Primeira Lista de exercícios de cálculo diferencial

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Exercícios – Cálculo Diferencial - Funções 
 
1 - Para desencorajar o consumo excessivo de água, o Departamento de Água de certo município aumentou o preço deste líquido. 
O valor mensal pago em reais por uma residência, em função da quantidade de metros cúbicos consumida, é uma função cujo 
gráfico é a poligonal representada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativo ao consumo mensal de água de uma residência, foram feitas algumas 
afirmações. 
Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique suas respostas. 
( ) Se o consumo for nulo, a residência estará isenta do pagamento. 
( ) Se o consumo for igual a 5 m
3
, o valor pago será menor do que se o consumo for igual a 10m
3
 . 
( ) Se o consumo for igual a 20 m
3
, o valor pago será o dobro do que se o consumo for igual a 10m
3
 . 
( ) Se o consumo exceder 25 m
3
, o valor pago será R$ 16,70 acrescido de R$ 3,60 por m
3
 excedente. 
 
2 - A população estimada de uma cidade daqui a t anos, em milhares de habitantes, é dada pela função ( ) 
 
 
. 
a) Calcule a população atual. 
b) Qual é a população daqui a 2 anos? 
c) Qual foi o crescimento populacional do 2º para o 3º ano? 
 
3 - A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o 
consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função ( ) , onde indica a altura em 
 e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função ( ) . Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu 
consumo diário de energia e obteve . Sabendo-se que Paulo é mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm 
idade entre 15 e 18 anos), calcule o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal. 
 
4 - Um termômetro descalibrado indica 10 graus quando a temperatura real é 13 graus. Quando indica 20 graus, a temperatura real 
é de 21 graus. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real ( ) e a temperatura indicada ( ) é linear, ou 
seja, ( ) é uma função de primeiro grau. Assim sendo: 
a) Encontre a relação que existe entre a temperatura real ( ) e a temperatura mostrada no termômetro descalibrado ( ). 
b) Determine a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura real. 
 
 
 
 
 
 
5 - Considere a função ( ), definida de e representada, graficamente, na figura abaixo: 
a) Determine o seu domínio A: 
b) Determine o seu contra domínio: 
c) Determine o seu conjunto imagem: 
d) Determine as raízes dessa função: 
e) Determine os intervalos em que f é crescente: 
f) Determine os intervalos em que f é decrescente: 
g) Determine o intervalo em que f é constante: 
h) Para quais valores de x essa função é positiva? 
i) Para quais valores de x essa função é negativa? 
j) Determine o valor de 
 ( ) (
 
 
) ( )
 ( ) (
 
 
)
 
k) Determine os valores de para os quais tem-se ( ) 
l) Verifique se ( ) é sobrejetora, injetora ou bijetora e justifique sua resposta. 
 
 
6 - Observe o gráfico que representa a função ( ), definida para todo o conjunto dos números reais. 
 
a) Escreva a lei de formação da função f(x): 
b) Determine o domínio e a imagem de f(x): 
c) Encontre o valor de 
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 
 
 
 
7 - Considere a função [ [ dada pelo gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
a) Determine o seu domínio: 
b) Determine o seu contra domínio: 
c) Determine o seu conjunto imagem: 
d) Determine os intervalos em que f é crescente: 
e) Determine as raízes dessa função: 
f) Para quais valores de x essa função é positiva? 
g) Para quais valores de x essa função é negativa? 
h) determine o valor de 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) (
 
 
)
 
l) Verifique se ( ) é sobrejetora, injetora ou bijetora e 
justifique sua resposta. 
 
8 - Determine a lei da função do 1º grau definida de em cujo gráfico passa pelos pontos (0,5) e (2,3). Esboce o gráfico dessa 
função num plano cartesiano. 
 
9 – Considere a função , definida por ( ) . 
a) Determine o valor da função quando e quando . 
b) Determine as raízes da função. 
c) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função . 
d) Esboce o gráfico da função . 
e) Para quais valores de essa função é positiva? 
f) Para quais valores de essa função é negativa? 
 
10 - Um avião sobrevoou um campo onde havia um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima do alvo, soltou uma 
bomba que caiu em queda livre formando uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante do alvo, qual a função que 
descreve a trajetória da bomba? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 - O lucro mensal de uma fábrica é dado por ( ) , em que é a quantidade mensal de unidades fabricadas 
e vendidas de um certo bem, produzido por essa empresa, e é expresso em reais . 
a) Qual será o lucro dessa empresa se ela vender 20 unidades em um determinado mês? 
b) Qual é o lucro mensal máximo possível que essa empresa pode ter? 
c) Quantas unidades ela terá que vender para obter esse lucro máximo? 
 
12 - Na figura, a reta intercepta a parábola nos pontos e . 
 As coordenadas dos pontos e são, respectivamente:. 
 
a) ( ) e ( ) 
b) ( ) e ( ) 
c) ( ) e ( ) 
d) ( ) e ( ) 
e ) ( ) e ( ) 
 
 
 
 
 
13 - Certo reservatório, contendo 72 m
3
 de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas t horas após o início da drenagem, o 
volume de água que saiu do reservatório em , é dado por ( ) . Sabendo que a drenagem teve início às 10 horas, 
encontre o horário em que o reservatório estará vazio. 
 
14 - Um artesão produz lembranças que vende aos turistas por reais cada uma. Com esse preço ele sabe, por experiência, que 
seu lucro mensal é obtido pela expressão ( ) ( )( ). Determine: 
a) O seu lucro máximo, em reais. 
b) O preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança para obter o maior lucro mensal possível. 
 
15 - A temperatura em certa região desértica, medida em graus Celsius, é dada pela função ( ) , onde é o 
tempo medido em horas, com . Determine a temperatura máxima atingida neste período. 
 
16 - Uma fábrica produz ( ) pares de sapatos horas após o início de suas atividades diárias. Se a fábrica começa a 
funcionar às 8 horas da manhã, determine o número de pares de sapatos produzidos entre 10 e 11 horas. 
 
17 - Na produção de unidades de certo produto, uma fábrica tem um 
custo, em reais, descrito pela função de 2º grau, representada parcialmente 
na figura. Determine o custo mínimo em reais. 
 
 
 
 
 
 
 
18 – Esboçar o gráfico de cada função abaixo determinando seu ponto de máximo/mínimo, valor de máximo/mínimo, seu estudo 
de sinal e determine ainda seu conjunto imagem: 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 
e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) 
i) ( ) j) ( ) k) ( ) l) ( ) 
 
19 – Para que valores reais de a função ( ) possui duas raízes reais e distintas? 
20 – Para que valores reais de a função ( ) admite duas raízes reais e iguais? 
21 – Para que valores reais de a função ( ) ( ) não admite raízes reais? 
22 – O gráfico da função ( ) ( ) , , é uma parábolacujo vértice pertence ao eixo das abscissas. 
Determine o valor de . 
 
 
 
23 – Nos exercícios 1 – 6 a seguir, encontre o domínio e a imagem de cada função 
 
 
 
 
 
 
24 – 
 
 
 
 
25 - 
 
 
 
26 – Expresse a área e o perímetro de um triângulo equilátero em função do comprimento do lado do triângulo. 
27 – Expresse o comprimento do lado de um quadrado em função do comprimento da diagonal do quadrado. Depois expresse a 
área do quadrado em função do comprimento da diagonal. 
28 – Expresse o comprimento da aresta de um cubo em função do comprimento da diagonal . Depois expresse a área da 
superfície e o volume do cubo em função do comprimento da diagonal. 
29 – Faça o gráfico das funções abaixo: