Potenciação: conceitos e propriedades

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POTENCIAÇÃO
Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais:
 
 n vezes
Exemplo
5x5x5, indicada por 5³
ou seja, 5³= 5x5x5=125
onde:
5 é a base (fator que se repete)
3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)
125 é a potência ( resultado da operação)
Outros exemplos :
a) 7²= 7x7=49
b) 4³= 4x4x4=64
c) 54= 5x5x5x5=625
d) 25= 2x2x2x2x2=32
O expoente 2 é chamado de quadrado
O expoente 3 é chamado de cubo
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
O expoente 5 é chamado de quinta potência.
Assim:
a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado
b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo
c) 54 Lê-se: cinco elevado a quarta potência
d) 25 Lê-se: dois elevado a quinta potência
Por convenção temos que:
1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,
 
Exemplos:
a) 8¹ = 8
b) 5¹ = 5
c) 15¹ = 15
2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1
 
Exemplos:
a) 8º=1
b) 4º=1
c) 12º=1
EXERCÍCIOS:
1) Em 7² = 49, responda:
a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?
2) Escreva na forma de potência:
	a) 4x4x4= 
	c) 9x9x9x9x9= 
	e) 2x2x2x2x2x2x2= 
	b) 5x5 = 
	d) 7x7x7x7 = 
	f) cxcxcxcxc= 
3) Calcule a potência:
	a) 3² = 
	g) 34 =
	n) 10³ =
	b) 8² = 
	h) 3⁵ = 
	o) 15² = 
	c) 2³= 
	i) 15 = 
	p) 17² =
	d) 3³ = 
	j) 06 = 
	q) 30² = 
	e) 6³ =
	l) 1⁵ =
	q) 152=
	f) 24 = 
	m) 10² =
	
4) Calcule as potências:
	a) 40² = 
	d) 30³= 
	g) 100³ = 
	b) 12² = 
	e) 113 =
	h) 11² =
	c) 15³ = 
	f) 300² = 
	i) 132
5) Calcule as Potências:
	a) 14² = 
	f) 14 =
	k) 1³ =
	b) 20² =
	g) 10³ =
	l) 103 = 
	c) 17² =
	h) 470¹ =
	m) 16 = 
	d) 0² = 
	i) 11³ =
	n) 15³ =
	e) 0¹ =  
	j) 670 = 
	o) 1² = 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
1) Multiplicação de potências de mesma base
 
Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
Exemplos:
a) 3² x 33 = 32+3 = 35
b) 54 x 53 = 54+3 = 57
Conclusão:
conservamos a base e somamos os expoentes.
EXERCÍCIOS
1) Reduza a uma só potência
	a) 4³ x 4 ²=
	g) 5 x 5² =
	n) 4 x 4 x 4= 
	b) 73 x 72 =
	h) 7 x 74 = 
	o) m0 x m x m³ =
	c) 24 x 2²= 
	i) 6 x 6 =
	p) 15 x 15³ x 154x 15 =
	d) 6³ x 6 =
	j) 3 x 3 =
	q) 42 x 43 x 4 =
	e) 34 x 3² =
	l) 9² x 94x 9 = 
	r) 113 x 115 x 112 =
	f) 9³ x 9 = 
	m) 4 x 4² x 4 = 
	s) 27 x 22 = 
2) Reduza a uma só potência:
	a) 7² x 76 = 
	d) 8² x 8 = 
	g) a² x a² x a² =
	b) 2² x 24= 
	e) 30 x 30 =
	h) m x m x m² =
	c) 5 x 5³ =
	f) 4³ x 4 x 4² =
	i) x8 . x . x =
2) Divisão de Potência de mesma base
Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.
Exemplos:
a) 84 : 8² = 84-2 = 82
b) 54 : 5 = 54-1 = 5³
Conclusão: conservamos a base e subtraímos os expoentes
EXERCÍCIOS
1) Reduza a uma só potência
	a) 54 : 5² = 
	f) 95 : 9 =
	k) x8 : x = 
	b) 85 : 8³ = 
	g) 54 : 5³ = 
	l) a7 : a6 = 
	c) 93 : 9² = 
	h) 66 : 6 = 
	m) 72 : 7 =
	d) 4³ : 4² = 
	i) a5 : a³ =
	n) 105 : 102 =
	e) 96 : 9³ = 
	j) m² : m =
	o) 34 : 32 =
2) Reduza a uma só potência:
a) 25 : 2³ =
b) 78 : 7³=
c) 94 : 9 =
d) 59 : 5³ =
e) 84 : 80 =
f) 70 : 70 =
3) Potência de Potência
 
Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.
(7²)³ = 7²΄³ = 76
conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
EXERCÍCIOS
1) Reduza a uma só potência:
a) (54)²
b) (7²)4
c) (3²)5
d) (4³)²
e) (94)4
f) (5²)7
g) (6³)5
h) (a²)³
i) (m³)4
j) (m³)4
k) (x5)²
l) (a³)0
m) (x5)0
2) Reduza a uma só potência:
a) (7²)³ =
b) (44)5 =
c) (8³)5 =
d) (27)³ =
e) (a²)³ =
f) (m³)4 =
g) (a4)4 =
h) (m²)7 =
4) Potencia de Expoente Inteiro Negativo
1) Exercícios
a) 2-1
b) 3-2
c) 5-3
d) 7-1
e) 9-2
f) 10-4
g) 12-2
h) 
 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
Potências de Base 10 
a) 
 
 (((((((((
 “n” zeros
b) 
 ((((( ((((( 
 “n” zeros “n” casas
1) Transforma os valores abaixo em números com potência de base 10
a) 2500 = 25×100 = 25×102 (numero sem vírgula) 
b) 1500 = 
c) 200 = 
d) 15000 = 
e) 740000 =
f) 23500 = 
g) 750000 = 
h) 12700 = 
i) 1700 = 
j) 36800 = 
k) 998700 = 
l) 97010000 = 
m) 18500 = 18,5×1000 = 18,5×103 (expoente 3) 
n) 123000 = 
o) 97300 = 
p) 1350 = 
q) 107 = 
r) 8578000 = 8,578×1000000 = 8,578×106 (expoente 6) 
s) 9987000 = 
t) 739020000 = 
u) 13200000 = 
v) 230000 =
2) Transforma os valores abaixo em números com potência de base 10
a) 0,0727 = 727 × 10−4 (expoente negativo sem vírgula) 
b) 0,055 = 
c) 0,0000732 = 
d) 0,000194 = 
e) 0,12 = 
f) 0,00000744 = 
g) 0,00304 = 
h) 0,0123 = 1,23 × 10−2 (vírgula na primeira casa) 
i) 0,00174 = 
j) 0,000987 = 
k) 0,721 = 
l) 0,00567 = 
m) 0,0000936 = 
n) 0,0472 = 47,2 × 10−3 (expoente -3) 
o) 0,345 = 
p) 0,008652 = 
q) 0,000145 = 
r) 0,02 = 
s) 0,0000685 = 68,5 × 10−6 (expoente -6) 
t) 0,000739 = 
u) 0,00000198 = 
v) 0,00029 = 
x) 0,0000238 =
3) Escreva os valores abaixo sem potencia de base 10
a) 5,5×105 = 5,5×100000 = 550000 
b) 23×103 = 
c) 830×101 = 
d) 74,4×102 = 
e) 1,2×10−3 = 
f) 45×10−5 = 
g) 77×10−1 = 
h) 956,6×10−6 = 
i) 0,6×10−2 = 
j) 4×10−8 = 
4) Converta os valores abaixo conforme os exemplos 
a) 12,5×102 = 12,5×100 = 1,25×1000 = 1,25×103 (expoente 3, menor para maior) 
b) 7,8×102 = 
c) 12×101 = 
d) 418×101 = 
e) 25,4×102 = 
f) 5,7×105 = 
g) 69×104 = 
h) 0,56×105 = 
i) 7,1×104 = 
j) 0,0357×106 = 
k) 72,8 × 104 = 
l) 740×105 = 
m) 1,2×104 = 
n) 105×107 = 
o) 649,2×103 = 
p) 4,2×108 =
q) 0,085×109 = 
5) Converta os valores abaixo conforme os exemplos 
a) 10,5 × 10−2 = 10,5 x 0,01 = 105 x 0,001 = 105 x 10-3
b) 0,29×10−1 = 
c) 3,4×10−2 = 
c) 700×10−2 = 
d) 0,96×10−1 = 
e) 47 × 10−5 = 
f) 12×10−5 =
g) 0,864×10−4 = 
h) 7,2×10−5 = 
i) 9130×10−6 =
j) 2,18 × 10−5 = 
k) 9×10−4 = 
l) 0,73×10−3 = 
m) 1,7×10−7 = 
n) 87,8×10−5 = 
o) 1240×10−9 = 
q) 25,6×10−8 = 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) Calcule
a) 7² = 
b) 4² =
c) 24 = 
d) 8¹ = 
e) 92 = 
f) (-9)² = 
g) (-5)³ = 
h) (-1)3 = 
i) (-15)¹ = 
j) (-10)2 = 
k) (+3)3 =
l) (-1)-2 = 
m) (-10)3 =
2) Calcule:
a) 25 =
b) (-2)5 = 
c) -25 =
d) 24 = 
e) (-2)4 =
f) -24 = 
g) –(-3)3 = 
h) –(-5)³ = 
i) –(+2)6 = 
3) Calcule:
a) (3/2)² = 
b) (-1/2)4 =
c) (-1/3)³ =
d) (-4/5)0 =
e) (-5/9)¹ =
f) (+7/8)¹ = 
g) (-1/2)5 = 
h) (-4/3)² = 
4)Calcule:
a) 7⁻² = 
b) 5⁻³ = 
c) 2⁻4 = 
d) 2⁻5 = 
e) (-3)⁻² = 
f) –(-3)⁻² =
5)Calcule:
a) (3/2)⁻² = 
b) (1/2)⁻³ = 
c) (2/3)⁻² = 
d) (-1/4)⁻² = 
e) (5/2)⁻³ = 
f) (-1/2)⁻4 = 
6 Calcule:
a) (-4)² - 3 = 
b) 1 + (-2)³ = 
c) -2 + (-5)² = 
d) 15 + (-1)2 -2 = 
e) (-2)² + (-3)³ +1 = 
f) (-9)² -2 –(-3) -6 = 
g) (-2) . (-7) + (-3)² = 
h) (-1)³ + 3 + (-2) . (-5) = 
7) Calcule o valor das expressões:
a) (-4/3)² - 1 =
b) 3/2 + (-1/2)² -8 = 
c) (1 - ½)² + (-1 + ½)³ = 
d) (1 + ½)² - ¼ =
8) Classifique como verdadeiro ou falso:
a) 53 . 5² = 55 ( )
b) 34 : 32 = 33 ( )
c) 85 : 8⁻³ = 8² ( )
d) 75 – 7³ = 7² ( )
e) (7³)² = 76 ( )
f) ( 5 + 2 )² = 5² + 2² ( )
g) 3² + 3³ + 34 = 310 ( )
9) Simplifique, aplicando a propriedades de potência:
a) (3 . 7)5 . ( 3 .7 )² = 
b) (5xy²) . (2x²y³) = 
c) ( a² . b)² . (a . b)³ =
d) (7xy²)² . (x³y²)4 = 
10) Calcule:
a) (-3)² + 6² = 
b) 3² + (-5)² = 
c) (-2)³ - (-1)³ = 
d) 5² - 34 - (-1)9 =e) (-10)² - (-3) =
f) 5 . (-3)² + 1 – 60 =
g) 4 . (-1) . (-3)² = 
h) -4 . 6 . (-1)7 = 
i) (-7)² - 4 . 2 . (-2) = 
j) (-6)² - 4 . (-3) . (-3) = 
11) (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2(-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
12) (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:
a) 1
b) -5/6
c) -5/3
d) -5/2
13) (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:
a) 206
b) 2 . 106
c) 2 . 109
d) 20 . 10-4
14) (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:
a) 10
b) 1000
c) 10-2
d) 10-3
15) Se 53a = 64, o valor de 5-a é:
a) 1/4
b) 1/40
c) -1/4
d) 1/20
16)  Calcular: 23; (-2)3; ; -23
17)  Calcular: (0,2)4; (0,1)3
18)  Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3 
 
19)  O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é: 
a) 20
b) -12
c) 19,5
d) 12
e) 10  
  
20)  (USF) Dadas as expressões A = -a2 – 2a + 5 e B = b2 + 2b + 5: 
  
 a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;
 b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;
 c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;
 d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;
e) Se a = -2 e b = 2, então A = B. 
21)  (UFSM)Números que assustam:
 * 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.
 * 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje.
 * 90 milhões nascem a cada ano.
 * 800 milhões passam fome.
 * 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.
 * 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.
 * 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU)  
De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente:  
a) 568 . 109; 9 . 106; 8 . 106
b) 5,68 . 106; 9 . 106; 8 . 106
c) 568 . 107; 9 . 107; 80 . 107
d) 56,8 . 109; 90 . 109; 8 . 109
e) 568 . 108; 90 . 106; 80 . 106 
  
22)  (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
   
I. 2x+3 = 2x . 23
 II. (25)x = 52x
 III. 2x + 3x = 5x
  
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa. 
23)  Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se: 
  a) 236
 b) 2-30
 c) 2-6
 d) 1
 e) a 
24)  Se 53a = 64, o valor de 5-a é: 
  
a) –1/4
 b) 1/40
 c) 1/20
 d) 1/8
 e) ¼ 
25)  (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: 
 a) 0,0264
 b) 0,0336
 c) 0,1056
 d) 0,2568
 e) 0,6256  
26) (UFRGS) O valor da expressão é:
��
(A) -4
(B) 1/9
(C) 1
(D) 5/4
(E) 9
27) (PUC-RS) A expressão
��
é igual a:
(A) 164
(B) 83
(C) 82
(D) 45
(E) 41
28) (FUVEST) Dos números abaixo, o que está mais próximo de
��
(A) 0,625
(B) 6,25
(C) 62,5
(D) 625
(E) 6250
29)(PUC-SP) O valor da expressão:
                                              �� 
a) 10
b) 10³
c) 10-2
d) 10-3
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO
Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :
1°) Potenciação
2°) Multiplicações e divisões
3°) Adições e Subtrações
EXEMPLOS
1) exemplo
   5 + 3² x 2 =
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23
2) exemplo
 7² - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44
Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:
1°) parênteses ( )
2°) colchetes [ ]
3°) chaves { }
exemplos
1°) exemplo
   40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =
= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ]=
= 40 – 26 =
= 14
2°) exemplo
   50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =
= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=
= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =
= 50 – { 15 +12 } =
= 50 – 27 =
= 23
Exercícios
1) Calcule o valor das expressões:
a) 7² - 4 = (R:45)
b) 2³ + 10 = (R:18)
c) 5² - 6 = (R:19)
d) 4² + 70= (R:17)
e) 50+ 5³= (R: 126)
f) 2³+ 24 = (R: 24)
g) 10³ - 10² = (R: 900) 
h) 80¹ + 180 = (R: 81)
i) 5² - 3² = (R: 16)
j) 180 + 070 = (R: 1)
2) Calcule
a) 3² + 5 = (R: 14)
b) 3 + 5² = (R: 28)
c) 3² + 5² = (R: 34)
d) 5² - 3² = (R: 16)
e) 18 – 70 = (R: 17)
f) 5³ - 2² = (R: 121)
g) 10 + 10² = (R: 110)
h) 10³ - 10² = (R: 900)
i) 10³ - 1¹ = (R: 999)
3) Calcule o valor das expressões
a) 2³ x 5 + 3² =
b) 700 + 070 - 1 =
c) 3 x 7¹ - 4 x 50 = 
d) 34- 24: 8 – 3 x 4 = 
e) 5² + 3 x 2 – 4 = 
f) 5 x 2² + 3 – 8 =
g) 5² - 3 x 2² - 1 =
h) 16 : 2 – 1 + 7² =
4) calcule o valor das expressões:
a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = 
b) (3 +1)² +2 x 5 – 100 = 
c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = 
d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = 
e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = 
f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = 
g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 =  
h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = 
5) calcule o valor das expressões:
a) 5 + 4²- 1 = 
b) 34 - 6 + 2³ = 
c) 25 - 3² + 19 = 
d) 10²- 3² + 5 = 
e) 11² - 3² + 5 = 
f) 5 x 3² x 4 = 
g) 5 x 2³ + 4² =
h) 5³ x 2² - 12 =
6) Calcule o valor das expressões:
a) ( 4 + 3)² - 1 = 
b) ( 5 + 1 )² + 10 = 
c) ( 9 – 7 )³ x 8 = 
d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = 
e) 6² : 2 – 14 x 5 = 
f) 3² x 2³ + 2² x 5² = 
7) Calcule o valor das expressões:
a) 4²- 10 + (2³ - 5) = 
b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = 
c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = 
d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = 
e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = 
f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2 x 1 ] = 
g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = 
h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = 
i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = 
8) Calcule as expressões:
a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 24 – 50] . 4¹}= 
b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = 
c) ( 25 - 3³) . (2² - 2 ) = 
d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = 
e) (18 – 4 . 2) . 3 + 24 . 3 - 3² . ( 5 – 2) = 
f) 4² . [24 : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 20 = 
g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 110 – 100 = 
h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = 
i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = 
j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = 
k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = 
l) (( 2³ + 24) . 3 -4) + 3² = 
m) 3 + 2 . ((3²- 20) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = 
� EMBED Equation.3 ���
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