Distribuição Binomial

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Modelo Binomial 
2º semestre de 2007- Gabarito 4 
Distribuição Binomial – ME414 
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Exercício 01 Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande 
indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este 
percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 
moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. 
 
Seja X o número de moradores que têm alergia. 
p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2. 
 X ~b (13; 0,20), 
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p = 
0,20, com função de probabilidade dada por: 
k n-k
n
P(X=k) = p (1-p)
k
 
 
 
, k=0, 1, ..., n 
 
Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por: 
P(X  4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … + 0,0000 = 0,2526 
ou 
P(X  4) = 1 - P(X3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 0,2526 
 
Exercício 02 
Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar 
vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que: 
 
(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? 
 
Seja X o número de alunos que fizeram cursinho 
p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75. 
X ~b (16; 0,75), 
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = 
0,75. 
 
Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por: 
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P(X  12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252+0,2079+0,1336+ 
+0,0535+0,0100= 0,6302 
 
(b) No máximo 13 tenham feito cursinho? 
Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos, 
P(X  13) = P(X=0) + P(X =1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029 
ou 
P(X  13) = 1 - P(X  14) = 1 – (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029 
 
(c) (0,5) Exatamente 12 tenham feito cursinho? 
Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos, 
P(X =12) = 0,2252 
 
(d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de 
alunos que fizeram cursinho? E a variância? 
 
Y: número de alunos que fizeram cursinho entre os 80 selecionados 
Y~B(80; 0,75) 
O número esperado de alunos que fizeram cursinho é dado por: 
 = E(X) = n*p = 80 * 0,75 = 60 
 
A variância é dada por: 
2 = Var(x) = n * p * (1-p) = 15 
 
Exercício 03 
Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos das populações A e B sejam 
alfabetizados. Se 12 pessoas da população A e 10 da população B forem selecionadas 
ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos uma não seja alfabetizada? Que 
suposições você fez para responder a esta questão? 
 
Considere, 
D: as 12 pessoas selecionadas da popualção A são alfabetizadas. 
E: as 10 pessoas selecionadas da popualção B são alfabetizadas. 
F: pelo menos uma pessoa entre as 22 selecionadas não é alfabetizada. 
 
P(F) = 1 – P(Fc) = 1 – P(D  E) = 1 – P(D)*P(E) 
 
 eventos independentes 
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Cálculo da probabilidade de D: 
 
Seja X: número de pessoas alfabetizadas entre as 12 selecionadas da população A. 
X~b(12; 0,9) 
P(D) = 
2824,09,0)90,01(90,0
12
12
)12( 12121212 





 XP
 
 
Cálculo da probabilidade de E: 
 
Seja Y: número de pessoas alfabetizadas entre as 10 selecionadas da população B. 
Y~b(10; 0,8) 
P(E)=
1074,08,0)80,01(80,0
10
10
)10( 10101010 





 YP
 
Portanto, 
P(que pelo menos uma pessoa não seja alfabetizada) = P(F) =1 – (0,2824*0,1074) = 0,9697. 
 
Para responder esta questão supões-se que: 
 a) As duas populações são bem grandes; 
 b) Os processos de seleção de pessoas das populações A e B são independentes 
 
 
 
Exercício 04 
Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após alguns 
meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,02 e, nesse caso, ela 
tem probabilidade 0,5 de ser recuperável. O custo de cada muda produzida é R$ 1,20, 
que será acrescido de mais R$ 0,50 se precisar ser recuperada. As irrecuperáveis são 
descartadas. Sabendo que cada muda é vendida a R$ 3,50, encontre a distribuição da 
variável aleatória “lucro por muda produzida”. 
 
Seja L: lucro por muda produzida 
 
L = 
3,50 1,20 2,30
3,50 1,70 1,80
0 1,20 1,20
 

 
   
 
 
O diagrama de árvores (ou árvore de probabilidades), será 
 
, muda sem ataque 
 
, muda atacada e recuperada 
 
muda atacada e descartada 
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Assim, a distribuição da variável aleatória “lucro por muda produzida” é dada por: 
 
l -1,20 1,80 2,30 
P(L=l) 0,01 0,01 0,98 
 
 
 
(a) Qual é o lucro médio por muda produzida? 
O lucro médio por muda produzida é dado por: 
E(L)= -1,20*P(L=l-1,20) + 1,80*P(L=l1,80) + 2,30*P(L=l2,30) = -1,20*0,01+1,80*0,01+2,30* 
0,98 = = 2,26 
Assim, o lucro médio por muda produzida é de R$2,26. 
 
(b) Em uma plantação de 10000 mudas, qual é o lucro esperado? 
 
10000*E(L) = 10000 * 2,26 = 22600 
Assim, em uma plantação de 10000 mudas , o lucro esperado é R$22600,00 
 
P(L=-1,20) = 0,02*0,50 = 0,01 
P(L=2,30) = 0,98 
0,50 
 A 
D 
S 
P(L=1,80) = 0,02*0,50 = 0,01 
0,98 
0,50 
0,02 
R 
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(c) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos 
45 sejam aproveitáveis? 
 
Seja X o número de mudas aproveitáveis. 
p: probabilidade de uma muda, selecionada ao acaso, ser aproveitável; p=0,99 
X ~b (50;0,99), 
 
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n=50 e 
p=0,99. 
 
 
Assim, a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis é dada por: 
P(X45) = P(X=45) + P(X=46) + P(X=47) + P(X=48) + P(X=49) + P(X=50) = 
 =0,0001 + 0,0015 + 0,0122 + 0,0756 + 0,3056 + 0,6050 1  100%