Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Prévia do material em texto

Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul 
 
 
 
 
Graduação em Física 
 
 
 
 
Unidade Dourados 
 
 
 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
 
 
 
 
 
FERNANDO FERREIRA ANSELMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório ministrado 
à pedido do Prof. Dr. 
Paulo de Souza Silva 
da disciplina de Física 
Experimental 
 
 
 
 
 
 
 
Dourados – MS 
Maio de 2005 
 
 
 
 
 
Objetivo 
 
Este experimento tem por objetivo, verificar o comportamento de um corpo em Movimento 
Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) em um plano inclinado. E determinar 
experimentalmente o valor da aceleração da gravidade local. 
 
Introdução 
 
Segunda Lei de Newton 
 
De acordo com o princípio da inércia, se a resultante das forças atuantes num 
corpo for nula, o corpo consegue manter, por inércia, sua velocidade constante, ou seja não 
possui aceleração. Logo, força consiste num agente físico capaz de produzir aceleração, 
alterando o estado de repouso ou de movimento dos corpos. 
 
Quando um força resultante está presente em uma partícula, esta adquire uma 
aceleração na mesma direção e sentido da força, segundo um referencial inercial. A relação, 
neste caso, entre a causa (força resultante) e o efeito (aceleração) constitui o objetivo 
principal da Segunda Lei de Newton, cujo enunciado pode ser simplificado assim: 
 
 A resultante das forças de agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela 
aceleração adquirida 
. 
Isso significa que, sendo a massa do corpo constante, a força resultante e 
aceleração produzida possuem intensidades diretamente proporcionais. Ou seja, quanto 
mais intensa for a força resultante, maior será a aceleração adquirida pelo corpo. 
 
A força resultante aplicada a um corpo é diretamente proporcional ao produto 
entre a sua massa e a aceleração adquirida pelo mesmo. 
 
F = m . a 
 
Se a força resultante for nula ( F = 0 ) o corpo estará em repouso (equilíbrio 
estático) ou em movimento retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico). A força poderá ser 
medida em Newton se a massa for medida em kg e a aceleração em m/s² pelo Sistema 
Internacional de Unidades de medidas ( S.I ). 
 
Plano Inclinado 
 
Destina-se este aparelho (figura abaixo) ao estudo da condição de equilíbrio do 
plano inclinado. O conjunto é formado por uma prancha de madeira que assenta 
horizontalmente sobre quatro pés. Articulada com esta prancha, através de uma dobradiça, 
existe uma segunda prancha que é, propriamente, o plano inclinado. A medida da 
inclinação é feita por meio de um quadrante de latão graduado que se apóia sobre a base do 
conjunto, encostado ao plano inclinado. O centro de curvatura do quadrante coincide com 
um ponto do eixo de rotação do plano inclinado, sendo o seu plano perpendicular a este 
eixo. 
 
Destina-se este aparelho ao estudo da condição de equilíbrio do plano inclinado. O 
conjunto é formado por uma prancha de madeira que assenta horizontalmente sobre quatro 
pés. Articulada com esta prancha, através de uma dobradiça, existe uma segunda prancha 
que é, propriamente, o plano inclinado. A medida da inclinação é feita por meio de um 
quadrante de latão graduado que se apóia sobre a base do conjunto, encostado ao plano 
inclinado. O centro de curvatura do quadrante coincide com um ponto do eixo de rotação 
do plano inclinado, sendo o seu plano perpendicular a este eixo. 
Sobre o plano inclinado coloca-se um cilindro de chumbo, munido de um arco 
fixo nas extremidades do seu eixo. Este cilindro é mantido em posição sobre o plano 
inclinado através de um fio ligado ao arco, o qual passa por uma roldana de latão existente 
na extremidade de uma haste de madeira, montada na base do conjunto; da outra 
extremidade do fio suspende-se um peso escolhido de acordo com a inclinação do plano. O 
estudo experimental realizado com este dispositivo consiste em estabelecer uma relação de 
equilíbrio entre o peso do cilindro, a inclinação do plano e o peso que se deve suspender da 
extremidade do fio. 
A articulação da haste onde se encontra a roldana é conseguida através de uma 
peça de ferro onde se encontra uma roda dentada solidária com a referida haste. Esta roda 
dentada encontra-se justaposta a uma outra roda, fixa na base do conjunto, sendo esta 
última perfurada na periferia, a fim de nela se poder enfiar uma cavilha. Com a cavilha 
metida entre os dentes da roda solidária com a haste, esta se mantém numa posição estática 
e com o grau de inclinação previamente escolhido pelo utilizador. 
Existem, com este mesmo número de inventário, três cunhas cujos ângulos são de 
15º, 30º e 45º, mas que nos parece não pertencerem originalmente a este conjunto. 
Esta máquina é proveniente do Colégio dos Nobres, onde tinha o número de 
catálogo 143. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
 
 A principal característica desse movimento é a aceleração que é constante no 
decorrer do tempo (a = cte). Como conseqüência o móvel terá variações de velocidade 
iguais em intervalos de tempo iguais. Outra característica desse movimento é que em 
qualquer instante a aceleração média e aceleração instantânea serão iguais. 
 No caso da trajetória do móvel ser uma reta e a aceleração constante, dizemos que o 
móvel executa um Movimento Retilíneo Uniformente Variado. 
 Se o móvel executa um MUV (Movimento Uniformente Variado), então 
seguirá as seguintes equações: 
v = v0 + at (Equação Horária) 
S = S0 + v0t + (1/2) at
2 (Função do espaço) 
v2 = v0
2 + 2DS (Equação de Torricelli) 
onde: 
v = velocidade no instante t; 
v0 = velocidade no instante t0 (velocidade inicial); 
a = aceleração; 
t = tempo; 
S = posição do móvel no instante t; 
S0 = posição inicial do móvel (ponto de partida); 
DS = deslocamento do móvel no intervalo de tempo considerado. 
 
 Todos os corpos que estão a uma certa proximidade da terra sofrem atração 
gravitacional. É por isso que os corpos abandonados a uma determinada altura caem. Essa 
atração faz com que os corpos lançados verticalmente ou queda livre entrem em movimento 
uniformemente variado. Como já sabemos de estudos anteriores, esse movimento 
(Movimento Uniformente Variado) sofre a ação de uma aceleração (que é constante). No 
caso do movimento vertical ou queda livre, essa aceleração é chamada de aceleração da 
gravidade. Ao nível do mar g = 9,8 m/s². 
 
 Nos nossos estudos não iremos considerar alguns fatores que influem na queda livre 
dos corpos, como a forma do corpo e resistência do ar. 
A aceleração e seu efeito no movimento dos corpos foram perfeitamente 
explicados pela primeira vez por Galileu Galilei (1564-1642), que realizou diversas 
experiências para determinar o processo de queda dos corpos e fenômenos semelhantes. 
Com o plano inclinado ele pode "reduzir" a aceleração da gravidade, aumentado a duração 
do movimento de queda livre, o que lhe permitiu estudá-lo com rudimentares cronômetros 
de água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento Experimental 
 
Primeiramente foram ajustados os cronômetros de acordo as posições fornecidas 
pelo roteiro. As posições e tempos iniciais foram ajustados de modo a ser zero; 
conseqüentemente a velocidade inicial. 
 
Então foi ajustada a posição para o trilho de ar para 1,3° acima do eixo horizontal 
positivo. Posteriormente foi ligado o cronômetro e o trilho de ar, depois o carro foi 
colocado em movimento. Sendo medido cuidadosamente cada tempo para seu respectivo 
espaço com seus erros estatísticos ou instrumentais considerando-se o maior. 
 
O mesmo procedimento foi repetido cinco vezes, e calculada as velocidades 
médias e instantâneas para cada medida de espaço utilizando os tempos médios. 
 
 
 
Apresentação, Análise e Conclusão dos Resultados 
 
Os valores encontrados para as cinco medidas de tempo nos quatro intervalos de 
espaço, podemser observados na tabela 1 abaixo. 
 
Tabela 1: medidas dos intervalos de tempo em seus respectivos espaços 
 
∆t(s) 
∆S1 = (200-0)mm 1,413 1,426 1,413 1,417 1,415 
∆S2 = (400-200)mm 0,770 0,773 0,768 0,770 0,776 
∆S3 = (600-400)mm 0,578 0,581 0,579 0,580 0,579 
∆S4 = (800-600)mm 0,481 0,483 0,482 0,483 0,483 
 
Os valores médios, desvios e erros se encontram na tabela 2. 
 
Tabela 2: valores médios, desvios e erros. 
 
 valor médio desvio-padrão desvio-padrão da média erro relativo erro percentual 
 n 
 Xm = ∑ xi d = ∑( x – xm)² dm = d Er = ∂m Ep = ∂m . 100% 
 i =1_ N-1 (N)¹/² x x 
 n 
∆S1 = (200-0)mm 1,417 0,0054 0,0024 0,0017 0,17% 
∆S2 = (400-200)mm 0,771 0,0031 0,0014 0,0018 0,18% 
∆S3 = (600-400)mm 0,573 0,0072 0,0032 0,0056 0,56% 
∆S4 = (800-600)mm 0,482 0,001 0,0004 0,0008 0,08% 
 
Os valores encontrados para espaço, tempo médios, velocidade e seus respectivos 
erros encontram-se na tabela 3 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 3: valores de espaço, tempo médio e velocidade com seus erros padronizados: 
 
 ∆S(mm) ∆tm(s) ∆V(mm/s) 
∆S1 = (200 - 0) ± 0,5 1,417 ± 0,002 141,143 ± 1,745 
∆S2 = (400 -200) ± 0,5 0,771 ± 0,002 259,403 ± 1,745 
∆S3 = (600 -400) ± 0,5 0,579 ± 0,002 345,423 ± 1,745 
∆S4 = (800 - 600) ± 0,5 0,482 ± 0,002 414,938 ± 1,745 
 
Para esta etapa foram calculados os valores da velocidade instantânea em função 
do tempo médio com seus erros conforme a tabela 4 abaixo. 
 
Tabela 4: valores de espaço, tempo médio e velocidade instantânea com seus erros 
padronizados: 
 
 S(mm) t(s) V(mm/s) 
 S1 = (200-0) ± 0,5 1,417 ± 0,004 141,143 ± 1,745 
 S2 = (400-200) ± 0,5 2,188 ± 0,004 259,403 ± 1,745 
 S3 = (600-400) ± 0,5 2,767 ± 0,004 345,423 ± 1,745 
 S4 = (800-600) ± 0,5 3,249 ± 0,004 414,938 ± 1,745 
 
 
E para o cálculo das velocidades médias e instantâneas juntamente com os erros 
em relação ao espaço e tempo, utilizou-se a relação: 
 
 
(c ± ∂c) = (a ± ∂ a) onde : ∂ c = ∂a + a∂b 
 (b ± ∂b) b b² 
 
Então foi aplicado os Métodos Mínimos Quadrados para o traçado da melhor reta, 
em todos os gráficos (para as velocidades instantâneas). 
 
 
 
a = 1 ( ∑xi∑yi² - ∑ yixi∑yi) onde : △ = ( N∑yi² - (∑yi )²) 
 △ 
 
b = 1 (N∑yixi - ∑yi∑xi) 
 △ 
 
 Os resultados quanto às velocidades instantâneas podem ser observados na tabela 5 a 
seguir. 
 
Tabela 5: resultados dos valores ajustados da velocidade instantânea e espaço em função do 
tempo. 
 
 t(s) V(mm/s) S(mm) 
t1 = 1,417 ± 0,004 142,398 S1 = 178 ± 0,5 
t2 = 2,188 ± 0,004 257,729 S2 = 429 ± 0,5 
t3 = 2,767 ± 0,004 344,340 S3 = 617 ± 0,5 
t4 = 3,249 ± 0,004 416,441 S4 = 774 ± 0,5 
 
 
As equações das retas dos gráficos das posições em função do tempo (Sxt) e 
velocidade em função do tempo (Vxt) obedecem respectivamente as relações: 
 
S0 = S0 + Vt e V = V0 + at 
 
Através da análise dos gráficos, podemos obter as seguintes equações de reta: 
 
 Sxt : Vxt: 
 
 y = f(x) = ax + b y = f(x) = ax + b 
 
log S = 2log (at) - log2 V = V(t) = at + V0 
 
S = S0 + V0t + at²/2 
 
 
Nos gráficos de Sxt , o coeficiente angular “a” representa a aceleração que é 
constante , o termo independente x o tempo,e o coeficiente linear “b”o espaço inicial. 
No gráfico de Vxt o coeficiente angular “a” representa a aceleração que também é 
constante, o termo independente x o tempo, e o coeficiente linear ‘b “a velocidade inicial. 
Com esses três valores de aceleração do carrinho foram calculadas também três 
acelerações para a gravidade utilizando as Leis de Newton no plano inclinado. 
 
 
 
 
 
 
Do plano inclinado tem-se as relações: 
 
 No eixo y : N - Py = 0 
 
 No eixo x : Px = ma 
 
 mg sen1,3° = ma 
 
 g = a ± ∂a______ (1) 
 sen 1,3° ± sen 0,5° 
 
onde: ∂a e sen 0,5° são os erros da aceleração e do seno do ângulo, 
respectivamente. 
 
No gráfico de vxt obtivemos quatro acelerações com seus respectivos erros, 
devido aos quatro tempos existentes. A primeira aceleração(a1= 99,607mm/s²) foi 
desprezada por apresentar um valor desproporcional em relação as demais. 
 
a2 = (118,557 ± 0,948)mm/s² a3 = (124,837 ± 
0,731)mm/s² 
a4 = (127,712 ± 0,437)mm/s² 
 
Então foi calculada a aceleração média, através da média aritmética dessas três 
acelerações com seus erros: 
 
am = a2 + a3 + a4 = (123,702 ± 0,705)mm/s² 
 3 
Utilizando-se da equação da equação(1), podemos determinar a aceleração 
gravitacional através da aceleração média(gráfico: Vxt). 
 
g = (123,702 ± 0,705)mm/s² = (5.452,470 ± 80,788)mm/s² 
 sen 1,3°± sen 0,5° 
 
Para o gráfico Sxt, no papel log-log, tem-se : 
 
log 596 = 2log(a1,35) - log2 
 
a = 11,804mm/s² 
 
g =__ a ___ = 11,804mm/s² = 0,521mm/s² 
 sen 1,3° sen 1,3° 
 
Para o gráfico Sxt no papel milimetrado, tem-se: 
 
S = at²/2 
 
400 = a(1,35)²/2 a = 438,957mm/s² 
 
g =__ a ___ = 438,957mm/s² = 19.348,130 mm/s² 
 sen 1,3° sen 1,3° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
 
Podemos perceber que houve uma considerável diferença entre os valores determinados da 
aceleração gravitacional terrestre, através dos três gráficos. Essa diferença se deve a 
diversos fatores... São eles: o atrito existente entre o carrinho e o ar, o impulso inicial 
fornecido ao carrinho para que se deslocasse, os erros instrumentais e estatísticos 
(consideramos os maiores entre os dois e padronizamos) e erros de acurácia e precisões 
também devem ser consideradas... 
O valor da aceleração gravitacional que se apresentou mais próximo do valor 
teórico ( g aproximadamente 9,8 m/s²) foi o do gráfico deVxt (5.452,470 ± 80,788)mm/s². 
Percebemos que gravidade pode ser determinada de diversas maneiras... 
Podemos concluir que o experimento não teve uma boa precisão, devido aos 
valores encontrados para as acelerações gravitacionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
Desaguliers, Jean-Théophile, A Course of Experimental Philosophy, Londres, 1734, Vol. I, 
p. 108, Pl. 11 
http://www.cdcc.sc.usp.br/escolas/julian 
 
Barthem,R. B., Tratamento e Análise de Dados em Física Experimental, 4° edição, UFRJ. 
 
Halliday, D., Resnick, R., Física 1,4ª edição, R.J.,LTC Editora, 1984.