AL_MÓDULO_04

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MATEMÁTICA-III
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO-04
INVERSÃO DE MATRIZES
INVERSÃO E MATRIZES
4.1- MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz QUADRADA A de ordem n, se existir
um matriz QUADRADA B, de mesma ordem, que
satisfaça à condição: A.B = B.A = I, B é a INVERSA
de A e se representa por A-1.
A.A-1 = A-1.A = I
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_04 - INVERSÃO DE MATRIZES 1
4.2- MATRIZ SINGULAR
Uma matriz quadrada A cujo determinante é NULO é uma
matriz SINGULAR.
A =








1 4 7
2 5 8
3 6 9
INVERSÃO E MATRIZES


×+

×

×=








=
6 3
5 2
7
9 3
8 2
4 - 
9 6
8 5
1
9 6 3
8 5 2
7 4 1
)det(A
det A = 1 × (5 × 9 - 8 × 6) - 4 × (2 × 9 - 8 × 3) + 7 × (2 × 6 - 5 × 3)
det A = (45-48) - 4 × (-6) + 7 × (-3)
det A = -3 + 24 - 21 ⇒ det A = 0 ⇒ A é uma Matriz Singular !
Desenvolvendo pela 1ª linha, vem:
A MATRIZ SINGULAR NÃO TEM INVERSA !
INVERSÃO DE MATRIZES - MÉTODO DA MATRIZ INVERSA


=
4 7
5 9
A 

=
9 m
n 4
B
Achar os valores de m e n para que B seja a inversa de A.


=

×

=×
1 0
0 1
9 
n 4
4 7
5 9
m
BA
Se B é a inversa de A então ⇒ A×B = I
A × B = I 
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_04 - INVERSÃO DE MATRIZES 2
INVERSÃO DE MATRIZES



++
++=


×+×
×++×=×
367 428
459 536
947 4+47
959 549
nm
nm
nm
nm
BA


=

×

=×
1 0
0 1
9 
n 4
4 7
5 9
m
BA


=


++
++=×
1 0
0 1
367 428
459 536
nm
nm
BA
36 + 5m = 1 ⇒ 5m = 1 - 36 ⇒ 5m = -35 ⇒ m = -35/5 ⇒ m = -7
28 + 4m = 0 ⇒ 4m = -28 ⇒ m -28/4 ⇒ m = -7
9n + 45 = 0 ⇒ 9n = -45 ⇒ n = -45/9 ⇒ n = -5
7n + 36 = 1 ⇒ 7n = 1-36 ⇒ 7n = -35 ⇒ n = -35/7 ⇒ n = -5
COMO AS MATRIZES SÃO IGUAIS PODEMOS IGUALAR OS
VALORES CORRESPONDENTES
INVERSÃO DE MATRIZES



−= 9 7
5- 4 
BTemos então ⇒
B É A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ A !


=


++
++=×
1 0
0 1
367 428
459 536
nm
nm
BA
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_04 - INVERSÃO DE MATRIZES 3
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA
=

×


9 7-
5- 4 
4 7
5 9
MATRIZ INVERSA ⇒
VERIFICAÇÃO ⇒ A×B = I
OK ! ⇒ B É A INVERSA DE A !


=
4 7
5 9
A 


−= 9 7
5- 4 
B


=


−
+−
1 0
0 1
36+35- 2828
4545- 3536



×+−×××
×+−×−×+×
94)5(7 (-7)4+47
95)5(9 )7(549
4.3- MATRIZ NÃO-SINGULAR
Uma matriz quadrada A cujo determinante é diferente de zero é
uma matriz NÃO SINGULAR.
INVERSÃO E MATRIZES
A MATRIZ NÃO-SINGULAR SEMPRE TEM INVERSA !
A =








2 3 1
5 2 2
3 1 3
det A = -20 ⇒ A é uma matriz não-singular.
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_04 - INVERSÃO DE MATRIZES 4
4.4- PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA
INVERSÃO E MATRIZES
P1. Se a matriz A admite inversa (det A≠0), esta inversa é
ÚNICA.
P2. Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1 também
é não-singular. A matriz inversa de A-1 é A.
P3. A matriz unidade I é não-singular (det I = 1) e ela é a
sua própria inversa.
P4- Se a matriz A é não-singular, sua transposta também
é não-singular. A matriz inversa de AT é (A-1)T.
P5- Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma
ordem, o produto A×B é uma matriz não singular. A matriz
inversa de A.B é a matriz B-1×A-1.
Não importa a cor do
gato, desde que ele
cace o rato...
DENG XIAOPING
GUANG'NA -1904 / PEQUIM -1997
鄧小平
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MÓDULO_04 - INVERSÃO DE MATRIZES 5
Nem todos os 1 bilhão e 300
milhões de chineses realizarão
os seus sonhos...
A diferença é que agora -
todos podem sonhar !
REPÚBLICA POPULAR DA
CHINA !
� 2º maior economia do mundo
� O país que mais forma
engenheiros.
� Consome ¼ de todo cimento
produzido no mundo !
� Previsão - 1ª economia do mundo
em 2020 !
� 5.000 anos de história !
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MÓDULO_04 - INVERSÃO DE MATRIZES 6