo entre 08:20 e 08:29, e é totalmente independente do tempo que transcorreu 
desde a ocorrência do último evento (de 08:03 a 08:20). Esse resultado é chamado de falta de memória. 
Em símbolos matemáticos é uma probabilidade condicional, da seguinte forma: 
 
P(X  t0 + t | X  t0) 
 
 Por definição da probabilidade condicional, teremos: 
 
)tX(P
])tX()ttX([P
)tX|ttX(P
0
00
00



 
 
 Mas o evento X  t0 no numerador é redundante, pois ambos eventos podem ocorrer se e 
somente se X  t0 + t, portanto: 
 
t
t
tt
t
)tt(
0
0
0
0
00 e
e
ee
e
e
);t(F1
);tt(F1
)tX(P
)ttX(P
)tX|ttX(P
0
0
0
0












 
 
 Essa probabilidade condicional é idêntica à probabilidade original P(X  t), portanto, a 
distribuição da duração adicional é exatamente a mesma que a distribuição original da duração, isso 
implica que o tempo entre os eventos são independentes. 
 
Problema: Se uma máquina quebra a cada 40 minutos em média, com distribuição exponencial, 
determine: 
a) A taxa média de quebra da máquina 
b) Se o técnico que conserta a máquina afirma-se: “essa máquina sempre quebra por volta das 
08:30 horas”, você aceitaria essa afirmação? 
c) Se agora são 08:20 horas, qual é a probabilidade de que a próxima quebra seja às 08:30? 
d) Se agora são as 07:00 horas, qual é a probabilidade de que a próxima quebra seja às 08:30? 
e) Se o técnico que conserta a máquina afirma-se: “essa máquina sempre quebra por volta das 
08:30 horas”, qual seria sua resposta tomando como referência os resultados dos itens “c” e 
“d”? 
Solução: 
a) Como 60 min = 1 hora, então a taxa média =  = 60/40 = 1,5 quebra/hora 
b) Desde o ponto de vista teórico, a afirmação deve ser considerada errada pois como a 
distribuição das quebras é exponencial, consequentemente a probabilidade de que aconteça 
uma quebra é totalmente aleatória. 
c) P (t  10/60) = 1 – e(-1,5)(10/60)  0,22 
d) P(t  90/60) = 1 – e(-1,5)(90/60)  0,89 
e) Pela resposta em “b” sabemos que a afirmação está errada. Mas se agora fossem as 08:20 
horas, a afirmação poderia se considerar errada, pois a probabilidade de que isso aconteça é 
0,22, a qual é pequena. 
Pela resposta em “b” sabemos que a afirmação está errada. Mas se agora fossem as 07:00 
horas, a afirmação poderia ser considerar certa, pois a probabilidade de que isso aconteça é 
0,89, a qual é alta. 
 
Problema: O tempo (em horas) requerido para reparar uma máquina é distribuído exponencialmente 
com  = 1. 
a) Qual é a probabilidade de que o tempo de reparo exceda de 2 horas? 
b) Qual é a probabilidade de que o tempo de reparo exceda de 30 minutos? 
c) Qual é a probabilidade condicional de que o tempo de reparo tome pelo menos 3 horas, dado 
que sua duração excedeu de 2 horas? 
 
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Problema: O número de anos de funcionamento de um reprodutor de mp3 é distribuído 
exponencialmente com parâmetro  = 1/8. Se João compra um reprodutor usado, qual é a 
probabilidade de que ele ainda funcione mais 10 anos? (Observação: Note que em alguns casos a 
distribuição exponencial não é realista). 
 
Problema: João imagina que o número total de milhares de quilômetros que um carro usado ainda 
pode percorrer antes que ele vire sucata é uma variável aleatória distribuída exponencialmente com 
parâmetro  = 1/20. Daniel tem um carro usado e afirma que foi conduzido por 10.000 quilômetros. 
Se João compra-se o carro de Daniel, qual seria a probabilidade de que ele consiga percorrer 20.000 
quilômetros adicionais pelo menos? 
 
O PROCESSO DE POISSON (Dos Santos, 2003) 
 
As propriedades do chamado “Processo de Poisson” se ajustam muito bem aos modelos básicos 
de filas. Este fato fez com que as soluções analíticas para modelos de filas pudessem ser obtidas para 
àqueles modelos. A obtenção de soluções analíticas para modelos que não seguem o Processode Poisson são, 
quando viáveis, matematicamente complexas e extremamente trabalhosas. Vejamos as propriedades 
fundamentais do Processo de Poisson, já adaptando-as para sistemas de filas, lembrando que estas 
propriedades estão “provadas matematicamente”: 
 
1) O n° de chegadas (ou de serviços completados) em uma unidade de tempo especificada é 
independente do n° de chegadas (ou término de serviços) em qualquer outra unidade de tempo. 
Esta propriedade se adéqua perfeitamente a um sistema de filas e para exemplificar vamos 
imaginar as chegadas de clientes à uma agência bancária. É óbvio que o n° de chegadas no minuto 
entre 11:34 e 11:35 é independente das chegadas no minuto entre 14:51 e 14:52. 
 
2) O n° médio de chegadas (ou de término de serviços) por unidade de tempo é proporcional ao 
tamanho da unidade de tempo. Assim se na agência bancária a média é de 2 chegadas/min, ela 
será de 120 chegadas/hora e 720/dia (considerando dia de 6 horas). 
 
3) A probabilidade da ocorrência de 2 chegadas simultâneas (ou término de 2 serviços) em uma 
unidade de tempo muito pequena (Δt) tende a zero. 
Vamos supor que a taxa de chegada a um determinado sistema de fila seja  = 5/hora. Se fizermos 
Δt muito pequeno, 1 segundo por exemplo, a probabilidade de 1 chegada em 1 segundo será igual 
a Δt = 5 * 1/3600 = 0, 0013. A probabilidade de 2 chegadas em qualquer segundo será igual a 
0,0013 * 0, 0013 = 0, 000006, ou seja, praticamente zero. 
 
4) A probabilidade de 1 chegada (ou término de serviço) ocorrer em uma unidade de tempo muito 
pequena, Δt, é sempre a mesma independente do instante de Δt. Desta forma se a probabilidade 
de 1 chegada em 1 segundo é de 0,0013, esta probabilidade será a mesma em qualquer segundo 
escolhido. 
 
5) Se a distribuição das chegadas (discreta) segue a distribuição de Poisson, então a distribuição do 
intervalo entre chegadas (contínua) segue a Exponencial. Se a distribuição da duração do serviço 
(contínua) segue a Exponencial, então a distribuição dos serviços completados (discreta) segue a 
Poisson. 
Nas amostragens, essa propriedade é a razão de que embora tivessem sido coletados tanto os 
dados discretos como os contínuos, basta trabalhar com uma delas, tanto no caso das chegadas 
como no caso do serviço, pois provada uma, via teste de aderência, está provada a outra. 
Desta forma se as chegadas seguem, por exemplo, uma Poisson, verificado via teste de aderência, 
com taxa média de  = 3/minuto, então o intervalo entre chegadas segue a Exponencial com 
média (1/μ) igual a 20 segundos. 
Da mesma forma se a duração do serviço segue, por exemplo, uma Exponencial com média (1/μ) 
de 30 segundos, então a distribuição dos serviços completados por unidade de tempo segue uma 
Poisson com média  = 2/minuto. 
 
Na teoria de filas criou-se uma convenção em que se diz que as chegadas seguem a Poisson (claro 
se passar no teste de aderência), ou seja, se trabalha com a taxa média de chegadas (discreta) enquanto 
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 17 
que para o serviço, trabalha-se com a sua duração (contínua), ou seja, se diz que ela segue a 
Exponencial. Mas como vimos acima, está correto dizer exatamente o inverso. É uma mera convenção. 
Lembre que a distribuição de Poisson tem a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
para um intervalo de tempo “t” teremos: 
!x
)t(e
)x(f);x(p
xt 


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
 
Problema (Taha, 2008, p. 250): O interessante deste problema é destacar a relação entre a distribuição 
Exponencial e a de Poisson. Olhe que a mesma resposta pode ser encontrada com ambas as 
distribuições. O resultado vai mostrar que se o tempo entre chegadas segue uma distribuição 
exponencial com média 1/, então o número de chegadas durante um período específico t segue uma 
distribuição de Poisson com média t. O inverso também é válido. 
 A taxa de nascimentos de bebês em um estado esparsamente povoado é de um nascimento a 
cada 12 minutos. O tempo entre nascimentos segue uma distribuição exponencial. Determine: 
a) O número médio de nascimentos por ano 
b) A probabilidade de não ocorrer nenhum nascimento em qualquer dia determinado 
c) A probabilidade de se emitir 50 certidões de nascimento em 3 horas dado que 40 certidões 
foram emitidas durante as 2 primeiras horas do período de 3 horas. 
d) A probabilidade de ter 20 nascimentos em um dia determinado. 
e) A probabilidade X  20 nascimentos em um dia determinado. 
 
Solução: 
a) A taxa média de nascimentos por dia e calculada da seguinte forma: 
 = (24 h/d) (60 min/h)/(12 min/nascimento) = 120 nascimentos/dia 
O número médio de nascimentos por ano é: 
t = (120 nascimentos/dia) (365 dias/ano) = 43.800 nascimentos/ano 
 
b) A probabilidade de não haver nenhum nascimento em qualquer dia determinado é calculada 
com base na distribuição de Poisson, da seguinte forma: 
 
!x
e
)x(f);x(p
x


, x = 0, 1, 2, ..... 
 
P(para t = 1 dia ter x = 0 nascimentos) = (e-120x1) (120x1)0/0! = e-120  0 
 
Um outro modo de calcular a mesma probabilidade é observar que nenhum nascimento em 
qualquer dia equivale a dizer que o tempo entre nascimentos sucessivos é maior do que um 
dia. Assim, podemos usar a distribuição exponencial para calcular a probabilidade desejada; 
 
xe)xX(P);x(F1 
, então P(t > 1) = e-120x1  0 
 
c) Calcular a probabilidade de emitir 50 certidões ao final de 3 horas dado que 40 certidões 
foram emitidas durante as 2 primeiras horas equivale a ter 10 (= 50 – 40) nascimentos em 1 (= 
3 – 2) hora porque a distribuição do número de nascimentos segue uma Poisson. 
Dado  = (60 min/h) (12 min/nascimento) = 5 nascimentos/h, obtemos; 
P(10) = (e-5x1) (5 x 1)10/10! = 0,01813 
 
d) P(para t = 1 dia ter x = 20 nascimentos) = (e-120x1) (120x1)20/20! = 1,208 x 10-29  0 
Usando a exponencial teríamos que usar 
)a(F)b(Fedx)x(f)b xP(a
b
a
xb
a
 

 
Para ter exatamente 20, temos que b = 20 e a = 20, portanto, F(20) – F(20) = 0 
 
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 18 
e) Para calcular uma p(X  20 nascimentos em um dia determinado) teríamos que fazer: 
 
0
!x
e
)20x(p
x20
0x






 
 
Note que essa fórmula não é a de Poisson (olhe o somatório), portanto, essa probabilidade não 
pode ser calculada usando a Exponencial. Lembre que a exponencial visa determinar a 
probabilidade de que um evento ocorra num intervalo de tempo. Nesse problema o que se 
esta tentando encontrar é a probabilidade de que menos de “n” eventos (nascimentos) 
aconteçam num intervalo de tempo [ 0, t ], com t = 1 dia. Claro a pergunta agora é: qual é o 
modelo adequado para saber “como calcular a probabilidade de ocorrerem menos de 20 
nascimentos no intervalo [ 0, t ] = [ 0, 1 ]? 
Pra este fim, seja Y a variável aleatória que representa o tempo necessário para ocorrerem n 
nascimentos, com média de  = 120 nascimentos por dia. A função de densidade desta 
variável é a distribuição de probabilidade Gamma, 
),n(Y 
. A função de densidade da 
distribuição Gamma é: 
 











0tse,0
0tse,et
!)1n()tY(P)t(g
t1n
n
 
 
Assim sendo, temos que a probabilidade de ocorrerem menos de 20 nascimentos (n = 20) em 
um dia (t = 1) para uma média de 120 nascimentos por dia ( = 120) é: 
 
00833,0dtedtet
!)1n(
dt)t(g)1t(G)1Y(P t
1
0
t1n
n1
0
1
0



  
 
 
 
 
 
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 19 
A NOTAÇÃO DE KENDALL (Dos Santos, 2003) 
 
 O professor D. G. Kendall criou, em 1953,uma notação para sistemas de filas que é hoje 
largamente usada. Ela tem, na sua forma simplificada, o seguinte formato: (a/b/c) onde, “a” representa a 
distribuição das chegadas, “b” representa a distribuição do serviço e “c” indica o número de estações 
de serviço. 
Um processo Markoviano se representa com a letra M. Como a distribuição de Poisson inclui as 
propriedades do processo Markoviano, cuja notação M é usada para “a” e “b” quando temos um 
processo de Poisson. Assim um modelo de fila em que a distribuição das chegadas segue a Poisson, a 
distribuição da duração do serviço segue a Exponencial e com 1 estação de serviço, teria a notação 
M/M/1. 
 
A notação de Kendall completa é a seguinte: 
 
 a/ b / c / d / e / f 
 
a = distribuição de tempos entre chegadas (chegadas no sistema) 
 
b = distribuição dos tempos de serviço (saídas do sistema) 
 
c = número de servidores 
 
d = capacidade do sistema 
 
e = tamanho da população 
 
f = disciplina da fila 
 
 
CONVENÇÃO PARA TEXTOS DE FILAS (Dos Santos, 2003) 
 
 Outra convenção em filas é que, se nada for dito em contrário, considera-se: 
 
• Tamanho da população: infinito 
• Tamanho permitido para a fila : infinito 
• Distribuição das chegadas: Poisson 
• Distribuição do serviço: Exponencial 
• Fila: única 
• Seleção para atendimento: FIFO 
 
ESTADO DE EQUILÍBRIO E ESTADO TRANSIENTE (Dos Santos, 2003) 
 
 Antes de entrarmos em detalhes, devemos observar que todos os modelos (as fórmulas dos 
modelos serão vistas mais na frente) a serem apresentados tem como pré-requisito o sistema de fila 
estar em estado de equilíbrio (ou de regime, ou estacionário), ou seja, estar com o seu processo de 
chegadas e atendimento dentro de condições normais. Esse estado é atingido após o sistema ter estado 
em operação por um tempo suficientemente longo. 
 Por exemplo, numa agencia bancária com grande movimento, o fluxo de pessoas (entrando e 
saindo) só vai-se a normalizar depois de um período relativamente longo de estar em funcionamento. 
Chegado a esse ponto de normalização pode-se dizer que o atendimento esta “em equilíbrio”. 
O estado anterior ao estado de equilíbrio denomina-se estado transiente (ou em aquecimento, ou 
de aquecimento). No caso da agência bancária com grande movimento, quando a agência abre pela 
manhã, já existe normalmente uma grande aglomeração na porta e, obviamente, as chegadas não 
obedecem a qualquer padrão. Da mesma forma no início do trabalhos o atendimento não atinge sua 
velocidade normal pois, de certa forma, os funcionários que fazem o atendimento ainda estão “em 
aquecimento”. 
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 20 
No exemplo anterior implicaria que até o fluxo de pessoas na agência se normalizar dizemos que 
o sistema está em regime transiente, após se normalizar o fluxo de pessoas o sistema se encontraria em 
estado de equilíbrio. 
O estado transiente não será estudado nesta matéria. Uma razão é que o estudo de grande parte 
das situações de filas ocorre sob condições de estado de equilíbrio. Outra razão para não estudar o 
comportamento do regime transiente é que ele é de extrema complexidade. 
 
 
UFPI – MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO: Prof. William Morán 21 
PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE 
 
 A maior parte dos modelos elementares de filas supõem que as entradas (chegadas dos clientes) 
e as saídas (clientes que vão embora depois de serem atendidos) no sistema ocorrem de acordo com 
um processo de nascimento e morte. Esse processo de teoria de probabilidade tem aplicações em várias 
áreas, porém no contexto da teoria de filas, o termo nascimento refere-se à chegada de um novo cliente 
e o termo morte refere-se à saída do cliente atendido. 
 Basicamente um processo de nascimento e morte visa descrever em termos probabilísticos como muda o 
estado do sistema [ N(t) ] ao aumentar o tempo (t, com t  0). Em geral, os nascimentos e as mortes ocorrem 
de forma aleatória, entanto, suas médias de ocorrência dependem do estado atual do sistema. 
 
 
MODELO DE NASCIMENTO PURO (Taha, 2008) 
 Um modelo de nascimento puro representa aquelas situações onde somente são permitidas 
chegadas. Um exemplo de nascimento puro é a emissão de certidões de nascimento para as crianças 
recém nascidas. Defina-se: 
 
p0(t) = probabilidade de nenhuma chegada acontecer durante um período de tempo t 
 
 Dado que o intervalo de tempo entre chegadas segue uma distribuição exponencial e que a taxa 
de chegadas é  clientes por unidade de tempo, então: 
 
p0(t) = p (intervalo de tempo entre chegadas  t), então 
 
p0(t) = 1 – p(intervalo de tempo entre chegadas  t) = 1 – (1 – 
te 
) = 
te 
 
 
 Para um intervalo de tempo suficientemente pequeno com h > 0, e usando a expansão de Taylor 
temos: 
 
.....
!2
)()0(
h1......
!2
)h(
h1e)h(p
222
h
0



 
 = 1 - h 
 
A distribuição exponencial é baseada na premissa de que, para um valor de h suficientemente 
pequeno, com h > 0, no máximo um evento (chegada) pode ocorrer. Assim, quando h  0, 
 
p1(h) = 1 – p0(h)  h 
 
 Esse resultado mostra que a probabilidade de uma chegada durante h é diretamente 
proporcional a h, sendo a taxa de chegadas, , a constante de proporcionalidade. 
 Para ir à origem do número de chegadas durante um período t quando o intervalo de tempo 
entre chegadas seguir uma distribuição exponencial com média 1/, defina-se: 
 
pn(t) = probabilidade de n chegadas durante t 
 
 Para h > 0 suficientemente pequeno. 
 
pn(t + h) = pn(t) [ 1 – h ] + pn-1(t)  h , n > 0 
 
pn(t + h) = p0(t) [ 1 – h ] , quando n = 0 
 
 Na primeira equação, n chegadas serão realizadas durante (t + h) se houver n chegadas durante t 
e nenhuma chegada durante h, ou (n-1) chegadas durante t e uma chagada durante h. Todas as outras 
combinações não são permitidas porque, de acordo com a distribuição exponencial, no máximo uma 
chegada pode ocorrer durante um período h muito pequeno. A lei do produto de probabilidade é 
aplicado ao lado direito da equação porque as chegadas são independentes. Para a segunda equação, 
só é possível ocorrer zero chegadas durante (t + h) se nenhuma chegada ocorrer durante t e h. 
 Rearranjando os termos e tomando os limites quando h  0, obtemos: 
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0npara)t(p)t(p
h
)t(p)ht(p
lim)t(p 1nn
nn
0h
'
n 

 
 
 
0npara)t(p
h
)t(p)ht(p
lim)t(p 0
00
0h
'
n 

 
 
 
onde 
)t(p'n
 é a primeira derivada de 
)t(pn
 em relação a t. 
 
Resolvendo as equações diferenciais geradas a partir dos limites encontra-se a solução das 
equações diferencias, dando: 
 
........,2,1,0ncom,
!n
e)t(
)t(p
tn
n 



 
 
Sendo essa solução encontrada acima, basicamente uma distribuição de Poisson com média de 
chegadas E[n|t] = t durante o tempo t. O resultado mostra que, se o tempo entre chegadas segue 
uma distribuição exponencial com média 1/, então o número de chegadas durante um período 
específico t segue uma distribuição de Poisson com média t. O inverso também é válido. 
 
RESUMO DE RELAÇÕES ENTRE A EXPONENCIAL E A DE POISSON 
 
O tempo entre chegadas é distribuído exponencialmente com parâmetro , si e somente si, o 
número de chegadas ocorridas em um intervalo de tempo “t” segue uma distribuição de Poisson com 
parâmetro “t” (Goldberg, 2008). 
 
 Exponencial Poisson 
Variável aleatória Tempo entre chegadas 
sucessivas, t 
Número de chegadas, n, durante o período 
especificado T 
Faixa t  0 n = 0, 1, 2, ..... 
Função de densidade f(t) =
te 
, t  0 
........,2,1,0ncom,
!n
e)T(
)T(p
Tn
n 



 
Valor médio 1/ unidades detempo T chegadas durante T 
Probabilidade acumulada P(t  A) = 1 –
Ae 
 pn  N (T) = p0(T) + p1(T) + ...... + pN(T) 
P(nenhuma chegada no 
período A) 
P(t > A) = 
Ae 
 p0(A) = 
Ae 
 
 
 
Problema: Um colecionador de arte viaja uma vez no mês, em média, para assistir a leilões. Em cada 
viagem se garante uma compra. O tempo entre as viagens tem distribuição exponencial. Determine: 
a) A probabilidade de que o colecionador não compre obras de arte em um período de 3 meses. 
b) A probabilidade de que o colecionador não compre mais de 8 obras de arte por ano. 
c) A probabilidade de que o tempo entre viagens sucessivos seja maior que 1 mês. 
 
Problema: Num banco, a frequência de chegadas é de 2 clientes por minuto. Determine: 
a) A quantidade média de chegadas durante 5 minutos? 
b) A probabilidade de que não aconteçam chegadas no seguinte 0,5 minuto 
c) A probabilidade de que aconteça pelo menos uma chegada durante o seguinte 0,5 minuto 
d) A probabilidade de que o tempo entre duas chegadas sucessivas seja de 3 minutos, pelo 
menos. 
 
 
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MODELO DE MORTE PURO (Taha, 2008) 
 Um modelo de morte pura representa aquelas situações onde somente são permitidas saídas. Um 
exemplo de morte pura é a venda de um item em uma loja. No modelo de morte puro, o sistema 
começa com N clientes no tempo 0 e nenhuma nova chegada é permitida. As partidas ocorrem à taxa 
de µ clientes por unidade de tempo. Para desenvolver as equações diferenciais de diferenças para a 
probabilidade pn(t) de n clientes permanecerem após t unidades de tempo, seguimos os argumentos 
usados para o modelo de nascimento puro. 
 
pN(t + h) = pN(t) [ 1 - µh ] 
 
pn(t + h) = pn(t) [ 1 - µh ] + pn-1(t) µ h , 0 < n < N 
 
p0(t + h) = p0(t) [ 1 ] + p1(t) µ h 
 
Aplicando limites quando h  0, obtemos: 
 
)t(P)t(P N
'
N 
 
 
Nn0)t(P)t(P)t(P 1nn
'
n  
 
 
)t(P)t(P 1
'
0 
 
 
Resolvendo as equações diferenciais anteriores geradas a partir dos limites encontra-se a solução 
das equações diferencias, resultando a seguinte distribuição de Poisson truncada: 
 
N,........,2,1ncom,
!)nN(
e)t(
)t(p
tnN
n 




 
 
)t(p1)t(p n
N
1n
0 


 
 
Problema: A seção de flores de uma loja tem um estoque de 18 dúzias de rosas no início de cada 
semana. Na média, a seção vende três dúzias por dia (uma dúzia por vez), mas a demanda 
propriamente dita segue uma distribuição de Poisson. Sempre que o nível do estoque chega a 5 dúzias 
é emitido um novo pedido de 18 dúzias para entrega no início da semana seguinte. Devido à natureza 
do item, todas as rosas que sobram no final da semana são descartadas. Determine: 
a) A probabilidade de emitir um pedido em qualquer dia da semana 
b) O número médio de dúzias de rosas que serão descartadas no final da semana 
Solução: 
a) Nota-se que µ = 3 dúzias/dia; onde a probabilidade de emitir um pedido no final do dia t é 
dada por: 
 
pn  5(t) = p0(t) + p1(t) + …… + p5(t) = p0(t) + 
7,......,2,1tcom,
!)n18(
e)t3( t3n185
1n





 
 
Os resultados depois de substituir t e n é: 
 
t (dias) 1 2 3 4 5 6 7 
µt 3 6 9 12 15 18 21 
pn  5(t) 0,0000 0,0088 0,1242 0,4240 0,7324 0,9083 0,9755 
 
b) O número de médio de rosas descartadas no final da semana (t = 7) é: 
dúzia1664,0)7(pn = ]7 = t|n [ E n
18
0n


 
 
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O MODELO M/M/1 
 
Daqui em diante, a maioria dos modelos de fila estão baseados no trabalho de Dos Santos (2003). 
Este é o modelo mais simples da teoria de filas, ou seja, tamanho de população infinito, tamanho 
permitido para a fila infinito, chegadas seguindo a distribuição de Poisson, duração do serviço 
seguindo a distribuição Exponencial, fila única com seleção FIFO e 1 estação de serviço. 
Vamos desenvolver a seguir, as fórmulas que permitem medir as características principais deste 
tipo de modelo. Fazendo: 
 
 = taxa de chegada 
µ = taxa de serviço 
Δt = unidade de tempo muito pequena 
 Δt = probabilidade de ocorrer 1 chegada durante Δt 
µ Δt = probabilidade de ocorrer o fim de 1 serviço durante Δt 
 
A condição básica para que um sistema de fila seja estável é que a taxa de chegada seja menor do 
que a taxa de serviço, ou seja, /µ tem que ser menor do que 1. Caso isto não aconteça a fila tende ao 
infinito. Veremos mais adiante que é necessário na verdade que  seja razoavelmente menor que µ, 
pois mesmo sendo menor, se tiver um valor muito próximo de µ, a fila tenderá ao infinito. 
Existem 3 eventos possíveis durante Δt: a entrada de 1 unidade no sistema, a saída de 1 unidade 
do sistema ou nenhuma alteração, ou seja, nenhuma chegada ou nenhum término de serviço. Se Δt é 
a probabilidade de 1 chegada durante Δt, então (1−Δt) é a probabilidade de nenhuma chegada. De 
forma semelhante se µΔt é a probabilidade de fim de 1 serviço, então (1 − µΔt) é a probabilidade de 
que nenhum serviço seja completado. A probabilidade conjunta de nenhuma chegada e nenhum 
término de serviço, durante Δt, é dada por: 
 
[1 − Δt][1 − µΔt] = 1 − Δt − µΔt + µ(Δt)2 
 
como Δt é muito pequeno podemos considerar (Δt)2 como  0 e desta forma a probabilidade de 
nenhuma alteração é 1 − (Δt + µΔt). Os estados do sistema nos instantes “t” e (t + Δt) com os 3 
eventos possíveis durante Δt são mostrados na tabela a seguir, onde k é o número de unidades no 
sistema e Pn é a probabilidade de existirem “n” usuários no sistema: 
 
Probabilidade 
do estado 
Unidades no 
estado no 
instante “t” 
Probabilidade 
do evento 
Estado no instante 
(t + Δt) 
Probabilidade do 
estado em (t + Δt) 
 
P0 
 
k = 0 
0 (não existe) 
1 − Δt 
Δt 
k = − 1 (não existe) 
k = 0 
k = 1 
0 (não existe) 
P0 (1 − Δt) **− µΔt 
P0 (Δt) 
 
P1 
 
k = 1 
µΔt 
1 − (Δt + µΔt) 
Δt 
k = 0 
k = 1 
k = 2 
P1 (µΔt) 
P1 (1 − Δt − µΔt) 
P1 (Δt) 
 
P2 
 
k = 2 
µΔt 
1 − (Δt + µΔt) 
Δt 
k = 1 
k = 2 
k = 3 
P2 (µΔt) 
P2 (1 − Δt − µΔt) 
P2 (Δt) 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
Pn 
 
k = n 
µΔt 
1 − (Δt + µΔt) 
Δt 
k = n – 1 
k = n 
k = n + 1 
Pn (µΔt) 
Pn (1 − Δt − µΔt) 
Pn (Δt) 
 
 
Note que no estado em que existem zero unidades no sistema (k = 0), para o próximo instante ”t+ 
Δt”, somente 2 eventos podem ocorrer: ou não há nenhuma chegada, com probabilidade (1 − Δt) ou 
há uma chegada com probabilidade Δt. Nos estados em que k ≥ 1, para qualquer instante “t + Δt”, 
existem 3 eventos possíveis: ou uma unidade sai, ou nenhuma unidade sai ou chega, ou uma unidade 
chega (como mostrado na tabela para k = 1, 2, ...., n). 
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Voltando à tabela nós vemos que existem 2 maneiras de se ter zero unidades no sistema no 
instante (t + Δt): Quando k = 0 no instante “t” e nenhuma chegada ocorre e, quando k = 1 no instante 
“t + Δt” e uma saída ocorre. A probabilidade de termos zero unidades no sistema no instante (t + Δt) é 
a probabilidade de ter zero unidades no instante (t + Δt) multiplicada pela probabilidade de nenhuma 
chegada, ou seja P0(1 − Δt), mais a probabilidade de termos uma unidade no instante “t” 
multiplicada pela probabilidade de uma saída, ou seja P1(µΔt). Isto dá: 
 
P0 = P0(1 − Δt) + P1(µΔt) (Eq. 1) 
 
De forma análoga, a probabilidade de termos 1 unidade no sistema no instante (t + Δt) é igual a: 
 
P1 = P0(Δt) + P1(1 − Δt − µΔt) + P2(µΔt) (Eq. 2) 
 
No caso geral, a probabilidade de ter “n” unidades nosistema no instante (t + Δt) é dada por: 
 
Pn = Pn−1(Δt) + Pn(1 − Δt − µΔt) + Pn+1(µΔt) (Eq. 3) 
 
Resolvendo a equação (1) para P1 em função de P0, temos: 
 
P0 = P0(1 − Δt) + P1(µΔt)  P1(µΔt) = P0 − P0(1 − Δt) 
 
P1(µΔt) = P0 (1 − (1 − Δt))  P1(µΔt) = P0 (Δt) 
 











 01
0
1 PP
t
)t(P
P
 (Eq. 4) 
 
A tabela também pode ser entendida por meio de um diagrama de transição de filas de Poisson 
(Markov), como mostrado a seguir: 
 
 
 
 Sob condições de estado de equilíbrio, para n > 0, as taxas de fluxo esperadas de entrada no estado 
“n” é o da taxa de saída no estado “n”, devem ser iguais. Com base no fato de que o estado “n” só pode 
ser atingido a partir dos estados (n – 1) e (n + 1), obtemos: 
 
Taxa de fluxo esperado de entrada no estado “n” = n−1pn−1 + µn+1 pn+1 
 
De forma semelhante: 
 
Taxa de fluxo esperado de saída no estado “n” = npn + µn pn 
 
Igualando as duas taxas, obtemos a seguinte equação de equilíbrio: 
 
n−1pn−1 + µn+1 pn+1 = npn + µn pn , n = 1, 2, 3, ..... 
 
Da figura anterior, para n = 0, temos: 0p0 = µ1 p1 (note que n−1 e µn não existem para n = 0) 
 
Consequentemente: 








 01 PP
, que é igual à Eq. 4 encontrada anteriormente. Logicamente isso 
acontece quando a taxa de chegadas é constante em todos os estados i =  e quando a taxa de saídas 
também é constante em todos os estados µi = µ. 
 
 
0 1 2 n - 1 n n+1.... ....
1 2 n n+1
0 1 n -1 n
Estado:
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Voltando à tabela e resolvendo a equação (3) para Pn+1 em função de Pn e Pn−1, temos: 
 
Pn+1(µΔt) = Pn − Pn−1(Δt) − Pn(1 − Δt − µΔt)  Pn+1(µΔt) = Pn − Pn−1(Δt) − Pn + Pn Δt + Pn µΔt 
 
Pn+1(µΔt) = Pn Δt + Pn µΔt − Pn−1(Δt) 
 
 















































  1nn1n1nnn1n P_1PP
t
t
P_
t
t
P
t
t
PP
 
 
















  1nn1n P_PP
 
 
Substituindo “n” por 1, temos: 
















 012 P_PP
 
 
Substituindo o valor de P1 da equação (4) temos: 
























 002 P_PP
 
 
Fatorando 








0P
 do segundo termo: 

















 1PP 02
 
 
Finalmente temos: 
2
02 PP 








 
Se seguirmos os mesmos passos para P3, temos: 
3
03 PP 








 
Por indução se infere que: 
)5.Eq(PP
n
0n 








 
Da teoria da probabilidade nós sabemos que a soma de todas as probabilidades é igual a 1. Logo, 
 
1Pn
0n



, portanto, da Eq. 5, temos: 
n
0n
0
n
0
0n
n
0n
1
P1PP


















 





 
 
O denominador desta expressão é uma série geométrica infinita que converge para 








1
1
, se 








for menor que 1 (lembre que 
1


 é a condição para que a fila não tenda ao infinito). 
 
Temos então: 
)6.Eq(1P
1
1
P 0
1
0














 
 
Das equações (5) e (6) temos: 
)7.Eq(1P
n
n 
















 
 
A média de uma variável x é definida como xP(x), logo o número médio de unidades no sistema 
(representado por L) é dado por: 
n
0n
PnL 



 
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Substituindo o valor de Pn na equação anterior, temos: 
 
n
0n
n
0n
n11nL 































 




 
 
O somatório 
n
0n
n 










da equação acima, quando 








for menor que 1, é uma série geométrica 
infinita que converge para 
2
1 
















 
 
Logo temos: 








































2
1
1L 
 
Que finalmente se reduz a: 










L
 (Eq. 8) 
 
Nosso propósito é determinar várias medidas do desempenho de um sistema de filas tais como: 
 
L = número médio de unidades no sistema. 
Lq = número médio de unidades na fila. 
W = tempo médio que uma unidade fica no sistema. 
Wq = tempo médio que uma unidade fica na fila. 
 
Se nós esperamos  chegadas por unidade de tempo e se cada unidade gasta, em média no 
sistema, W unidades de tempo, então o tempo total gasto no sistema para  chegadas é W. Por 
exemplo, se chegam em média 2 usuários por hora e cada chegada passa 3 horas no sistema, então o 
total de horas gasto pelos 2 usuários no sistema é 6. Isto implica que existem 6 (L = 6) usuários, em 
média, no sistema (isto é, usuários 1 e 2 na sua 3a hora, usuários 3 e 4 na sua 2a hora e usuários 5 e 6 na 
1a hora). Isto nos dá a relação: 
 
L = W (Eq. 9) 
 
O mesmo raciocínio pode ser inferido para a relação do número médio de usuários na fila e o 
tempo que eles passam na fila: 
 
Lq = Wq (Eq. 10) 
 
O tempo médio gasto no sistema (W) deve ser igual ao tempo médio gasto na fila mais o tempo 
de serviço esperado (1/µ). Temos então: 
 
W = Wq + 

1
 (Eq. 11) 
 
Logo uma vez que tenhamos obtido o valor de L da equação (8) podemos, da equação (9), 
encontrar o valor de W: 
 




1L
W
 
 
Podemos com W calcular o valor de Wq, da equação (11): 
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)(
111
WWq









 
 
Finalmente da equação (10) podemos calcular Lq: 
 
)()(
WL
2
qq






 
 
O resto de fórmulas não só deste modelo como dos outros modelos que veremos a seguir são 
desenvolvidas de forma análoga ao que vimos até aqui, embora que para alguns modelos, a 
matemática envolvida seja bem mais complexa. 
 
Resumo das fórmulas do modelo M/M/1: 
 
 = taxa média de chegada (1/ = intervalo médio entre chegadas) 
 
µ = taxa de serviço média (1/µ = duração média do serviço) 
 
n = número de unidades no sistema (inclui as da fila e a sendo servida). 
 
Probabilidade de 0 unidades no sistema, ou seja, a probabilidade do sistema estar vazio: 


 1P0
 
 
Probabilidade de existirem “n” unidades no sistema: 
n
n 1P 
















 
 
Probabilidade de existirem mais de k unidades no sistema: 
1k
)kn(P










 
Número médio (esperado) de unidades no sistema: L = W = 


 
Número médio (esperado) de unidades na fila: 
)(
WL
2
qq



 
 
Tempo médio (esperado) que cada unidade permanece no sistema: 



1L
W
 
 
Tempo médio (esperado) que cada unidade permanece na fila: 
)(
1
WWq





 
 
Fator de utilização da estação de serviço: 



 
 
Probabilidade de 1 unidade demorar mais de t unidades de tempo no sistema: 
t)1(e)tT(P 
 
 
Podemos ter ainda as seguintes relações entre as medidas básicas: 
 
qq WLL 



 
 
WLL q 



 
 




q
q
L1
WW
 
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



L1
WW q
 
 
Problema: Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com uma duração média entre 
chegadas de 20 minutos. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada cliente. 
 
a) Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido (atendido)? 
b) Qual é o n° esperado de clientes no salão de barbeiro? na fila? 
c) Quanto tempo, em média, um cliente permanece no salão? 
d) Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila? 
e) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no salão? 
f) O barbeiro está estudando a possibilidade de colocar outro barbeiro desde que o tempo de 
permanência médio de cada cliente no salão passe a 1,25 horas. Para quanto deve aumentar a taxa 
de chegada de modo que este segundo barbeiro fique justificado? 
 
Solução: 
a) Temos que: 
 = 1 cliente/20 minutos = 3 clientes/h 
µ = 1 cliente/15 minutos = 4 cliente/h 
A probabilidade de não esperar equivale a dizer que não haja ninguém na fila, ou seja: 
25,0
4
3
11P0 



 
b) O n° esperado de clientes no salão é 
34
3
L





 = 3 clientes 
O n° esperado de clientes na fila é 
4
3
3LLq 



= 2,25 clientes 
Alguém atento à resposta anterior poderia afirmar que a diferença entre L e Lq , o número 
médio de clientes no sistema (L) e o número médio de clientes na fila (Lq) deveria ser 1, ou 
seja, o freguês que está sendo atendido pelo barbeiro. Na verdade (L − Lq) representa o 
percentual médio de clientes atendidos por unidade de tempo e o resultado é menor que 1 porque as 
vezes o barbeiro fica ocioso. 
c) O tempo que em média um cliente permanece no salão é: 
hora1
34
11
W 




 
d) O tempo que em média um cliente permanece na fila é: 
hora75,0
)34(4
3
)(
Wq 





 
e) A probabilidade de um cliente ficar mais de 30 minutos no salão é: 
%6161,0ee)tT(P 5,0)4/31(4t)1(  
 
f) Para encontrar a taxa de chegadas que justificariam um segundo barbeiro, considerando que 
um cliente passe 1,25 horas no salão, teríamos que fazer: 
hora/clientes2,3
4
1
25,1
1
W 




 
Assim, se a taxa de chegada fosse maior igual que 3,2 clientes/hora se justificaria a 
contratação de um outro barbeiro. 
 
Problema: Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada 
pessoa gasta em média 20 segundos para comprar um ingresso. 
 
a) Se uma determinada pessoa chega 2 minutos antes do jogo começar e se ela gasta exatamente 1,5 
minutos para chegar ao seu lugar após comprar o seu ingresso, ela estará sentada antes do jogo 
começar? 
b) Qual a probabilidade da pessoa do item “a” estar sentada antes do jogo começar? 
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c) Com que antecedência deve a pessoa chegar para ter 99% de certeza de estar sentada antes do jogo 
começar? 
Solução: 
 
 = 1/min; µ = 3/min 
a) 
utosmin5,0
13
11
W 




 
Logo o tempo médio para comprar o ingresso e achar o lugar é (0,5 + 1,5) = 2 minutos, ou 
seja, a pessoa deverá estar sentada antes do jogo começar. 
b) É igual a probabilidade do ingresso ser comprado em tempo menor ou igual a 0,5 minutos. 
P(T ≤ 0, 5) = 1 − P(T > 0, 5) = 1 − e−µ (1−ρ)t = 1 − e−3(1−1/3)(0,5) = 0, 63 = 63% 
c) Queremos achar “t” de modo que P(T > t) = 0,01 
e−µ(1−ρ)t = 0,01 ⇒ e−3(1− 1/3)t  t = 2,3 minutos 
Logo: P(T > 2,3) = 0,01  P(T ≤ 2,3) = 0,99 
Como a pessoa gasta 1,5 minutos para achar seu lugar ela deve chegar (1,5 + 2,3) = 3,8 
minutos antes do jogo começar para ter 99% de certeza de conseguir estar sentado antes do 
jogo começar. 
 
Problema: Fregueses chegam aleatoriamente a uma padaria à taxa média de 12 clientes/hora. O único 
empregado da padaria pode servir fregueses à taxa média de 20 clientes/hora. O empregado recebe 
$3/hora enquanto que o custo do tempo que os fregueses “perdem” na padaria está estimado em $ 
8/hora. O dono da padaria está considerando a instalação de um equipamento de auto-serviço que 
fará com que a taxa de atendimento aos fregueses passe para 42 fregueses/hora. O custo do 
equipamento de auto-serviço é de $ 30/dia. Considerando que a padaria funciona 12 horas/dia, 
justifique economicamente se o equipamento de auto-serviço deve ou não ser comprado? 
 
Solução: 
 = 12/hora 
Custo Total = Custo do atendimento + Custo dos fregueses por “perder” tempo na fila 
Situação Atual: 
µ = 20/hora 
Custo do empregado = $3/hr ×12 hr/dia = $36/dia ⇒ Custo do serviço 
W = tempo médio que um freguês permanece na padaria 
freguês/h125,0
1220
11
W 




 
Custo de espera na padaria de um freguês = 0, 125 horas/freguês × $ 8/hr = $1/freguês 
Custo da fila = $1/freguês × 12 fregueses/hr × 12 hr/dia = $144/dia 
Custo total = $36 + $144 = $180/dia 
 
Situação Proposta: 
µ = 42/hora 
1242
11
W




 = 0,0333 horas/freguês 
Custo de espera na fila de um freguês = 0, 0333 horas/freguês × $8/hr = $ 0,266/freguês 
Custo da fila = $0,266 /freguês × 12 fregueses/hr × 12 hr/dia = $ 38,40/dia 
Custo do equipamento = $30/dia 
Custo do serviço = $ 36 + $ 30 = $ 66/dia 
Custo total = $ 66 + $38,40 = $ 104,40/dia 
 
Resposta: A situação proposta (compra do equipamento) é melhor. 
 
 
 
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Exemplo (Torres, 2010): Considere um sistema simples, de uma fila e um servidor. Nele existem 3 
elementos: clientes que chegam ao sistema, uma fila FIFO e um servidor para atender os clientes. O 
tempo entre as chegadas e as saídas mudam de forma aleatória. Os clientes são atendidos 
individualmente pelo servidor. Os “tempos entre chegadas dos clientes” e a “duração do serviço” em 
minutos foram registrados, obtendo-se os seguintes dados: 
 
Tempo entre chegadas (min) 1,2 2,4 3,1 1,7 2,4 1,6 3,7 2,9 3,3 1,6 2,3 
Tempo de serviço (min) 3,2 2,7 4,5 3,8 2,2 4,3 3,1 2,4 4,2 3,3 2,9 
 
a) Faça os cálculos do “tempo na fila” e do “tempo no sistema” de cada cliente, até que o quinto 
cliente saia do sistema. 
b) Faça um quadro que mostre os eventos (considere os eventos como as “chegadas” e “saídas” 
dos clientes) até a saída do quinto cliente, o tipo de evento, instante em que ocorreu o evento, 
o número de clientes nas fila e o número de clientes no sistema. 
c) Faça um gráfico que mostre o “tempo” vs. “número de usuários na fila”. 
d) Faça um gráfico que mostre o “tempo” vs. “número de clientes no sistema”. 
e) Estime os seguintes indicadores: tempo médio na fila, tempo médio no sistema, tamanho 
médio da fila, número médio de clientes no sistema, utilização do servidor e a velocidade 
média do servidor. 
 
Solução: 
 
a) No problema existem dois tipos de eventos que devem ser considerados. Na tabela abaixo, 
mostra-se a simulação manual dos eventos (“c” significa cliente) até a saída do quinto cliente. 
 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 
Chegadas Chegadas 
acum. 
Início Duração Fim Saída Tempo 
na fila 
Tempo no 
sistema 
 (3) + (4) (3) – (2) (5) – (1) 
1,2 1,2 1,2 3,2 4,4 C1 0,0 3,2 
2,4 3,6 4,4 2,7 7,1 C2 0,8 3,5 
3,1 6,7 7,1 4,5 11,6 C3