Cálculo 3 Lista 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 Lista 2 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere a chapa D limitada pela elipse x2 − xy + y2 = 2, conforme figura, e su-
ponha que D tenha densidade δ(x, y) = x2 − xy + y2. Indique por M a massa e por
C = (x, y) o centro de massa de D. Escolhendo a > 0 e b > 0 apropriados, a mudanc¸a
(x, y)=g(u, v)=(au− bv, au+ bv) transforma D em um disco unita´rio D̂ nas varia´veis u e v.
C E a) O jacobiano Jg(u, v) na˜o depende das varia´veis u e v.
C E b) Nas novas varia´veis tem-se que
M =
∫∫
D̂
(a2u2 + 3b2v2) dudv.
C E c) As escolhas apropriadas sa˜o a =
√
2/3 e b =
√
2.
C E d) Calculando obte´m-se que M > 2pi.
C E e) O centro de massa e´ tal que x > y.
x
y
2) Seja D ⊂ R2 a chapa no primeiro quadrante limitada pelas para´bolas y = x2, y = 8x2 e
pelas hipe´rboles xy = 1, xy = 27, e com densidade δ(x, y) = (y/x2)1/3 kg/m2. Definindo as
varia´veis u > 0 e v > 0 tais que x = u/v e y = u2v, obte´m-se uma mudanc¸a de varia´veis
g : D̂ → D, onde D̂ e´ tal que g(D̂) = D.
O
a) Esboce a chapa D no espac¸o ao lado, indicando as
coordenadas dos pontos de intersec¸a˜o de todas as curvas
que limitam a regia˜o.
b) Do item anterior, obtenha a e b tais que a ≤ y ≤ b para
todo (x, y) ∈ D.
Resposta:
c) Descreva do domı´nio D̂.
Resposta:
d) Calcule a massa M de D.
Resposta:
e) Calcule agora a coordenada y do centro de massa de D e verifique se o resultado esta´
de acordo com aqueles do item b).
Resposta:
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3) Em um sistema Oxy em que o Sol esta´ na origem O, indique por P (t) = (x(t), y(t)) a
posic¸a˜o da Terra no tempo t, e por x(t) = r(t) cos(θ(t)) e y(t) = r(t) sen(θ(t)) as coordenadas
polares de P (t). Indique ainda por A(α) a a´rea varrida pelo raio vetor da Terra entre os
aˆngulos 0 e α, conforme figura. Como a gravidade e´ uma forc¸a central, pode-se mostrar que
o momento angular e´ conservado, isto e´, que r2(t)θ′(t) = K, onde K 6= 0 e´ uma constante.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a func¸a˜o θ = θ(t) possui inversa
t = t(θ), e portanto o raio r(t) pode ser expresso em func¸a˜o
do aˆngulo θ, isto e´, r(t) = r(t(θ)) = r(θ).
b) Usando as varia´veis r e θ, obtenha a expressa˜o da func¸a˜o A(α)
em termos de uma integral no intervalo [0, α].
c) Supondo que α = θ(t), obtenha a expressa˜o da comporta
A(α) = A(θ(t)).
θ
α
r
x
y
d) A func¸a˜o A(t) = A(θ(t)) fornece a a´rea varrida pelo raio vetor em termos do tempo t.
Calcule a derivada A′(t) dessa func¸a˜o.
e) Usando o item anterior, conclua que A(t) pode ser expressa apenas em termos dos
dados fornecidos no enunciado. Em seguida, use essa expressa˜o para demonstrar a
2a Lei de Kepler: o raio vetor da Terra varre a´reas iguais em tempos iguais.
4) Um modelo simplificado para estimar o volume de um lago e´ assumir que a sua superf´ıcie
seja limitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 e que a profundidade em cada ponto (x, y) da superf´ıcie
seja dada pela func¸a˜o p(x, y) = H cos
(
pi
2
√
x2
a2
+ y
2
b2
)
, em que H e´ a profundidade ma´xima.
Uma vez estimado o volume, a profundidade me´dia e´ a raza˜o entre o volume e a a´rea da
superf´ıcie do lago.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma integral dupla.
a b
b) Use uma mudanc¸a de varia´veis para transformar
a integral do item anterior em uma integral sobre
um disco de raio um.
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
d) Calcule a a´rea da superf´ıcie do lago.
e) Verifique que a altura me´dia do lago e´ independente das constantes a e b.
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