Escoamento invíscido

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ESCOAMENTO INVÍSCIDOESCOAMENTO INVÍSCIDOESCOAMENTO INVÍSCIDOESCOAMENTO INVÍSCIDO
DINÂMICA DOS FLUIDOS 
→ estuda o comportamento físico macroscópico dos fluidos (líquidos e
gases)
→ escoamentos reais ( difíceis de se estudar seja experimental, seja
analiticamente)
→ envolvem questões complexas: viscosidade, turbulência, atrito de
forma, compressibilidade, estados não-estacionários, etc.
→ opção→ uso de modelos teóricos considerando fluido ideal: apesar→ opção→ uso de modelos teóricos considerando fluido ideal: apesar
da abordagem simplificada é útil em certos estudos do comportamento
dos escoamentos.
→ mas o que é um fluido ideal?
Classificação do escoamento
• Quanto à direção
• Quanto à variação no tempo
• Quanto ao regime
• Quanto à variação na trajetória
• Quanto ao movimento de rotação
• Quanto à compressibilidade
• Quanto ao seu caráter viscoso
1. Escoamento uni, bi e tridimensional
2. Escoamento estacionário (permanente) ou não-estacionário (transiente)
não-estacionário (transiente)não-estacionário (transiente)
estacionário (permanente)
Quando o escoamento é
estacionário as grandezas
que o caracterizam não
variam no tempo.
Escoamento laminar
3. Escoamento laminar e turbulento
Escoamento turbulento
Escoamento uniforme: mesma velocidade ao longo da trajetória.
Escoamento variado: velocidade varia ao longo da trajetória.
4. Escoamento uniforme e variado
5. Escoamento rotacional e irrotacional
Escoamento rotacional: cada partícula está sujeita a uma velocidade 
angular ω, girando ao redor de seu eixo
Escoamento irrotacional: a partícula se movimenta sem girar ao redor de 
seu eixo
Um escoamento é irrotacional quando
não possui velocidade angular, o que
elimina a possibilidade de existirem
vórtices e turbulência.
6. Escoamento compressível e incompressível
ρ não varia nem com o tempo, 
nem com a posição.
→ líquidos: podem ser considerados incompressíveis 
→ gases: são bastante compressíveis. A compressibilidade do ar depende 
entre outras coisas da sua velocidade.
0.v
tDt
D
=ρ∇+
∂
ρ∂
=
ρ
Velocidade característica do escoamento
Velocidade do som
Ma < 0,3 → incompressívelMa < 0,3 → incompressível
Ma > 0,3 → compressível
Ma = 1 → sônico (avião comercial Ma ≈ 0,8)
Ma > 1 → superssônico
Ma→ é o parâmetro adimensional mais importante para escoamento compressível
Para ρar=1,2 kg/m3 e Patm a velocidade do som é 344 m/s. Para Ma < 0,3 ⇒ v <
0,3.344 ≈ 100 m/s
→ Baixas velocidades: tendência a ser incompressível, mesmo se tratando de gases
→ Escoamentos compressíveis aparecem em: sistemas de ar comprimido; gases em
tubulações a altas pressões; controles pneumáticos; ventiladores; compressores, etc.
Escoamento invíscidoEscoamento invíscido: viscosidade nula (não há tensões cisalhantes). 
Portanto, não há rotação de partículas do fluido ⇒ escoamento 
irrotacional
Escoamento viscosoEscoamento viscoso: viscosidade ≠ 0 (tensões cisalhantes presentes, 
portanto pode haver rotação de partículas do fluido)
7. Escoamento viscoso e invíscido
Um fluido invíscido escoaria livremente sem perdas de energia
devido ao atrito, e as perdas por arrasto junto às paredes do
recipiente não existiriam. Na realidade, devido à viscosidade,
quando um fluido escoa num tubo, a velocidade é nula nas
paredes e vai aumentar gradualmente até atingir o seu máximo
no centro do tubo.
invíscido
viscoso
Mas, o que é um fluido ideal?
Normalmente considera-se como sendo um fluido incompressível e 
invíscido.
• as forças internas em qualquer seção são normais (forças de pressão)
• aplicações práticas: em muitos escoamentos distantes de contornos sólidos• aplicações práticas: em muitos escoamentos distantes de contornos sólidos
• não confundir fluido ideal com gás ideal!
A descrição matemática de um escoamento é importante para o
desenvolvimento e a modelagem de fenômenos que envolvam
escoamentos de modo geral.
Algumas definições importantes:
Linha de Emissão: linha imaginária que une as partículas de fluido
que passam por um determinado ponto do espaço.
A FUNÇÃO CORRENTE
Trajetória: linha que segue
o caminho percorrido por
uma partícula de fluido
durante um período de
escoamento.x y
z
t1
t2 t3
z
Partícula 1
no instante t
Partícula 2
no instante t
Partícula 3
no instante tv1
v2
v3
Linha de Corrente: linha desenhada no campo do escoamento de 
forma que, num dado instante, tangencia os vetores velocidade.
x y
Em um escoamento em
regime permanente: Linha
de Emissão, Trajetória e
Linha de Corrente são
coincidentes.
Linhas de corrente: descritas para escoamentos bidimensionais e
incompressíveis: comuns em muitas aplicações de engenharia.
�Escoamento bidimensional plano: quando apenas dois componentes do
vetor velocidade são importantes na análise do problema.
Assim, para escoamento no plano x-y→ velocidades envolvidas→ u e v
Pela equação da continuidade: (1)0
y
v
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
vu ∂∂
ou seja, ⇒ existe uma relação especial entre as velocidades u e v.
Uma das formas mais simples de expressar essa relação é tendo u e v, ambos
relacionados a uma mesma função.
�Assim, considere a função Ψ(x,y), denominada função corrente, que
obedece as relações:
(2)
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
x
v e 
y
u
∂
ψ∂
−=
∂
ψ∂
=
0
xyyx
 0
xyyx
22
=
∂∂
ψ∂
−
∂∂
ψ∂
⇒=





∂
ψ∂
−
∂
∂
+





∂
ψ∂
∂
∂
�A equação da continuidade é sempre obedecida, conforme se pode constatar 
substituindo (2) em (1):
→ a equação da continuidade (conservação de massa) é satisfeita se os componentes
do vetor velocidade estiverem especificados em função da linha de corrente.
�Vantagem do uso da função corrente: simplificação do problema, pois precisamos
determinar apenas a função Ψ(x,y) e não as velocidades u(x,y) e v(x,y).determinar apenas a função Ψ(x,y) e não as velocidades u(x,y) e v(x,y).
�Desvantagem do uso da função corrente: Aumenta em uma ordem, as derivadas
parciais.
Considerando que a variação no valor de Ψ quando se move de um ponto (x,y) para
um ponto próximo (x+dx, y+dy) é dada pela relação :
udyvdxdy
y
dx
x
d +−=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
=ψ
0udyvdx =+−
u
v
dx
dy
=
�Ao longo de uma linha de corrente onde Ψ é constante, nós temos que dΨ = 0 e
desse modo:
⇒
� Conhecendo Ψ(x,y) podemos construir as linhas de corrente de Ψ constante e 
obter uma família de linhas de corrente → úteis na visualização do escoamento.
O valor numérico associado a uma linha de corrente não tem significado particular,
mas a variação no valor de Ψ está relacionada com a vazão em volume do
escoamento. Considere o escoamento entre duas linhas de corrente:
→ define as linhas de corrente.
1212
2
1
QdQdy
y
dQ
:corrente função da termosEm unitária). ade(profundid vdxdQou udydQ
ψ−ψ=⇒ψ−ψ=ψ=⇒
∂
ψ∂
=
==
∫
ψ
ψ
d Vazão volumétrica: velocidade x área da seção transversal
12Q)avolumétric(vazão ψψ −==
( ) ( )11 ∂∂
Portanto, 
⇒ Se Ψ2 > Ψ1⇒ o escoamento ocorre da esquerda para a direita.
⇒ Se Ψ1 > Ψ2, o escoamento ocorre da direita para a esquerda.
� Em coordenadas polares, escoamento bidimensional plano e incompressível,
a equação da continuidade fica:
( ) ( ) 0rv
r
1
rv
rr
1
r =θ∂
∂
+
∂
∂
θ
r
v e 
r
1
vr ∂
ψ∂
−=
θ∂
ψ∂
= θ
onde 
PROPRIEDADES DAS LINHAS DE CORRENTE
1. A vazão é constante entre duas linhas de corrente
ψψψψ1
ψψψψ2
Distância entre as LC menores ⇒ Velocidades maiores
Distância entre as LC maiores 
⇒ Velocidades menores
2. Linhas de corrente coincidentes 
⇒ velocidade infinita
3. Linhas de corrente nunca se 
cruzam,pois um mesmo ponto 
não pode apresentar 
velocidades diferentes
ROTACIONAL
→A rotação de um elemento de fluido pode ser expressa pelo rotacional da
velocidade: v
r
×∇
k
y
u
 - 
x
vj
x
w
 - 
z
ui
z
v
 - 
y
w rrr






∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂z
 
y
 
x ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇ vr w v u
k j i rrr
=
kji
zyx
rrrr
ω+ω+ω=ω
kwjviuv rrrr ++=
→ O vetor velocidade angular:
onde






∂
∂
∂
∂
=ω
z
v
 - 
y
w
x 2
1






∂
∂
∂
∂
=ω
x
w
 - 
z
u
y 2
1






∂
∂
∂
∂
=ω
y
u
 - 
x
v
z 2
1
→ Em um campo de escoamento irrotacional, o rotacional da velocidade é nulo, ou
seja, 0v =×∇ r . Assim, analisando o vetor velocidade angular, ωr , se o escoamento é
irrotacional, ele é nulo.
kji
zyx ω+ω+ω=ω
v
2
1 rr
×∇=ω
→ O vetor velocidade angular:
se relaciona com o rotacional pela expressão:
ESCOAMENTO POTENCIAL
• escoamentos externos, em regiões afastadas da parede onde o efeito
viscoso vizinho às paredes não alcançou o fluido mais distante. Nesses
casos, o modelo potencial é uma boa representação do escoamento.
• asas e fuselagens de avião são frequentemente modeladas por meio de
escoamento potencial visando a determinação da distribuição de pressão.
Assim, deve existir uma função escalar φ tal que o gradiente de φ seja proporcional 
onde φ é uma função escalar com as derivadas primeira e segunda contínuas.
→ Para um escoamento irrotacional:
ESCOAMENTO POTENCIAL
Potencial de Velocidade
→ Em um escoamento irrotacional, o campo de velocidade pode ser definido por
uma função potencial de velocidade, φ, definido a seguir:
rotacional (grad φ) = 0 ou seja, 0=∇×∇ φ
0v =×∇ r
Assim, deve existir uma função escalar φ tal que o gradiente de φ seja proporcional 
ao vetor velocidade.
Para que o sentido positivo do escoamento seja o de φ decrescente, φ−∇=vr
 
y
v , 
x
u
∂
φ∂
−=
∂
φ∂
−=
 
r
1
v , 
r
v r θ∂
φ∂
−=
∂
φ∂
−= θ
→ Os componentes do vetor velocidade desses escoamentos podem ser expressos a 
partir de uma função escalar φ = φ (x,y,z,t), denominada de potencial de velocidade, 
ou seja:
(para coordenadas retangulares)
(para coordenadas polares)
x
v e 
y
u
∂
ψ∂
−=
∂
ψ∂
=
 
y
v e 
x
u
∂
φ∂
−=
∂
φ∂
−=
Função Corrente e Potencial de Velocidade
Função corrente:
Potencial de velocidade: (7)
y
u
 
x
v
∂
∂
=
∂
∂
⇒
∂
ψ∂
∂
∂
=
∂
ψ∂
∂
∂
 )
y
(
y
 )
x
(-
x
0
2
2
2
2
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
y
 
x
→A condição de irrotacionalidade para escoamento bidimensional (planos xy) é:
. Substituindo as equações (6) nela, chega-se a:
(6)
0
22
=
∂
+
∂ y
 
x
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
 
x
u
 )
y
(
y
- )
x
(-
x
⇒
∂
φ∂
−
∂
∂
=
∂
φ∂
∂
∂ 0
2
2
2
2
=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
y
 
x
→A equação da continuidade para escoamento bidimensional (planos xy) é:
. Substituindo a equação (7) nela, chega-se a:
→ Qualquer função ψ ou φ que satisfaça a Equação de Laplace representa um
possível campo de escoamento bidimensional, incompressível e irrotacional.
0=+−=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
=ψ udyvdxdy
y
dx
x
d
u
v
dx
dy
=ψ
0=−−=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=φ vdyudxdy
y
dx
x
d
v
u
dx
dy
−=φ
Relação entre Função Corrente e Potencial de Velocidade
Sabendo-se que ψ é constante ao longo de uma linha de corrente:
⇒
Da mesma forma, para φ constante: 
⇒
Assim, pode-se concluir que a função corrente (ψ) é ortogonal à função potencial (φ).
ESCOAMENTOS PLANOS ELEMENTARES
Escoamento ao redor de um cilindro circular: combinação 
de dipolo (fonte + sorvedouro) e escoamento uniforme.
ESCOAMENTO INVÍSCIDO
→Aplicação em aerodinâmica, fluidodinâmica e em escoamento sobre corpos 
(escoamento externo).
→Tensões de cisalhamento presente nos escoamentos: são devidos à viscosidade do
fluido⇒ escoamentos viscosos→ rotacionais
→Viscosidades do ar e da água: baixa ⇒ em alguns escoamentos podemos desprezar 
o efeito da viscosidade.
→Escoamentos invíscidos: os campos de escoamento apresentam tensões de 
gP)(
D
vD rrr ρ−∇+τ⋅∇=
θ
ρ−
gP
D
vD rr ρ−∇=
θ
ρ−
cisalhamento desprezíveis. Dessa forma, a equação do movimento:
se reduz a: (3) denominada de equação de Euler.
•Apesar de mais simples, ainda não é possível encontrar um método geral que
permita determinar como varia a pressão e a velocidade em todos os pontos do
escoamento.
•Dificuldade: termos de velocidade não-lineares que aparecem na aceleração
convectiva, que são os responsáveis por uma possível rotação do fluido
•Sob algumas condições, no entanto, é possível usar as equações de Euler para
obter informações úteis sobre os campos de escoamento invíscido.
1. ESCOAMENTO INVÍSCIDO E IRROTACIONAL
Assim, analisando o vetor velocidade angular, se o escoamento é irrotacional, ele é
nulo. Com isso,
0v =×∇ r
ω
r
1. ESCOAMENTO INVÍSCIDO E IRROTACIONAL
→A análise de escoamentos invíscidos fica mais simples se admitirmos escoamento
irrotacional.
→Em um campo de escoamento irrotacional, o rotacional da velocidade é nulo, ou
seja,
0
z
v
 - 
y
w
2
1
x =





∂
∂
∂
∂
=ω 0
x
w
 - 
z
u
2
1
y =





∂
∂
∂
∂
=ω 0
y
u
 - 
x
v
2
1
z =





∂
∂
∂
∂
=ω
z
v
 
y
w
∂
∂
=
∂
∂
x
w
 
z
u
∂
∂
=
∂
∂
y
u
 
x
v
∂
∂
=
∂
∂
E podemos escrever:
Um campo de escoamento geral não satisfaz essas três equações. No entanto, 
alguns escoamentos satisfazem:
• Escoamento uniforme
(4)
Como u = U (constante), v = 0 e w = 0, esse escoamento satisfaz as equações (4)
e, portanto, trata-se de um escoamento irrotacional.
•Escoamento ao redor de corpos
→ Sólido colocado num escoamento inicialmente uniforme: escoamento distante do 
corpo continua uniforme. O escoamento é irrotacional nessa região (mas não é na 
região vizinha ao corpo, onde há a formação da camada limite e o efeito da 
viscosidade não pode ser desprezado).
→ Próximo do corpo: escoamento deixa de ser irrotacional: a velocidade de
escoamento varia bruscamente nessa região → de zero na fronteira com o corpo
(condição de não escorregamento) para um valor relativamente grande a uma pequena
distância da superfície do corpo. Essa mudança brusca de velocidade provoca um
gradiente de velocidade na direção normal à fronteira e produz tensões de
cisalhamento significativas (mesmo que a viscosidade do fluido seja pequena).
• Se tivéssemos um escoamento verdadeiramente invíscido, o fluido simplesmente
escorregaria pela superfície do corpo e o escoamento seria irrotacional em todo o
campo de escoamento. Mas isso não ocorre nos escoamentos reais, de modo que
sempre encontraremos uma região (normalmente fina), onde as tensões de
cisalhamento não são desprezíveis. Essa região denomina-se “Camada Limite”.
• Fora da camada limite o escoamento pode ser tratado como irrotacional.
• Descolamento da camada limite: outro fenômeno que pode ocorrer no escoamento
através de corpos → formação de uma esteira na região traseira do corpo imerso
onde normalmente se tem velocidades baixas e aleatórias.onde normalmente se tem velocidades baixas e aleatórias.
Solução completa deste problema: requer a consideração de escoamento invíscido
irrotacional fora da camadalimite, a consideração de escoamento viscoso e
rotacional na camada limite, além de um procedimento para unir as soluções
referentes às duas regiões.
•Escoamento em canais
→ O escoamento na parte central da região de entrada apresenta perfil de velocidade 
praticamente uniforme: escoamento irrotacional nessa região.
→ À medida que o escoamento se afasta da entrada: aumento da espessura da
camada limite e conseqüente diminuição da região de escoamento invíscido e
irrotacional.
→A espessura da camada limite aumentará até ela preencher todo o tubo
→ Para esse tipo de escoamento teremos uma região de entrada (com centro
irrotacional) seguida por uma região de escoamento completamente
desenvolvido (onde as forças viscosas são preponderantes).
gPv)v.(
D
vD rrrr ρ−∇=∇ρ−=
θ
ρ−
)v(v)v.v(
2
1)v..(v rrrrrr ×∇×−∇=∇
gP)v(v)v.v(vD rrrrr
r
ρ−∇=×∇×ρ−∇ρ−=
θ
ρ−
2. A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA ESCOAMENTO IRROTACIONAL
→Vamos derivar novamente a equação de Bernoulli, mas agora partindo da equação 
de Euler, considerando regime permanente e fluido incompressível:
Mas
gP)v(v)v.v(
2D
ρ−∇=×∇×ρ−∇−=
θ
ρ−
)v(vgP)v(
2
1 2 rrr ×∇×−=−
ρ
∇
+∇
kgjgigg zyx
rrrr
++=
zgg ∇−=r
Reescrevendo:
Mas
e como foi considerado o eixo z como o vertical, sendo positivo para cima, então:
)v(vgzPv
2
1
)v(vzgP)v(
2
1
2
2
rr
rr
×∇×=





+
ρ
+∇
×∇×=∇+
ρ
∇
+∇
0v =×∇ r
0gzPv
2
1 2
=





+
ρ
+∇
Portanto,
Considerando escoamento irrotacional: , pode-se escrever:
2 

 ρ
2
2
22
1
2
11 z
g2
v
g
P
z
g2
v
g
P
++
ρ
=++
ρ
ou escrevendo a equação para dois pontos ao longo de uma linha de corrente:
Aplicada entre dois pontos quaisquer do campo de escoamento, que deve ser
invíscido, irrotacional, incompressível e que ocorre em regime permanente.