Relatorio momento de inércia

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Universidade estadual de Maringá
Centro de ciências exatas 
Departamento de física
Laboratório de Física experimental I - 5263
MOMENTO DE INÉRCIA
aCADÊMICOS: EDUARDA DE CARVALHO TOMÉ RA:106238 
		 IGOR GABRIEL ROSSATO 		 RA: 102293 
tURMA: 003						pROFESSORA: HATSUMI MUKAI
MARINGÁ, 2017
Resumo
Este experimento busca, a partir da investigação do movimento de translação e rotação de um sistema discos-massa, obter a equação do momento de inércia através do conceito do torque e da energia cinética, e busca explorar o conceito de torque, analisando o que o torque causa na prática. Neste experimento, embora não fosse possível alcançar um sistema em que a força de atrito pudesse ser desconsidera, e que também não houvesse a atuação de outras forças além da gravidade, o resultado obtido para o momento de inércia foi satisfatório, visto que o desvio percentual do momento de inércia foi de 3%, ou seja, conseguiu chegar-se próximo do resultado esperado na teoria. Além disto, neste experimento foi possível observar o efeito do torque na pratica, pois quando o sentido do torque muda, o sentido de rotação do sistema discos-massa também muda.
Introdução Geral
O momento de inércia é uma propriedade de todos os corpos em movimento de rotação, e abrange vários tipos de movimentos, desde os que são visíveis no dia a dia, como a roda de um carro, ou uma roda gigante, até alguns tipos de movimentos que não são facilmente perceptíveis como a rotação da Lua em torno da Terra, ou então a rotação dos Planetas em torno do Sol. É possível aplicar o conceito de momento de inércia em todos estes corpos, devido todos eles possuírem um eixo de rotação, e possuírem massa distribuída em torno deste eixo.
É dito que o momento de inércia é uma grandeza física que estima a dificuldade de alterar o estado de movimento de um corpo em rotação, quanto maior é o momento de inércia de um corpo, mais difícil será faze-lo rodar, mudar a sua rotação, ou então pará-lo, ou seja, o corpo em rotação apresentará uma resistência maior em alterar a sua velocidade angular. 
Sendo assim o momento de inércia é uma grandeza que depende da massa do corpo que está rotacionando, e em como a massa está distribuída em torno do eixo, e do raio do movimento de rotação, ou seja da distância do eixo de rotação até a extremidade do corpo, e a sua unidade no Sistema Internacional (SI) é kg.m2. 
Objetivos
3.1 Objetivo Geral
Investigar o movimento de translação e rotação em um sistema discos-massa. 
3.2 Objetivos Específicos
Determinação do momento de inércia de um disco homogêneo experimentalmente através do sistema discos-massas. 
Explorar os conceitos de conservação de energia mecânica, e explorar o conceito de torque.
Fundamentação Teórica 
4.1 Torque
	O torque, também chamado de momento de uma força, é uma grandeza física que é relacionada ao movimento de rotação de um corpo em razão de uma força aplicada sobre ele. Ou seja, é o produto da força pela distância do ponto de aplicação da força até o eixo de rotação, e sua unidade no Sistema Internacional é o Joule (J), o torque pode ser obtido pela Equação 1.
 (Equação 1)
4.2 Conservação Energia Mecânica
A energia mecânica, Equação 4, de um sistema é dada pela soma da energia potencial (U) do sistema, Equação 2, com a Energia cinética do sistema (k), Equação 3, dos objetos que compõem o sistema. 
 (Equação 2)
 (Equação 3)
 (Equação 4)
	Quando uma força conservativa realiza um trabalho (W) sobre um objeto dentro do sistema, essa força é responsável por uma transferência de energia entre a energia cinética do objeto e a energia potencial do sistema, sendo assim tem-se a seguinte relação:
 (Equação 5)
 (Equação 6)
	Unindo as Equações 5 e 6 tem-se
 (Equação 7)
	Como quando uma dessas energias aumentam a outra diminui na mesma quantidade, a Equação 7 pode ser reescrita na forma da Equação 8.
 (Equação 8)
	Onde cada índice refere-se a um instante diferente, deste modo, pode-se reagrupar os termos da Equação 8, obtendo a Equação 9, que nos diz que a soma da energia cinética com a potencial para um estado inicial de um sistema, é igual a soma da energia cinética com a potencial para um outro estado deste mesmo sistema.
 (Equação 9)
4.2. Momento de Inércia
	
	Por ser uma grandeza que relaciona a massa de um corpo (m), com a distância do eixo de rotação até a extremidade do corpo (r), o momento de inércia pode ser calculado pela Equação 10
 (Equação 10)	
 Ou então pode ser escrita como a Equação 11, que é utilizada para corpos extensos.
 (Equação 11)
 Entretanto, quando se considera um corpo homogêneo, ou seja, com densidade constante, pode-se reescrever a Equação 11, utilizando-se da densidade volumétrica, ρ, Equação 12, e do volume do disco, V, Equação 13, na forma da Equação 14, pelos seguintes passos.
 (Equação 12)
 (Equação 13) 
 Onde m é a massa do corpo em grama, e v é o volume do corpo em metros cúbicos e A é a área do corpo em metros.
[1] ; 
[2] ; 
[3] ; 
[4] ; 
[5] 
[6] ; ; 
[7] + (Equação 14)
	Onde M é a massa e R o raio do disco maior, e m é a massa e r o raio do disco menor. Sendo esta a equação do momento de inércia experimental, visto que serão utilizados dois discos acoplados pelo centro, e que o momento de inércia total pode ser obtido pela soma dos momentos de inércia de cada disco.
	Já para encontrar o momento de inércia experimentalmente através do sistema de discos-massa, é necessário obter a equação através do conceito de torque ou então através do conceito de energia cinética.
	A Equação 15 é a equação do momento de inércia obtida através do conceito de conservação de energia mecânica, Equação 9, e o conceito de energia cinética, Equação 3, pelos seguintes passos.
[1] ; ; ; 
[2] ; ; ;
[3] ; ; ; ;
[4] ; ; ; ;
[5] ; ; ; ; 
[6] ; ; ;
[7] ; (Equação 15)	 
	Já a Equação 19, que é a mesma equação do momento de inércia experimental, foi obtida através do conceito de torque, Equação 1, pelos seguintes passos:
 (Equação 16)
	Tomando a força em módulo têm-se:
[1] 
[2] 
[3] 
[4] 
	Já para o torque temos que ele é obtido pela Equação 17. τ 
[5] (Equação 17)
	Tomando o torque em módulo, têm-se:
[6] 
[7] τ  
[8] 
[9] ; (Equação 18)
	Unindo as equações 16 e 18, obtêm-se a Equação 19, que é a equação do momento de inércia experimental.
[10] 
Como e têm-se:
[11] (Equação 19)
O raio dos discos foi calculado pela Equação 20. 
 (Equação 20)
	Já o tempo médio foi calculado pela média aritmética simples, Equação 21.
 (Equação 21)
	Para o tempo teórico, que permite saber qual deve ser o tempo que o cilindro levará para percorrer a trajetória, isolou-se a variável t da Equação 15 (ou da Equação 19, visto que são a mesma equação), e assim obteve-se a Equação 22.
 (Equação 22)
4.3 Desvios
4.3.1 Classificação dos Erros
	Em um experimento podem ocorrer diversos tipos de erros, e é fundamental utilizar-se de mecanismos para diminui-los ao máximo, garantindo assim um resultado mais exato. Os erros são classificados em três tipos, erros grosseiros, sistemáticos e de flutuação.
	Os erros grosseiros ocorrer por parte do experimentador, seja pela falta de pratica, ou por um erro de leitura, estes podem ser solucionados com o conhecimento sobre o uso correto do equipamento e também em como realizar a leitura no equipamento.
	Os erros sistemáticos ocorrem sempre no mesmo sentido, como antecipar ou adiar o acionamento do cronometro, ou ocorrem devido à má calibração dos equipamentos, para diminuir este tipo de erro deve-se realizar todas as etapas corretas de calibração dos equipamentos.Já os erros flutuantes são erros que não podem ser previstos e sendo assim é o único tipo de erro que não é possível minimizar.
4.3.2 Representação de uma Medida
	Uma medida só terá valor, se quando for representada ela esteja junto com o valor do seu erro, e deve seguir a notação abaixo.
Grandeza = (valor da grandeza ± valor do erro da grandeza) unidade da grandeza.
4.3.3 Desvios de Medidas Diretas
	
Para este experimento, tem-se como medidas diretas, a massa do cilindro metálico, a massas dos discos, a altura da qual o cilindro inicia a sua trajetória, e os diâmetros dos discos. Para as massas dos discos tem-se que o desvio é de 0,01g, já para a massa do cilindro metálico, que foi aferida numa balança digital da Bel engineering o desvio é de 0,05g. A altura da trajetória do cilindro, e o diâmetro do disco maior foram aferidos com uma trena de desvio de 0,05cm, já o diâmetro do disco menor foi aferido com um paquímetro da Vonder com desvio de 0,05mm.
4.3.4 Desvio de Medidas Indiretas
	Como equações são medidas indiretas o cálculo do seu desvio é realizado através da relação da Equação 23, onde utiliza-se do logaritmo neperiano.
 (Equação 23)
Onde X é qualquer grandeza indireta, da qual queira se obter o valor do seu desvio. Esta relação pode ser aplicada para todos membro de uma equação. E será utilizado das propriedades do logaritmo neperiano, só que devido os erros sempre se propagarem, todos os sinais negativos passam a ser positivos. Sendo assim pode-se calculas os desvios das medidas indiretas.
	Para calcular o desvio de tempo médio, é utilizado a equação do desvio padrão, Equação 24, visto que o tempo médio foi calculado pela equação da média aritmética simples.
 (Equação 24)
Já para calcular o desvio do raio ao quadrado, Equação 25, aplicou-se a relação da Equação 23 na Equação 20.
 
Como pela teoria de erros todo sinal negativo passa a ser positivo tem-se:
 
 
	Como 2 é um número exato, então tem-se:
 (Equação 25)
	Já o desvio do momento de inércia teórico foi calculado pela Equação 26, a qual foi obtida aplicando a relação da Equação 23 na Equação 14.
 
 (Equação 26)
	Para diminuir a propagação de erro, no cálculo do desvio do momento de inércia experimental, faz-se primeiro as seguintes considerações:
 
 
 
	Deste modo, encontra-se os desvios de a e de b, aplicando nas equações encontradas a relação da Equação 23, e soma-se os desvios de acordo com a Equação 29, diminuindo assim a propagação do erro.
	Para o desvio de a, tem-se a Equação 27.
 (Equação 27)
	Já para o desvio de b tem-se a Equação 28:
 (Equação 28)
	Já para encontrar a equação do desvio do momento de inércia tem-se a Equação 21.
 
 (Equação 29)
4.3.4 Desvio Percentual
	O desvio percentual é uma ferramenta importante para calcular o quão perto se chegou do que é esperado na teoria, ele pode ser calculado através da Equação 30.
 (Equação 30)
4.3.5 Desvio Relativo Percentual
	O desvio relativo percentual é a razão entre o desvio médio da grandeza aferida, pelo valor mais provável da grandeza, e pode ser obtido pela Equação 31, através dos seguintes passos.
 
 
 (Equação 31)
	Onde Vm é o valor médio, Vteo é o valor esperado na teoria, Vexp o valor obtido experimentalmente, e dm é o desvio médio, e é o desvio relativo.
Desenvolvimento Experimental 
Materiais Utilizados
Os materiais utilizados durante este experimento são:
Dois discos de diâmetros diferentes acoplados pelo centro;
Um cilindro metálico maciço;
Um fio inextensível;
Um cronometro, da marca UniLab de precisão 0,01 s; 
Uma trena, de precisão 0,05 cm;
Uma régua, de precisão 0,05 cm;
Fita adesiva;
Um paquímetro, da marca Vonder, de precisão 0,05 mm;
Uma balança, da marca Bel Engineering, de precisão de 0,05g.
Montagem Experimental
A Figura 1 mostra a montagem experimental do sistema discos-massa, onde os discos estão acoplados pelo centro, e fixos na parede.
4
3
2
1
Figura 1- Foto da montagem experimental. Onde 1 é o disco maior, 2 o disco menor, 3 a massa suspensa, 4 o fio inextensível
Descrição do Experimento
O valor da massa do cilindro metálico foi aferido na balança digital e o seu valor, bem como o de seu desvio, está na Tabela 1. Já os valores da massa dos discos, tanto o maior quanto o menor, estavam disponíveis em uma tabela ao lado do disco no laboratório, os seus valores, e de seus desvios estão presentes na Tabela 1. O diâmetro do disco maior foi aferido com uma trena, já o do disco menor o diâmetro foi aferido com um paquímetro, ambos os valores, bem como o de seus respectivos desvios, estão na Tabela 1.
Para definir o tamanho do fio, ainda no carretel, uma extremidade do fio foi fixa ao cilindro metálico e este colocado no chão, então levou-se o carretel até a altura do disco menor, e deu duas voltas completas nestes, para então cortar o fio, e fixou-se essa extremidade, com fita adesiva, no disco maior.
Definiu-se arbitrariamente uma altura h, a partir da qual o cilindro iniciaria a as trajetória, esta altura foi aferida com uma trena e pode ser visualizada na Tabela 1. Para todas as vezes em que se repetiu o experimento, a altura h deveria ser mantida a mesma, e para que isso fosse possível, realizou-se uma marcação na parede, e com o auxílio de um régua o cilindro era colocado novamente em sua posição inicial para repetir o experimento.
Para manter o disco parado, era necessário que um experimentador o segurasse, e para liberar o disco deveria retirar a mão do disco, evitando, ao máximo, aplicar qualquer outra força sobre o disco, pois caso fosse aplicada alguma força sobre o disco seria aumentado a quantidade de erros no experimento, pois o cilindro poderia percorrer a trajetória em um tempo maior ou menor do que o esperado, ou então poderia percorrer a trajetória com movimentos ondulatórios, o que também comprometeria o resultado final do experimento. 
	Assim que o disco era liberado por um experimentador, o outro deveria acionar o cronômetro no mesmo instante, e travar o cronômetro quando o cilindro atingisse o chão. Este procedimento foi repetido por mais quatro vezes e todos os valores de tempo, com seus respectivos desvios, estão na Tabela 1.
Dados Obtidos Experimentalmente
Na Tabela 1 estão presentes os dados da massa dos discos e do cilindro metálico, bem como seus respectivos desvios, assim como também o comprimento da trajetória realizada pela massa suspensa, com seu desvio, e também o valor dos diâmetros dos discos com seus respectivos desvios.
Tabela 1 – valores da massa dos discos e do cilindro metálico, e seus respectivos desvios, onde ms é o cilindro suspenso, M a massa do disco maior, m a massa do disco menor. E os valores da altura, e dos diâmetros dos discos, onde h é a altura, D o diâmetro do disco maior e d o diâmetro do disco menor.
	ms (kg)
	h (m)
	(97,30 ± 0,05)x10^-3
	(159,60 ± 0,05)x10^-2
	M (kg)
	D (m)
	(2863,20 ± 0,01)x10^-3
	(220,90 ± 0,05)x10^-3
	m (kg)
	d (m)
	(82,10 ± 0,01)x10^-3
	(69,10 ± 0,05)x10^-3
E na Tabela 2 estão os tempos aferidos no cronômetro digital da UniLab
Tabela 2 – Valores dos tempos aferidos experimentalmente com seus respectivos desvios.
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	7,16±0,01
	7,09±0,01
	7,09±0,01
	7,16±0,01
	7,18±0,01
Interpretação dos Resultados
Usando dos dados da Tabela 1, e das equações 14 e 26 calculou-se qual é o momento de inércia teórico e o seu desvio, e o resultado obtido está na Tabela 3. E utilizando, também dos dados da Tabela 1, mas agora utilizando uma das equações 15 ou 19, já que são a mesma, sendo a diferença entre elas o modo pela qual foram obtidas, calculou-se o momento de inércia experimental, e usando das equações 27, 28, e 29, calculou-se o desvio do momento de inércia experimental.
O tempo médio foi calculado utilizando os dados da Tabela 2 e as equações 21 e 24, sendo a primeira para calcular o tempo médio e a segunda para calcular o seu desvio,e estes dados estão na Tabela 3. Já o tempo teórico foi calculado utilizando a Equação 22, este dado também está na tabela 3, porém sem seu desvio, pois este seria o valor exato de tempo.
Tabela 3 – Valores do momento de inércia teórico com seu respectivo desvio, seguido pelo momento de inércia experimental com seu desvio, após este o tempo médio e seu desvio, e por último o tempo teórico.
	Iteo (kg m2)
	Iexp (kg m2)
	tm (s)
	tteo (s)
	(1,76±0,001)x10^-2
	(1,81±0,02)x10^-2
	7,14±0,04
	7,09
Calculou-se o desvio percentual das grandezas aferidas durante o experimento, para isto utilizou-se dos dados da Tabela 3 e da Equação 30. O desvio percentual encontrado tanto para o momento de inércia, quanto para o tempo, estão na Tabela 4. Também calculou-se o desvio relativo do experimento, para isto utilizou-se da Equação 31 e dos dados do momento de inércia da Tabela 3. O valor obtido para o desvio relativo está na Tabela 4.
Tabela 4 – Desvios percentuais do momento de inércia experimental em relação ao momento de inércia teórico e do tempo médio em relação ao tempo teórico. E desvio relativo do momento de inércia.
	Desvio percentual do momento de inércia (%)
	Desvio percentual do tempo médio (%)
	Desvio relativo do momento de inércia (%)
	Desvio relativo do tempo (%)
	3
	1
	1,4
	0,35
	
Análise dos Resultados
Neste experimento foi possível chegar em um resultado bem próximo do esperado na teoria, visto que o desvio percentual, entre o esperado na teoria e o obtido experimentalmente foi de apenas 3%, e o desvio relativo, que diz o quanto faltou para alcançar o resultado da teoria, foi de apenas 1,4%.
Entretanto estes desvios podem ser justificados pois não se realizou o experimento em um sistema livre de atrito, já que embora a força de atrito entre os discos durante o tempo de queda do corpo pudesse ser desconsiderada, ela ainda atuava e exercia alguma influência no sistema, além disto, também existem os desvios dos outros equipamentos utilizados durante o experimento, como o da balança e da trena, e estes quando somados nas equações tendem à aumentar os erros. Além disto, quando repetia-se o procedimento do experimento buscava-se colocar o cilindro sempre no mesmo ponto, definido como ponto de partida, no entanto, não há garantias de que os experimentadores colocaram o cilindro sobre o ponto de partida todas as vezes, podendo ter ocorrido pequenas variações no comprimento da trajetória do cilindro.
Para o tempo obtido no experimento o desvio percentual de 1% e o desvio relativo de 0,35% podem ser justificados devido ao fato do tempo ter sido aferido através de um cronometro digital manual, o que implica que o momento do cronometro ser acionado e travado dependia do tempo de reação do experimentador, e embora não tenha-se alternado entre o experimentador que soltava o disco e o que acionava o cronometro, isto não impediu que ocorressem erros.
Conclusões
O experimento para determinar o momento de inércia de um sistema discos-massa atingiu os seus objetivos, pois foi possível observar o movimento de rotação nos discos, e o movimento de translação que era feito pela massa suspensa, além disto, usando os dados experimentais foi possível obter a equação do momento de inércia, e ainda durante o experimento foi possível observar o que o torque causa, pois quando a massa suspensa atingia o chão, o torque tinha o seu sentido alterado, e como consequência os discos passavam a rotacionar para o sentido contrário.
Referências Bibliográficas
[1] MUKAI H.; FERNANDES P. R. G.. Manual de laboratório de física I – Departamento de Física – Universidade Estadual de Maringá, 1.6, (2017).
[2] MUKAI H.; FERNANDES P. R. G.. Manual de laboratório de física I – Departamento de Física – Universidade Estadual de Maringá, 81-87, (2017).
[3] HALLIDAY D.; ROBERT R.; MERRILL J. Fundamentos de Física 1. Vol. 1. Edição 3. Editora Livros Técnicos e Científicos. 
[4]http://www.infoescola.com/mecanica/torque-ou-momento-de-uma-forca/ Consultado em 16/07/2017
[5] http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/momento-ou-torque-uma-forca.htm Consultado em 16/07/2017
[6] http://alunosonline.uol.com.br/fisica/momento-inercia.html Consultado em 16/07/2017