AL_MÓDULO_02

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MATEMÁTICA-III 
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO-02
MATRIZES
2.1-MATRIZ ⇒ é um quadro com m linhas e n
colunas.
MATRIZES
 
............. 
................................
................................
............... 
............... 
nm21
22221
11211
×










=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
MATRIZ ⇒ A
Elementos ⇒ aij i ⇒ linha j ⇒ coluna
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 1 MANUEL
 
6 5
4 1
22×


=A
EXEMPLOS
ORDEM DE A ⇒ 2 × 2 ⇒ 2 LINHAS × 2 COLUNAS
 
3 6 2
7 4 1
32×


=B
ORDEM DE B ⇒ 2 × 3 ⇒ 2 LINHAS × 3 COLUNAS
MATRIZES
a11 = 1 a12 = 4 a21= 5 a22= 6 
a33 = não existe
b11 = 1 b12 = 4 b13= 7
b21 = 2 b22 = 6 b23= 3 
b31 = não existe 
 
3 6 2
7 4 1
32×


=B
MATRIZES
MATRIZ RETANGULAR
NÚMERO DE LINHAS ≠ NÚMERO DE COLUNAS 
MATRIZ COLUNA ⇒ uma COLUNA ⇒ 
7
5
1
13×







=A
MATRIZ LINHA ⇒ uma LINHA ⇒ [ ] 31 7 3 1 ×=B
⇒ 2 LINHAS 3 COLUNAS
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 2 MANUEL
 
9 1 8
3 6 5
7 4 1
33×







=A
MATRIZES
2.2- MATRIZ QUADRADA 
NÚMERO DE LINHAS = NÚMERO DE COLUNAS
DIAGONAL PRINCIPAL ⇒ 1 6 9 
DIAGONAL SECUNDÁRIA⇒ 7 6 8 
MATRIZES
MATRIZ DIAGONAL








=
9 0 0
0 2 0
0 0 1
A
MATRIZ ESCALAR








=
5 0 0
0 5 0
0 0 5
A
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 3 MANUEL
MATRIZES
MATRIZ UNIDADE / UNITÁRIA


=
1 0
0 1
2I








=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3I
PROPRIEDADES
É QUADRADA !
An×n × In = In × An×n = A
ANALOGIA 
4×1 = 1×4 = 4
6×1 = 1×6 = 6
MATRIZES
EXEMPLOS
 
6 5
4 1
 
1 0
0 1
6 5
4 1
222222 ×××


=

×


333333 9 1 8
3 6 5
7 4 1
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
9 1 8
3 6 5
7 4 1
×××








=








×








ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 4 MANUEL
MATRIZES
2.3- IGUALDADE DE MATRIZES
324 7 1
8 3 2
×


=A
324 7 1
8 3 2
×


=B
A = B ⇒ Os elementos correspondentes são iguais ! 
324 7 1
8 3 2
×


=A
331 9 2
4 7 1
8 3 2
×








=B
A ≠ B ⇒ Os elementos correspondentes não são iguais ! 
MATRIZES
2.4- ADIÇÃO DE MATRIZES
236 5
4 3
2 1
×








=A
234 1
3- 4
0 2
×








=B C = A + B
2310 6
1 7
2 3
46 15
34 43
0+2 21
×








=








++
−+
+
=+= BAC
SÓ PODEMOS SOMAR MATRIZES DE MESMA ORDEM !
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 5 MANUEL
MATRIZES
2.5- PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR
Seja λ = 2 A = 


2 4
-5 1



−=

×=×
2 10
8 4 
1 5-
4 2 
2Aλ
MATRIZES
2.6- PRODUTO DE MATRIZES
221 2
2 1
×


=A
222 4
3 1
×


=B 222222 ××× ×= BAC



×+××+×
×+××+×=

×


 2132 4112
2231 4211
 2 4
3 1
1 2
2 1
228 6
7 9
×


=C PRODUTO ESCALAR DE LINHA POR COLUNA !
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 6 MANUEL
MATRIZES
O PRODUTO DE MATRIZES SÓ É POSSÍVEL QUANDO:
O NÚMERO DE COLUNAS DA PRIMEIRA É
IGUAL AO NÚMERO DE LINHAS DA SEGUNDA !
2332 ×× ×BA
3442 ×× ×BA
3112 ×× × BA
2432 ×× ×BA
1412 ×× × BA
2322 ×× × BA
OK NOK
OK
OK
NOK
NOK
COMUTATIVIDADE DO PRODUTO DE MATRIZES
222332 ××× =× CBA
333223 ××× =× CAB
323442 ××× =× CBA
=× ×× 4234 AB NÃO EXISTE !
O PRODUTO DE MATRIZES NÃO É COMUTATIVO !
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 7 MANUEL
MATRIZES
OBSERVAÇÕES
1- Se I é uma matriz unidade de ordem n e A é uma
matriz quadrada de ordem n, então ⇒ A × I = I × A = A
2- Se A é uma matriz quadrada e a matriz B satisfaz a
condição A × B = B × A = I a matriz B é chamada
INVERSA de A e é representada por A-1.
Assim: A × A-1 = A-1 × A = I
Se a matriz A admite uma inversa, então a inversa é
ÚNICA.
MATRIZES
2.7- MATRIZ TRANSPOSTA
NOTAÇÃO ⇒ AT ou A’
236 5
4 3
2 1
×








=A
326 4 2
 5 3 1
×


=TA
TROCA AS LINHAS PELAS COLUNAS DE MESMO ÍNDICE 
335 3 7
 1 8 2
9 7 1
×








=B
335 1 9
3 8 7
 7 2 1
×








=TB
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 8 MANUEL
MATRIZES
2.8- MATRIZ ORTOGONAL
A MATRIZ A É ORTOGONAL SE AT = A-1 ⇒ A TRANSPOSTA É 
IGUAL A INVERSA !
335 0 0
 1 8 0
9 7 1
×








=A
2.9- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR E INFERIOR
336 3 7
 0 8 2
0 0 1
×








=A
SUPERIOR ⇒
INFERIOR ⇒
jiquandoA ji >= 0,
jiquandoA ji <= 0,
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA


=
5 3
2 1
A 

=
y 3
2 x
B
Achar os valores de x e y para que B seja a inversa de A.


=

×


1 0
0 1
 3
2 
5 3
2 1
y
x
Se B é a inversa de A então ⇒ A×B = I
A × B = I 
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 9 MANUEL
⇒ A×A-1 = I


=


+××+
+××+
1 0
0 1
5y23 353
221 32 
x
yx
Multiplicando as matrizes vem:
A × A-1 = I


=

×


1 0
0 1
 3
2 
5 3
2 1
y
x
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA


=


+××+
+××+
1 0
0 1
5y23 353
221 32 
x
yx


=


++
++
1 0
0 1
5y6 153
22 6 
x
yx
x + 6 = 1 ⇒ x = 1-6 ⇒ x = -5
3x + 15 = 0 ⇒ 3x = -15 ⇒ x = -15/3 ⇒ x = -5
2 + 2y = 0 ⇒ 2y = -2 ⇒ y = -2/2 ⇒ y = -1
6 + 5y = 1 ⇒ 5y = 1-6 ⇒ 5y = -5 ⇒ y = -5/5 ⇒ y= -1
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA
COMO AS MATRIZES SÃO IGUAIS PODEMOS IGUALAR OS
VALORES CORRESPONDENTES
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 10 MANUEL
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA


=
5 3
2 1
A 

=
1- 3 
2 5-
B


=


+
+=

×


1 0
0 1
5-6 1515-
2-2 6 5-
1- 3
2 5-
5 3
2 1



×+××+×
×+××+×=

×


-1523 355-3
-1221 32 -51
1- 3 
2 5-
5 3
2 1
MATRIZ INVERSA ⇒
VERIFICAÇÃO ⇒ A×A-1 = I
OK ! ⇒ B É A INVERSA DE A !
Segue o teu destino,
Rega as tuas plantas,
Ama as tuas rosas.
O resto é a sombra
De árvores alheias...
Fernando Pessoa 
Odes de Ricardo Reis
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_02 - MATRIZES 11 MANUEL