C3 UnB cal3na 20

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 20∗
Domı´nios Rxy, Rxz e Ryz
A integral dupla sobre um domı´nio D ⊂ R2 pode ser calculada no caso em que D e´
a regia˜o entre os gra´ficos de func¸o˜es de uma varia´vel. Analogamente, para um domı´nio
Q ⊂ R3, espera-se que a integral tripla possa ser calculada no caso em que Q e´ a regia˜o entre
os gra´ficos de func¸o˜es de duas varia´veis. E esse e´ de fato o caso, como sera´ visto a seguir.
Primeiro Exemplo
Considere o so´lido Q no primeiro octante limitado pelo
plano P de equac¸a˜o 2x + 5y + z = 10, conforme figura ao
lado, e com densidade constante δ0.
O plano P intercepta o plano Oxy ao longo da reta
2x + 5y = 10. Indicando por D o triaˆngulo no plano Oxy
limitado por essa reta e pelos eixos, o so´lido Q pode ser des-
crito como a regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es zi : D → R,
com i = 1, 2, onde z1(x, y) = 0 e z2(x, y) = 10−2x−5y. De
fato, com essa notac¸a˜o Q pode ser descrito como
Q = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}.
5
2
10
2x+ 5y = 10
D
z2(x, y)
Por esse motivo a regia˜o Q e´ dita da forma Rxy, em que a variac¸a˜o de z depende das
varia´veis independentes (x, y).
Como Q tem densidade constante, e e´ fa´cil calcular seu volume, e´ fa´cil tambe´m cal-
culara a sua massa M , e isso sem integrais. Mas, para o ca´lculo do centro de massa, a
integral e´ inevita´vel. Por exemplo, a coordenada x do centro de massa seria dada por
x = 1
M
∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz caso ja´ se soubesse calcular integrais triplas sobre Q.
O problema fica enta˜o reduzido a saber como calcular essas integrais. Nesse sentido, e´
claro que e´ importante usar o que ja´ se sabe para integrais triplas sobre paralelep´ıpedos.
5 2
10
Considere enta˜o o paralelep´ıpedo Q̂ = [0, 5]×[0, 2]×[0, 10],
como ilustra a figura, e com densidade δ̂ : Q̂→ R dada por
δ̂(x, y, z) =
{
δ0, se (x, y, z) ∈ Q
0, se (x, y, z) 6∈ Q
E´ claro que Q ⊂ Q̂. Ale´m disso, eles teˆm a mesma densi-
dade nos pontos em comum, e a densidade de Q̂ se anula fora
de Q. Assim, os dois so´lidos teˆm as mesmas propriedades.
A diferenc¸a e´ que, sendo um paralelep´ıpedo, ja´ se sabe como
calcular integrais triplas sobre Q̂.
Como os momentos de massa de Q e Q̂ sa˜o os mesmos, define-se por exemplo o momento
de massa de Q em relac¸a˜o ao plano Oyz como sendo∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz =
∫∫∫
Q̂
x δ̂(x, y, z) dxdydz
em que a integral do lado direito pode ser calculada como segue.
∗Texto digitado e diagramado por Ange´lica Lorrane a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Indique por D̂ = [0, 5]× [0, 2] a base de Q̂, e observe que a base D do so´lido Q e´ tal que
D ⊂ D̂. Ale´m disso, com o auxilio da figura acima, e´ fa´cil ver que a densidade se anula na
regia˜o fora de D, e essa regia˜o pode ser desconsiderada na integral. Usando enta˜o integrais
iteradas, o que pode ser feito no paralelep´ıpedo Q̂, da´ı segue-se que∫∫∫
Q̂
x δ̂(x, y, z) dxdydz =
∫∫
D̂
(∫ 10
0
x δ̂(x, y, z)dz
)
dxdy =
∫∫
D
(∫ 10
0
x δ̂(x, y, z)dz
)
dxdy
Na integral interna do lado direito, para cada (x, y)∈D
fixo, z varia de 0 a 10, passando pelo gra´fico da func¸a˜o
z2(x, y) = 10 − 2x− 5y. Mas a densidade tambe´m se anula
se z > z2(x, y), conforme ilustra a figura, e da´ı segue-se que∫∫∫
Q̂
x δ̂(x, y, z) dxdydz =
∫∫
D
(∫ 10
0
x δ̂(x, y, z)dz
)
dxdy
=
∫∫
D
(∫ z2(x,y)
0
x δ̂(x, y, z)dz
)
dxdy
5 2
10
z2(x, y)
Finalmente, a u´ltima integral do lado direito so´ inclui pontos da regia˜o Q, onde a densi-
dade δ̂ e´ constante e igual a δ0. Chega-se assim a` conclusa˜o de que∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz =
∫∫∫
Q̂
x δ̂(x, y, z) dxdydz
=
∫∫
D
(∫ z2(x,y)
0
x δ̂(x, y, z)dz
)
dxdy
=
∫∫
D
(∫ z2(x,y)
0
x δ0 dz
)
dxdy
O resultado final e´ que, sendo Q uma regia˜o Rxy da forma
Q = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}.
as integrais sobre essa regia˜o podem ser calculadas iteradamente como∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz =
∫∫
D
(∫ z2(x,y)
z1(x,y)
x δ0 dz
)
dxdy
Perfeito! Agora ja´ se pode calcular as integrais necessa´rias para se obter o centro de
massa. Lembrando da expressa˜o de z2(x, y) = 10− 2x− 5y, obte´m-se que∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz =
∫∫
D
(∫ z2(x,y)
0
x δ0 dz
)
dxdy = δ0
∫∫
D
x(10− 2x− 5y) dxdy
Ja´ o domı´nio D, limitado pelos eixos e pela reta 2x+5y = 10, pode ser descrito na forma
Rx como D = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ (10− 2x)/5}, e da´ı segue-se que∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz = δ0
∫∫
D
x(10− 2x− 5y) dxdy
= δ0
∫ 5
0
(∫ (10−2x)/5
0
x(10− 2x− 5y) dy
)
dx =
2
5
δ0
∫ 5
0
x(5− x)2 dx = 125
6
δ0
Ca´lculo III Notas da Aula 20 2/6
Finalmente, como o volume de Q e´ dado por
V = (a´rea da base×altura)/3 = 50/3, segue-se que a massa
e´ M = δ0V = 50δ0/3 e a coordenada x e´ dada por
x =
1
M
∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz =
3
50
125
6
=
5
4
Ca´lculos ana´logos mostram que y = 1/2 e z = 5/2. A figura
ao lado ilustra a posic¸a˜o relativa do centro de massa. Veja
que, em raza˜o da geometria do so´lido, o centro de massa esta´
mais pro´ximo da origem do que se podia imaginar de in´ıcio.
Caso Geral
O caso geral segue de perto as ideias introduzidas acima.
De fato, uma regia˜o Q ⊂ R3 e´ dita na forma Rxy se existe
um domı´nio D ⊂ R2 e func¸o˜es zi : D → R, i = 1, 2, tais que
Q pode ser descrita na forma
Q = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}
A figura ao lado ilustra a definic¸a˜o. Abreviadamente
diz-se que Q e´ uma regia˜o entre dois gra´ficos.
E´ claro que na˜o ha´ nada de muito especial em relac¸a˜o a`s
coordenadas x e y, e definic¸o˜es ana´logas valem para regio˜es
da forma Rxz e Ryz. A regra e´ que o sub´ındice indica as
varia´veis independentes, e a outra e´ a varia´vel dependente.
y
x
z1(x, y)
z2(x, y)
D
Considere agora a questa˜o de definir o que seja a integral de uma func¸a˜o f : Q → R.
Para isso escolhe-se um paralelep´ıpedo Q̂ = [a1, a2]× [b1, b2]× [c1, c2] de modo que Q ⊂ Q̂ e
defini-se uma nova func¸a˜o f̂ : Q̂→ R por
f̂(x, y, z) =
{
f(x, y, z), se (x, y, z) ∈ Q
0, se (x, y, z) 6∈ Q
E´ claro que f e f̂ possuem as mesmas propriedades, com a diferenc¸a de que f̂ esta´
definida em um paralelep´ıpedo. Como ja´ se sabe como calcular integrais em paralelep´ıpedos,
faz sentido a definic¸a˜o
Definic¸a˜o 1. A func¸a˜o f e´ integra´vel sobre Q se f̂ for integra´vel sobre Q̂ e, nesse caso,∫∫∫
Q
f(x, y, z) dxdydz =
∫∫∫
Q̂
f̂(x, y, z) dxdydz
O pro´ximo resultado e´ bastante razoa´vel e a sua demonstrac¸a˜o segue essencialmente os
mesmos passos apresentados na sec¸a˜o anterior.
Teorema 1. Se Q ⊂ R3 e´ da forma Rxy e f : Q → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua, enta˜o f e´
integra´vel sobre Q e, ale´m disso,∫∫∫
Q
f(x, y, z) dxdydz =
∫∫
D
(∫ z2(x,y)
z1(x,y)
f(x, y, z) dz
)
dxdy
Analogamente para os casos em que Q e´ da forma Rxz ou Ryz.
Ca´lculo III Notas da Aula 20 3/6
Esse teorema e´ uma o´tima not´ıcia, pois diz que uma integral tripla pode ser reduzida a
uma integral dupla por meio de uma integral iterada. E´ de se esperar que esse padra˜o valha
para dimenso˜es maiores, e pode-se imaginar que uma integral em quatro dimenso˜es possa
ser reduzida a uma integral tripa por meio de uma integral iterada! Argumentos como esse
sa˜o muito usados em Estat´ıstica, onde o nu´mero de varia´veis em geral e´ grande.
Uma vez definida a integral, todas as aplicac¸o˜es associadas a ela seguem naturalmente.
Por exemplo, e´ claro que o volume de Q e´ a integral V =
∫∫∫
Q
dxdydz. Tambe´m pode ser
calculada a me´dia, ou mesmo a me´dia ponderada, de func¸o˜es definidas em Q. Os pro´ximos
exemplos ilustram essas propriedades.
Exemplo 1. Calcule o centro de massa do hemisfe´rio Q supondo densidade constante δ0,onde Q = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 ≤ R2 e z ≥ 0} com raio R > 0.
D
R/2
Soluc¸a˜o. Indicando por D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ R2}
o disco de raio R, e´ claro que o hemisfe´rio e´ a regia˜o entre
os gra´ficos das func¸o˜es zi : D → R, onde z1(x, y) = 0 e
z2(x, y) =
√
R2 − x2 − y2. Logo, Q e´ uma regia˜o Rxy e
pode ser descrita como
Q = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤
√
R2 − x2 − y2}
Em relac¸a˜o ao centro de massa (x, y, z), como o hemisfe´rio tem densidade constante, e´
claro que x = y = 0. Ja´ em relac¸a˜o a z, como o hemisfe´rio tem uma maior quantidade de
massa abaixo do plano z = R/2, espera-se que z < R/2. Veja a figura acima. E, de fato,
calculando o momento de massa Mxy em relac¸a˜o ao plano Oxy, obte´m-se que
Mxy =
∫∫∫
Q
z δ0 dxdydz = δ0
∫∫
D
(∫ √R2−x2−y2
0
z dz
)
dxdy
=
1
2
δ0
∫∫
D
(R2 − x2 − y2) dxdy
Ora! Ja´ se conhece as mudanc¸as de coordenadas para as integrais duplas.
Usando enta˜o as coordenadas polares segue-se que
Mxy =
1
2
δ0
∫∫
D
(R2 − x2 − y2) dxdy
=
1
2
δ0
∫ 2pi
0
(∫ R
0
(R2 − r2)r dr
)
dθ =
1
4
piR4δ0 D
R/2
z
Finalmente, como a massa do hemisfe´rio e´ M = 2
3
piR2δ0, a coordenada z e´ igual a
z = Mxy/M =
3
8
R. Como 3
8
< 4
8
= 1
2
, a expectativa inicial, de que o centro de massa estaria
abaixo da metade do raio, estava correta. Veja a figura acima. �
Exemplo 2. Calcule o centro de massa do cone Q de raio da base R > 0, altura H > 0 e
densidade constante δ0 > 0.
Soluc¸a˜o. Novamente, e´ claro que o cone e´ a regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es z1(x, y) =
H
R
√
x2 + y2 e z2(x, y) = H definidas no disco D de raio R. Veja a figura abaixo. Assim, o
cone e´ uma regia˜o Rxy e pode ser descrita na forma
Q = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e H
R
√
x2 + y2 ≤ z ≤ H}
Como no caso do hemisfe´rio, por simetria e´ claro que x = y = 0.
Ca´lculo III Notas da Aula 20 4/6
z1
z2
D
O ca´lculo da coordenada z e´ mais interessante. Calculando o
momento de massa Mxy em relac¸a˜o ao plano Oxy, obte´m-se que
Mxy =
∫∫∫
Q
z δ0 dxdydz = δ0
∫∫
D
(∫ H
H
R
√
x2+y2
z dz
)
dxdy
=
δ0
2
H2
R2
∫∫
D
(R2 − x2 − y2) dxdy
Em seguida, usando mais uma vez as coordenadas polares, segue-se que
Mxy =
δ0
2
H2
R2
∫∫
D
(R2 − x2 − y2) dxdy
=
δ0
2
H2
R2
∫ 2pi
0
(∫ R
0
(R2 − r2)r dr
)
dθ =
1
4
piH2R2δ0
Como a massa do cone e´ M = 1
3
piR2Hδ0, a coordenada z e´ enta˜o igual a z =
Mxy
M
=
3
4
H .
A primeira observac¸a˜o e´ que z > H/2, o que esta´ de acordo
com o fato do cone ter uma maior quantidade de massa acima
do plano z = H/2. Veja a figura ao lado.
A segunda observac¸a˜o e´ bastante curiosa: z na˜o depende do
raio R! De outra forma, e olhando novamente a figura ao lado, a
altura z na˜o se altera com a mudanc¸a do raio.
Assim, fixada a altura H , chega-se a` conclusa˜o surpreendente
de que z = z(R) e´ uma func¸a˜o descont´ınua da varia´vel R!
H/2
z
R
De fato, o caso em que R = 0 corresponde ao de um fio homogeˆneo de comprimento H ,
cujo centro de massa e´ H/2, e portanto z(0) = H/2. Assim, a func¸a˜o z(R) e´ dada por
R
z
H
2
3H
4
z(R) =

3
4
H, se R > 0
1
2
H, se R = 0
O gra´fico desta func¸a˜o esta´ ilustrado ao lado, e esse e´ mesmo
um fato surpreendente. �
Exemplo 3. Calcule o centro de massa do so´lido Q de densidade δ0 que e´ limitado pelas
superf´ıcies y = 4− x2, y = 2− x, z = 4 + x2 e z = 0.
Soluc¸a˜o. O primeiro passo e´ descrever o so´lido em uma das treˆs formas poss´ıveis. Para isso
observe que a equac¸a˜o y = 4−x2, que corresponde a uma para´bola no plano Oxy, no espac¸o
corresponde a um cilindro parabo´lico, como ilustra a Fig.1 a seguir. Da mesma forma para
as equac¸o˜es y = 2− x e z = 4 + x2, que correspondem a`s Fig.2 e Fig.3.
Fig.1 Fig.2 Fig.3
x
y
z
Ca´lculo III Notas da Aula 20 5/6
A partir das Fig.1 e Fig.2 percebe-se que as duas superf´ıcies determinam uma regia˜o no
plano Oxy, regia˜o que esta´ ilustrada na Fig.4 abaixo. Indicando por D essa regia˜o, ela pode
ser descrita como segue: as curvas y = 2 − x e y = 4 − x2 se interceptam nos pontos de
abscissas x = −1 e x = 2; como a reta esta´ abaixo da para´bola no intervalo [−1, 2], segue-se
que D e´ da forma D = {(x, y) ∈ R2; −1 ≤ x ≤ 2 e 2− x ≤ y ≤ 4− x2}. Veja a Fig.5
Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6
−1x
2
2− x
4− x2
D
Finalmente, acrescentando a superf´ıcie z = 4+ x2, o so´lido Q tem o aspecto ilustrado na
Fig.6, e pode ser descrito na forma Rxy por
Q = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤ 4 + x2}
Pronto! Com essa descric¸a˜o a massa do so´lido e´ dada por
M =
∫∫∫
Q
δ0 dxdydz =
∫∫
D
(∫ 4+x2
0
δ0 dz
)
dxdy = δ0
∫∫
D
(4 + x2) dxdy
= δ0
∫ 2
−1
(∫ 4−x2
2−x
(4 + x2) dy
)
dx = δ0
∫ 2
−1
(4 + x2)(2 + x− x2) dx = 423
20
δ0
O restante dos ca´lculos e´ semelhante, e um pouquinho
trabalhoso. Por exemplo,
x =
1
M
∫∫∫
Q
x δ0 dxdydz =
1
M
∫∫
D
(∫ 4+x2
0
x δ0 dz
)
dxdy
=
1
M
δ0
∫ 2
−1
x(4 + x2)(2 + x− x2) dx = 252
423
≈ 0, 5957
Da mesma forma para as outras coordenadas, cujos valo-
res sa˜o y ≈ 2, 2796 e z ≈ 2, 4225. A figura ao lado ilustra a
posic¸a˜o do centro de massa, e de la´ percebe-se que os ca´lculos
esta˜o bastante razoa´veis. �
Ca´lculo III Notas da Aula 20 6/6