Aula 04 (Funções definidas por partes e limites laterais)

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Aula 04 – Funções definida por partes e limites laterais
Representar graficamente as funções definidas por partes.
Definir limites laterais.
Estudar a continuidade de funções.
Aplicar os conceitos desta aula em problemas de Economia e Finanças.
Função definidas por partes
São funções que assumem expressões distintas dentro de seu domínio.
Exemplo 1: 
f(x) = x2 + x – 3 para x < 1
 2x - 1para x ≥ 1
Observe que f(x) é uma função do segundo grau (parábola com a > 0 ) para x < 1, e, uma reta com coeficiente angular positivo para x ≥ 1. 
Seu gráfico está representado a seguir:
Observe que as coordenadas do vértice da parábola são: xv = e yv = . Ou seja, a imagem de f(x) é o intervalo [ -13/4, ∞).
Observe ainda que o gráfico de f(x) apresenta um salto no ponto x = 1. Essa condição irá caracterizar uma descontinuidade para a função f(x) em x = 1.
Exemplo 2: 
f(x) = x + 1 para x < 0
 x - 1 para x ≥ 0
Observe que f(x) é definida por duas funções lineares. Seu gráfico está representado a seguir:
Pelo seu gráfico, se observa que existe um salto no gráfico no ponto x = 0. E ainda, a sua imagem é o intervalo (-, + ).
Limites Unilaterais
Ao calcular o limite da função f(x) quando x tende para o número c, pode-se pensar que x deve tender para c por valores menores do que c ou por valores maiores do que c. Esses são os limites laterais à esquerda e à direita da função f(x) quando x tende para do número c. São denotados, respectivamente, por:
 
Quando , diz-se que existe e que este limite é igual a L.
Observação: Para construir gráficos de funções definidas por partes é comum analisar os limites laterais nos pontos em que a função muda de definição (ponto problema).
No exemplo 1, o ponto problema é em x = 1
f(x) = x2 + x – 3 para x < 1
 2x - 1 para x ≥ 1
Observe que:
 
 = 1
Então, como , não existe o limite de f(x) quando x tende para um.
Analogamente, no exemplo 2, o ponto problema é x = 0
f(x) = x + 1 para x < 0
 x - 1 para x ≥ 0
Observe que 
= -1
Então, como , não existe o limite de f(x) quando x tende para zero.
Exercícios Propostos: Calcule os seguintes limites:
 
Gabarito: a) + b) 0 c) 1/2 d) - e) não existe.
3. Continuidade de uma função
Intuitivamente uma função é continua em um domínio quando o seu gráfico não apresenta “ salto ” e nem “ furo ” neste domínio. Ou seja, seu gráfico é continuado e não possui nenhum tipo de interrupção.
Exemplos de funções continuas:
 
Analiticamente uma função f(x) é continua no ponto x = c quando:
f(c) está definida, ou seja, f(c) assumi um valor finito;
Existe e é finito ;
f(c) = 
Se pelo menos uma das condições acima falhar então a função f(x) é descontinua em x = c.
Exemplo 1: Na figura a seguir f(x) é descontinua em x = 2 (existe um salto em seu gráfico neste ponto). Neste caso, , ou seja não existe .
Figura retirada do livro de Cálculo – Vol 1- do Hoffmann
Exemplo 2: Na figura a seguir a função é descontinua em x = 2 (existe um furo em seu gráfico neste ponto). Ou seja, f(2) ≠ 
Figura retirada do livro de Cálculo – Vol 1- do Hoffmann
Uma função é continua em um domínio quando é continua em todo ponto deste domínio.
 Exercícios Propostos:
Livro de Cálculo do Hoffmann – Página 75 do número 17 até 28.
Sabendo que a função f, dada por , para e , é uma função contínua em zero, calcule f(0).			
R: -4/5
Seja . Verifique se f é contínua em . 	 R: Não
Calcule o limite , sabendo que f é uma função contínua em tal que .		 
R: o limite não existe.
4. Assíntotas Horizontais e Verticais
 4.1 Diz-se que a reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico de y = f(x) quando pelo menos uma das afirmativas a seguir são satisfeitas:
a. 
b. 
c. 
d. 
Observação: Em geral, as possíveis assíntotas verticais são as retas x = c, onde c são pontos não pertences ao domínio da f(x). 
Exemplo 1: 
f(x) = 
Domínio da f: x2 – 1 ≠ 0 x ≠ ± 1 
Logo, as possíveis assíntotas verticais são x = 1 e x = -1. De fato, 
 e 
Observe no gráfico a seguir, as Assíntotas Verticais de f(x):
Exemplo 2:
f(x) = 
Domínio da f: 2x – 1 ≠ 0 x ≠ 1/2
Logo, a possível assíntota vertical é x = 1/2. De fato,
Observe no gráfico a seguir, a Assíntota Vertical de f(x):
 4.2 Diz-se que a reta y = b é uma assíntota vertical ao gráfico de y = f(x) quando pelo menos uma das afirmativas a seguir são satisfeitas:
a. 
b. 
Exemplo 1: 
f(x) = 
 y = 1 é uma assíntota horizontal ao gráfico de f(x). 
 também é igual a 1 y = 1 é a única assíntota horizontal ao gráfico de y=f(x).
Exercícios Propostos:
A) Determine o domínio, se há assíntotas horizontais e/ou verticais, as interseções com os eixos coordenados e o gráfico de cada função definida abaixo:
a) 					j) 
b) 				k) 
c) 		
d) 		
e) 			
f) 
g) 
h) ;
i) 
B) Se , determine:
a) as assíntotas verticais e horizontais da função (caso existam);
b) os pontos de interseção com os eixos coordenados;
c) a solução da inequação ;
d) um esboço do gráfico da função, com base nas informações obtidas nos ítens anteriores.
Gráficos dos exercícios propostos
Exercício 1
(a)
	
(b)
(c) 
(d)
 (e)
(f) 
(g) 
(h)
(i)