Matemática Financeira II - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Matemática Financeira II – Prof. Maurício Barbosa 
RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A AVALIAÇÃO REGIMENTAL 
1.) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de $ 2.500,00 cada uma, 
e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser 
entregue ou creditado ao financiado: 
a) De acordo com o conceito de termos postecipados. 
 
Dados Resolução 
R = 2.500,00 
n = 12m 
i = 4,75% = 0,0475 a.m. 
P = ? [ FVA] 
 
  







ii
i
RP
n
n
1
11
  
 
  







0475,00475,1
10475,1
500.2
12
12
P
  P = $ 22.473,89 
b) De acordo com o conceito de termos antecipados. 
 
Dados Resolução 
R = 2.500,00 
n = 12m 
i = 4,75% = 0,0475 a.m. 
P = ? [ FVA] 
   
  







ii
i
iRP
n
n
1
11
1
  
  







0475,00475,1
10475,1
0475,1500.2
12
12
P
 
 P = $ 23.541,40 
2.) Uma TV no valor de $ 50.000,00 é financiada por uma loja para pagamento em 13 parcelas iguais de 
$ 5.328,31, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcular a taxa de juros cobrada pela loja. 
 
 
Dados Resolução na HP 12C 
R = 5.328,31 
n = 13m 
P = 50.000 
i = ? (a.m.) 
Não há fórmula para cálculo de i. 
Deve-se usar o processo de iteração (tentativa e erro) ou alguma calculadora financeira. 
Na HP 12C, digitar: f CLx [para limpar registros] g 7 (BEG) [modo antecipado] 
5328.31 CHS PMT 50000 PV 13 n i , resultando 6,00% a.m. 
 
P = ?
1 2 3 11 12
0
2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00
P = ?
1 2 3 11 12
0
2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,002.500,00
P = 50.000
1 2 3 12 13
0
5.328,31 5.328,31 5.328,31 5.328,31 5.328,31
Resolução pelo método iterativo 
Valor definido 
para i (taxa) 
Cálculos 
Observação 
 
 
 









ii
i
iRP
n
n
1
11
1  
 
 
000.50
1
11
131,328.5
?
13
13









ii
i
i
 
i = 3% (0,03) 
 
 
 
000.5033,366.58
03,003,1
103,1
03,131,328.5
?
13
13









 Não serve. Aumentar 
a taxa. 
i = 5% (0,05) 
 
 
 
000.5046,554.52
05,005,1
105,1
05,131,328.5
13
13









 
Ainda não serve, mas 
está perto. Aumentar 
a taxa. 
i = 7% (0,07) 
 
 
 
000.5040,649.47
07,007,1
107,1
07,131,328.5
13
13









 Passou. Diminuir 
taxa. 
i = 6% (0,06) 
 
 
 
000.5003,000.50
06,006,1
106,1
06,131,328.5
13
13









 
Provável: i = 6%. 
Testar com 0,1% a 
mais. 
Teste: 
i = 6,1% (0,061)  
 
 
000.5014,756.49
061,0061,1
1061,1
061,131,328.5
13
13









 
Desconsiderando um 
erro insignificante, 
pode-se afirmar que 
i = 6%. 
 
3.) Em quantos pagamentos trimestrais de $ 5.700,25 podemos liquidar um financiamento de 
$ 50.000,00, à taxa de 3,228% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos ou 
postecipados? 
Obs.1: Este problema tem uma “pegadinha”: Pede-se tempo em trimestres e a taxa dada é mensal. Logo, primeiro é 
preciso transformar a taxa em trimestral. 
Obs.2: Neste caso, também não há fórmula para se achar ‘n’. É preciso usar o método iterativo. 
 
Dados Resolução 
R = 5.700,25 
P = 50.000 
im = 3,228% a.m. 
it = (1,03228)3–1 
 it  10,00% ou 
it = 0,10 a.t. 
n = ? (trim.) 
Neste caso, não há fórmula para cálculo de n. 
Deve-se usar o processo de iteração (tentativa e erro) ou alguma calculadora financeira. 
 
Na HP 12C, digitar: f CLx [para limpar registros] g 8 (END) [modo postecipado] 
5700.25 CHS PMT 50000 PV 10 i n , resultando 22 trimestres. 
Ver aplicação do método iterativo na próxima página. 
 
 
P = 50.000
1 2 3 n -1 n
0
5.700,25 5.700,25 5.700,25 5.700,25 5.700,25
Resolução pelo método iterativo 
Valor definido 
para n (prazo) 
Cálculos 
Observação 
 
 









ii
i
RP
n
n
1
11
 
 
 
000.50
10,010,1
110,1
25,700.5
?









n
n
 
n = 10  
 
000.5057,025.35
10,010,1
110,1
25,700.5
10
10









 Muito longe. 
Aumentar n. 
n = 20  
 
000.5044,529.48
10,010,1
110,1
25,700.5
20
20









 Ainda não serve. Está 
perto. Aumentar n. 
n = 25  
 
000.5040,741.51
10,010,1
110,1
25,700.5
25
25









 
Passou. Diminuir n. 
n = 23  
 
000.5057,636.50
10,010,1
110,1
25,700.5
23
23









 Quase. Diminuir n. 
n = 22  
 
000.5097,999.49
10,010,1
110,1
25,700.5
22
22









 
Desconsiderando erro 
insignificante (–0,03), 
pode-se afirmar que 
 n = 22 trimestres. 
 
4.) Qual é o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de $ 25.000,00, a ser liquidado 
em 2 anos, à taxa de 9% ao bimestre, sendo que a primeira prestação vence a 180 dias da data do 
contrato? 
Obs. 1: O problema pede a prestação bimestral, mas aparecem no texto ‘anos’ e ‘dias’. Isto significa que é preciso 
converter tudo para uma única unidade (bimestre). Logo, 2 anos = 12 bimestres e 180 dias = 3 bimestres. 
Obs. 2: Como há um hiato (uma espécie de “carência”), para se aplicar a fórmula correspondente deve-se resolver o 
problema em duas partes: primeiro deslocar o valor presente dois meses para frente e depois aplicar a fórmula 
postecipada, como indicado no fluxo, numa seta pontilhada. Neste caso, teremos 10 e não 12 parcelas. Também 
seria possível deslocar o valor presente para o mês 3 e aplicar a fórmula antecipada (também com 10 parcelas), 
mas isto, embora apresente o mesmo resultado seria um pouco mais trabalhoso (ver esta fórmula de resolução, 
logo abaixo). 
 
Dados Resolução com fórmula postecipada 
ntotal = 12 bim. 
nparcelas = 10 bim. 
i = 9% = 0,09 a.b. 
P = 25.000 [ FRC] 
P2 = ? 
R = ? 
2
2 )1( iPP 
  
2
2 )09,1(000.25 P
  P2 = 29.702,50 
 
  







11
1
2 n
n
i
ii
PR
  
  







109,1
09,009,1
50,702.29
10
10
R
  R = $ 4.628,25 
 
Dados Resolução com fórmula antecipada 
ntotal = 12 bim. 
nparcelas = 10 bim. 
i = 9% = 0,09 a.b. 
P = 25.000 [ FRC] 
P3 = ? 
R = ? 
3
3 )1( iPP 
  
3
3 )09,1(000.25 P
  P3 = 32.375,73 
 
  









11
1
)1(
1
3 n
n
i
ii
i
PR
 
 
  







109,1
09,009,1
09,1
73,375.32
10
10
R
  R = $ 4.628,25 
 
P = 25.000
4 11 12
0
R R R
1 2 3
R
P2 = ?
5.) Qual é o montante ao final de 20 meses, resultante de 14 parcelas iguais, mensais e consecutivas de 
$ 1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a primeira 
aplicação é feita “hoje”? 
Obs.: Como o problema afirma que se está trabalhando com termos antecipados, a última aplicação coincide com o 
momento 13 (que é o início do momento 14). Após esta 14ª aplicação (de 0 a 13 são 14 aplicações), que é a 
última, o dinheiro continua rendendo por mais 6meses. Portanto, este problema pode ser resolvido em duas 
partes: Calcula-se o montante no momento 14 (que foi chamado de S14), pela fórmula antecipada, e depois “joga-
se” este valor para o momento 20, com a mesma taxa de juros, como mostra o fluxo abaixo. 
 
 
Dados Resolução com fórmula antecipada 
n = 14 m. (parcelas) 
m = 6 m. (só juros) 
i = 3,5% = 0,035 a.m. 
R = 1.800 
S14 = ? 
S = ? 
    




 

i
i
iRS
n
11
1
  
 
 





 

035,0
1035,1
035,11800
14
14S
  
 S14 = 32.932,23 
6
14 )035,1(23,932.32)1(  SiSS
m
  S = 40.482,11 
 
 
6.) Um terreno está sendo oferecido por $ 1.200.000,00 à vista, ou $ 200.000,00 de entrada e mais 24 
prestações mensais de $ 65.000,00 cada uma. Considerando uma taxa de 3,5% ao mês, mostrar 
qual é o plano economicamente melhor. 
Obs.: O fluxo abaixo representa as duas situações (planos), ou seja, a) um único pagamento à vista de $ 1.200.000 ou b) 
$ 200.000 de entrada e 24 pagamentos de $ 65.000. Para se comparar as duas situações, tem-se que achar o valor 
presente das condições a prazo, com a taxa de juros indicada (3,5% a.m.). 
 
 
Dados Resolução 
n = 24 m. (parcelas) 
i = 3,5% = 0,035 a.m. 
R = 65.000 
P = ? [FVA] 
 
  







ii
i
RP
n
n
1
11
  
 
000.200
035,0035,1
1035,1
000.65
24
24
Prazo 







P
  
 PPrazo = 1.243.793,89 > 1.200.000 
Conclusão: Considerada a taxa de juros indicada, o plano de 
pagamento à vista é a melhor opção, se o comprador tiver este valor 
disponível. 
 
 
 
S = ?S14 = ?
1 2 13 20
1.800 1.800 1.8001.800
0 14 19
1 2 3 23 24
0
200.000
65.000 65.000 65.000 65.000
P = 1.200.000
65.000
7.) A Sra. Luisa obtém um empréstimo de $ 65.512,75 para ser liquidado em 12 prestações variáveis, 
que crescem segundo uma progressão aritmética, com vencimentos no final de cada mês. Sabendo-
se que a taxa de juros cobrada no empréstimo é de 4,5% ao mês e que a primeira prestação é igual 
a $ 3.000,00 mais a razão da PA, calcular a razão desta PA. 
 
Obs.: Como o primeiro termo não é igual à razão, este problema deve ser resolvido em duas partes, sendo a primeira o 
cálculo do valor presente das parcelas iguais a 3.000, valor este que deve ser abatido do valor presente total 
informado (65.512,75). A segunda parte é aplicação da fórmula do valor presente para séries variáveis crescentes 
e postecipadas, em PA, para se calcular a razão procurada. 
Dados Resolução 
Parte uniforme: 
n = 12 m. 
i = 4,5% = 0,045 a.m. 
R = 3.000 
P = 65.512,75 
Punif. = ? 
Pvar. = P – Punif. = ? 
 
  







ii
i
RP
n
n
unif
1
11
.
  
 
  







045,0045,1
1045,1
000.3
12
12
unifP
  Punif. = 27.355,74 
Logo, Pvar. = 65.512,75 – 27.355,74 = 38.157,01 
Parte variável: 
Pvar. = ? [38.157,01] 
n = 12 m. 
i = 4,5% = 0,045 a.m. 
G = r = ? 
 
 
    









nn
n
i
n
ii
i
i
i
G
P
11
11
1.var
  
 
 
   










1212
12
045,1
12
045,0045,1
1045,1
045,1
045,0
01,157.38
r 
51,54
01,157.38
5100,5401,157.38  rr
  r = 700,00 
 
8.) Uma dívida de $ 180.000,00 deverá ser liquidada em 10 prestações trimestrais, decrescentes 
segundo uma progressão aritmética de razão igual a $ 4.668,74, a serem pagas no final de cada 
trimestre. Sabendo-se que o valor da última prestação coincide com o valor da razão da PA, 
calcular a taxa de juros cobrada na operação. 
Obs.1: Neste caso, não há fórmula para se calcular a taxa de juros. É preciso usar o processo de iteração. Mas, mesmo 
assim, é preciso se trabalhar com a fórmula de pagamentos variáveis em PA decrescentes postecipadas, como 
mostrado a seguir. 
Obs. 2: Não é necessário se calcular o valor das parcelas, mas isto é possível com ajuda da lógica da PA: se o último 
termo é igual à razão (r), o penúltimo será 2r, e assim por diante, até o primeiro, que será 10r. 
 
 
 
r
2r
3r
11r
12r
P = 65.512,75
1 2 3 11 12
0
3.000
 3.000+r
9.337,48
37.349,92
42.018,66
46.687,40
P = 180.000
1 2 3 9 10
0
4.668,74
Resolução pelo método iterativo 
Valor definido 
para i (taxa) 
Cálculos 
Observação 
 
  







ii
i
n
i
G
P
n
n
1
11
 
 
 
000.180
101
11
10
74,668.4 ?
10









ii
i
i
 
i = 2% (0,02)  
 
000.18030,502.237
02,002,1
102,1
10
02,0
74,668.4
10
10









 Muito longe. 
Aumentar a taxa. 
i = 7% (0,07)  
 
000.18006,516.198
07,007,1
107,1
10
07,0
74,668.4
10
10









 
Ainda não serve, mas 
está perto. Aumentar 
a taxa. 
i = 12% (0,12)  
 
000.18015,233.169
12,012,1
112,1
10
12,0
74,668.4
10
10









 Passou. Diminuir 
taxa. 
i = 11% (0,11)  
 
000.18070,473.174
11,011,1
111,1
10
11,0
74,668.4
10
10









 Quase. Diminuir taxa. 
i = 10% (0,10)  
 
)40,1dif.(000.18060,998.179
10,010,1
110,1
10
10,0
74,668.4
10
10









 Provável: 10%. Testar 
0,1% menos. 
Teste: 
i = 9,9% (0,099)  
 
)30,596.dif(000.18030,596.180
099,0099,1
1099,1
10
099,0
74,668.4
10
10









 
Desconsiderando erro 
insignificante, pode-
se afirmar que 
i = 10% ao trimestre. 
 
9.) Dois irmãos, Carlos e Norberto, resolvem fazer aplicações num “fundo de renda fixa” que lhes 
assegura uma rentabilidade de 2,5% ao mês. Carlos propõe-se a aplicar $ 250,00 no final do 1º 
mês, $ 500,00 no final do 2º, $ 750,00 no final do 3º e assim sucessivamente até o final do 30º mês. 
Norberto aplicará as mesmas importâncias que Carlos, mas considerando os valores da série no 
sentido inverso, ou seja, $ 250,00 no final do 30º mês, $ 500,00 no final do 29º mês e assim por 
diante. Calcular os montantes das duas aplicações o final do 30º mês. 
Obs. 1: Como o problema pede que se calculem os montantes no 30° mês, na verdade temos dois problemas, que podem 
ser tratados de forma distinta. Entretanto, se o problema pedisse qual deles teria maior rendimento, seria 
possível fazer alguma conjectura, antes dos cálculos: se olharmos apenas os termos da PA, certamente a soma 
dos valores seria a mesma, mas existem juros embutidos ao longo do tempo. Neste caso seria plausível pensar 
que o segundo (Norberto) auferirá rendimentos melhores, porque o volume aplicado no começo é maior (e que, 
portanto, renderá mais juros). De qualquer forma, são questões relativamente simples: basta aplicar as fórmulas 
adequadas. 
Obs. 2: Embora não seja necessário, é possível se calcular o valor de todas as parcelas [an = 250n, para Carlos]. 
 
 
 
PCarlos = ?
250
500
750
7.250
7.500
1 2 3 29 30
0
S Norberto = ?
2 3 29 30
0
250
500
750
7.250
1
7.500
 
Dados Resolução – Carlos (PA Crescente) 
n = 30 m. 
i = 2,5% = 0,025 a.m. 
G = r = 250 
SC = ? 
    







 n
i
i
i
i
G
S
n
11
1
 
 
 








 30
025,0
1025,1
025,1
025,0
250
30
CS
 
 SC = 150.002,71 
 
DadosResolução – Norberto (PA Decrescente) 
n = 30 m. 
i = 2,5% = 0,025 a.m. 
G = r = 250 
SN = ? 
    




 

i
i
in
i
G
S
n
n 11
1
  
 
 





 

025,0
1025,1
025,130
025,0
250
30
30
NS
  
 SC = 190.243,24 
 
 
10.) Sabendo-se que o montante de $ 120.419,26 é proporcionado pela aplicação de parcelas 
mensais crescentes à razão de $ 475,00, à taxa de 2,5% ao mês, calcular o número de parcelas 
mensais, sabendo-se que o valor da primeira prestação é igual à razão da PA, que a primeira 
aplicação é feita no início do primeiro mês (momento “zero”) e que a última é aplicada 30 dias 
antes do dia em que se calculou o montante acima. 
 
 
Resolução pelo método iterativo 
Valor de n 
(prazo) 
Cálculos 
Observação 
   
 
   
 
26,419.120
025,0
1025,1
025,1025,1
025,0
47511
11
?
















 nn
i
i
ii
i
G
S
nn
 
n = 10 
   
 
26,419.12051,890.2810
025,0
1025,1
025,1025,1
025,0
475
10









 Muito longe. 
Aumentar n. 
n = 15 
   
 
26,419.12088,829.6515
025,0
1025,1
025,1025,1
025,0
475
15









 Ainda não serve. 
Aumentar n. 
n = 18 
   
 
26,419.12049,323.9618
025,0
1025,1
025,1025,1
025,0
475
18









 Ainda não serve. 
Aumentar n. 
n = 22 
   
 
26,419.12072,706.14722
025,0
1025,1
025,1025,1
025,0
475
22









 Passou. 
Diminuir n. 
n = 20 
   
 
26,419.1202226,419.12020
025,0
1025,1
025,1025,1
025,0
475
20









 
O valor procurado 
é: 
n = 20 meses. 
 
?
475
S = 120.419,26
0 n -1 n = ?
950
1.425
1.900
?
1 2 3