Intervalos Reais e Operações

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INTERVALOS REAIS
O Eixo Real
Podemos associar a cada ponto de uma reta r um único número real e, a cada número real, um único ponto da reta. Para isso, adotamos um ponto O da reta, que será chamado de origem, e a ele associamos o número zero:
 O
 0
O ponto O é a origem de duas semi-retas opostas, contidas em r. A cada ponto P, P ( O, de uma dessas semi-retas, associamos um número real positivo. Aos pontos da outra semi-reta, associamos os números reais negativos, de modo que a dois pontos de r, simétricos em relação a O, estejam associados números reais opostos:
 O
 – 1 0 1
Este sistema assim construído é denominado de eixo real, cujo sentido é o que concorda com o crescimento valores dos números. Se um ponto B do eixo real estiver associado a um número real x, então diremos que x é a abscissa de B.
Intervalos reais
Sejam a e b números reais tais que a < b. Chamam-se de intervalos reais os subconjuntos de R mostrados na seguinte tabela:
�
	Subconjunto de R
	Símbolo
	Nome
	Representação no eixo real
	{x ( R | a ( x ( b}
	[a, b]
	Intervalo fechado de extremos a e b
	
	{x ( R | a < x < b}
	]a, b[ 
ou 
(a, b)
	Intervalo aberto de extremos a e b
	
	{x ( R | a ( x < b}
	[a, b[ 
ou 
[a, b)
	Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a e b
	
	{x ( R | a < x ( b}
	]a, b]
ou
(a, b]
	Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos a e b
	
	{x ( R | x ≥ a}
	[a, (([
ou
[a, (()
	Intervalo incomensurável fechado à esquerda em a
	
	{x ( R | x > a}
	]a, (([
ou
(a, (()
	Intervalo incomensurável aberto à esquerda em a
	
	{x ( R | x ≤ a}
	] ((, a]
ou
(((. a]
	Intervalo incomensurável fechado à direita em a
	
	{x ( R | x < a}
	] ((, a[
ou
(((, a)
	Intervalo incomensurável aberto à direita em a
	
	R
	] ((, +([
ou
(((,+()
	Intervalo incomensurável de (( a ((
	
Convenções:
A bolinha cheia (
) no extremo de um intervalo indica que o número associado a esse extremo pertence ao intervalo.
A bolinha vazia (
) no extremo de um intervalo indica que o número associado a esse extremo não pertence ao intervalo.
Usaremos sempre a denominação “aberto” no (( e no ((.
Ex.: 
(a) O conjunto A = {x ( R | 3 ( x ( 5} é o intervalo fechado de extremos 3 e 5, ou seja, [3, 5]. Sua representação no eixo real é:
(b) O conjunto B = {x ( R | -1 < x < 4} é o intervalo aberto de extremos -1 e 4, ou seja, ]-1, 4[. Sua representação no eixo real é:
(c) O conjunto B = {x ( R | 
 < x ( 
} é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos 
 e 
, ou seja, ] 
, 
]. Sua representação no eixo real é:
 
 
Operações com intervalos reais
Os intervalos reais são conjuntos e, portanto, podemos efetuar com eles qualquer uma das operações entre conjuntos: união, intersecção, etc...
Ex.:
Dados os intervalos A = [3, 8] e B = ]5, 10], determinar:
I) A ( B II) A ( B
I) Para visualizarmos a intersecção de A e B, consideremos três eixos reais paralelos, de modo que qualquer reta perpendicular aos três eixos os intercepte em pontos de abscissas iguais. Feito isso, representamos A no primeiro eixo, B, no segundo e A ( B, no terceiro: 
 A
 B 
 A ( B
Logo, A ( B = ]5, 8].
II) Para visualizarmos a união de A e B, procedemos de forma análoga, representando A no primeiro eixo, B, no segundo e A ( B, no terceiro: 
 A
 B 
 A ( B
Logo, A ( B = [3, 10]
Dados os intervalos A = [-1, 6] e B = ]4, 9], determinar:
I) A – B II) B – A 
I) 
 A
 B 
 A – B 
Logo, A – B = [-1, 4].
II) 
 A
 B 
 B – A 
Logo, B – A = ]6, 9]
Resolver em R o sistema de inequações: 
O conjunto solução S do sistema é a intersecção dos conjuntos-solução das inequações do sistema:
Representando os conjuntos-solução de (I) e (II) no eixo real e efetuando a intersecção, temos:
 (I)
 (II)
 (I ( II) 
Logo, S = (I ( II) = [1, 7]
PLANO CARTESIANO
Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
O principal objetivo de um sistema de coordenadas é determinar um ponto através de um conjunto de informações.
Para se deterninar um ponto de um plano, podemos fixar nesse plano dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O:
	esse sistema de eixos é conhecido como sistema cartesiano ortogonal de coordenadas;
o plano que contém esse sistema é chamado de plano cartesiano;
o ponto O é a origem do sistema;
os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados, são respectivamente o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;
os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões
	
 denominadas de quadrantes, que devem ser enumeradas conforme a figura 
 acima.
Nota:
Os pontos dos eixos coordenados não pertencem a nenhum dos quadrantes.
Coordenadas de um ponto no plano cartesiano
Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P sobre um dos eixos Ox ou Oy a intersecção desse eixo com a perpendicular a ele, traçada por P.
	
P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox;
P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy;
Dizemos que as coordenadas do ponto P são: a abscissa do ponto P’ e a ordenada do ponto P’’.
	
Ex.:
	
Os números 5 e 4 são as coordenadas do ponto P, sendo 5 a abscissa e 4 a ordenada;
Os números 4 e 5 são as coordenadas do ponto Q, sendo 4 a abscissa e 5 a ordenada;
Note que os pontos P e Q são diferentes. Assim sendo necessitamos uma notação para diferenciar as coordenadas 5 e 4 das coordenadas 4 e 5.
	
A distinção entre coordenadas será feita através do conceito de par ordenado.
Par ordenado
Para indicarmos que um ponto P possui abscissa a e ordenada b, usaremos a notação P(a, b). O símbolo (a, b) é chamado de “par ordenado”.
Assim sendo, quando indicamos:
P(5, 4), estamos dizendo que a abscissa de P é 5 e a ordenada é 4;
Q(4, 5), estamos dizendo que a abscissa de Q é 4 e a ordenada é 5.
Ex.:
	
A(3, 6)
B(4, 0)
C(0, -5)
	
Notas:
Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero.
Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero.
Indicando os quadrantes 1o, 2o, 3o e 4o, respectivamente, por I Q, II Q, III Q e IV Q, temos:
	
P(a, b) ( I Q ( a > 0 e b > 0;
P(a, b) ( II Q ( a < 0 e b > 0;
P(a, b) ( III Q ( a < 0 e b < 0;
P(a, b) ( IV Q ( a > 0 e b < 0;
Ex.:
O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas;
O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas;
O ponto C(3, 4) pertence ao I Q;
O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q;
O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q;
O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q.
2.1. Propriedade fundamental dos pares ordenados
Para que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) de números reais sejam iguais, devem estar associados ao mesmo ponto do plano cartesiano. Para que isso ocorra, devemos ter:
(a, b) = (c, d) ( 
Ex.: (x, 4) = (7, y) ( 
RELAÇÃO
Conceituação
Um meteorologista, para analisar a variação de temperaturanuma determinada região, durante sete dias, enumerou os dias de 1 a 7 e registrou em cada dia a temperatura média, obtendo assim a seguinte tabela:
	Dia
	Temperatura (oC)
	1
	18
	2
	19
	3
	16
	4
	16
	5
	16
	6
	13
	7
	15
Usando a linguagem matemática, podemos dizer que o cientista estabeleceu uma relação do conjunto de dias A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas das temperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}, associando a cada dia a temperatura média correspondente. Essa relação pode ser representada por um dos três modos apresentados a seguir.
Diagrama de flechas
	
 A R B
Gráfico cartesiano
	
Conjunto de pares ordenados
R = {(1, 18), (2, 19), (3, 16), (4, 16), (5, 16), (6, 13), (7, 15)}
O primeiro elemento de cada par ordenado pertence ao conjunto A (dos dias) e o segundo elemento pertence ao conjunto B (das medidas de temperatura).
Veremos que R é um subconjunto do produto cartesiano A
B.
Definição: Dados dois conjuntos A e B, chama-se de “relação R de A em B” todo subconjunto do produto cartesiano A
B.
Se (x, y) ( R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R.
Ex.:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 6, 10}, determinar cada um dos conjuntos seguintes:
o produto cartesiano A
B;
O produto cartesiano A
B é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), tal que x ( A e y ( B. Assim, temos:
A
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 10),
 (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10),
 (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 10)}
a relação R1 de A em B, dada por R1 = {(x, y) ( A X B | y = 2x};
R1 é o subconjunto de A
B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) de cada par é o dobro do primeiro elemento (x). Assim:
	
 A B
	
a relação R2 de A em B, dada por R2 = {(x, y) ( A
B | y < x};
R2 é o subconjunto de A
B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) de cada par é menor do que o primeiro elemento (x). Assim, temos:
	
 A B
	
Domínio e imagem de uma relação
2.1. Conceituação
Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir:
	
 A B
Os conjuntos A e B são denominados respectivamente de conjunto de partida (CP) e contradomínio (CD) da relação R.
Chama-se domínio da relação R e indica-se por D(R) ao conjunto:
D(R) = {1, 2, 3}.
Ou seja, D(R) é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com elementos de B, através de R.
Chama-se conjunto imagem da relação R e indica-se por Im(R) ao conjunto:
Im(R) = {9, 10, 12, 15}
Ou seja, Im(R) é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados com elementos de A, através de R.
De maneira geral, temos:
Se R é uma relação de A em B, então:
A é chamado de conjunto de partida da relação R;
B é chamado de contradomínio da relação R;
chama-se domínio da relação R ao conjunto D(R) = {x ( A | (x, y) ( R};
chama-se imagem ou conjunto imagem da relação R ao conjunto Im(R) = {y ( B | (x, y) ( R};
Assim sendo, temos:
	
 A B
Ex.:
Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y) ( A X B | y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R.
	
 A B
D(R) = {-2, -1, 0, 1, 2} e Im(R) = {-6, -3, 0, 3, 6}.
Referências:
PAIVA, Manoel, Matemática, vol. 1, São Paulo: Moderna, 1a ed., 1999.
BIANCHINI, Edwaldo, PACCOLA, Herval, Matemática, vol. 1, São Paulo: Moderna, 2a ed., 1996.
b
a
a
b
b
a
b
a
a
a
a
a
3
5
4
-1
3
8
5
10
5
8
3
8
5
10
10
3
6
-1
4
9
-1
4
6
-1
4
9
6
9
7
1
7
1
y
x
O
III Q
(3o quadrante)
IV Q
(4o quadrante)
II Q
(2o quadrante)
I Q
(1o quadrante)
x
(abscissas)
y
(ordenadas)
P’’
P’
P
O
y
5
4
4
5
x
P
Q
0
-5
B
C
A
6
3
4
x
0
15
13
16
19
18
7
6
4
5
3
2
1
y = 2x
10
6
4
2
1
3
2
1
y < x
10
6
4
2
1
3
2
1
6
5
4
3
2
1
18
15
12
10
R
9
CP
Im(R)
D(R)
CD
R
18
15
12
10
9
6
4
5
3
2
1
conjunto de partida
contradomínio
R
12
-3
6
3
0
-6
3
1
2
0
-1
-2
�PAGE �
�PAGE �35�
_1059125660.unknown
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_1059125653.unknown
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_1059125651.unknown
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