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Álgebra Linear II
Lista 4
1. Qual o polinômio caracteŕıstico da matriz identidade n×n? E qual o polinômio caracteŕıstico
da matriz nula n× n?
2. Seja V o R-espaço vetorial formado por todos os pares (a, b) de números reais tais que a é
arbitrário e b > 0. As operações de V são as seguintes:
(a, b) + (s, t) := (a+ s, bt)
λ(a, b) := (λa, bλ).
(a) Verifique que a função T : V → R2 dada por T (x, y) = (x− ln y, ln y) é um isomorfismo.
(b) Calcule explicitamente o isomorfismo inverso T−1 : R2 → V .
(c) Escolha uma base B para V e considere em R2 a base canônica C. Calcule a matriz
[T ]B,C.
3. Seja V como no exerćıcio 1 e defina S : V → V por S(x, y) = (x+ ln y, y2).
(a) Calcule o polinômio caracteŕıstico p(α) do operador linear S e determine os autovalores.
(b) Encontre uma base formada por autovetores de S. Uma matriz de S é semelhante a
qual matriz diagonal?
(c) Determine explicitamente a transformação linear ST−1, onde T−1 é a transformação
encontrada no item b) do exerćıcio 1.
4. Seja A uma matriz n× n. Verifique que A e At têm o mesmo polinômio caracteŕıstico.
5. Se o polinômio caracteŕıstico de uma matriz A de ordem n é
pA(λ) = λ
n + an−1λ
n−1 + · · ·+ a2λ
2 + a1λ.
Essa matriz tem inversa? Por que?
6. Sejam A e B matrizes quadradas. Verifique que AB e BA têm os mesmos autovalores. (Note
que AB não é igual a BA em geral, mas elas têm o mesmo determinante e o mesmo traço –
não necessariamente têm o mesmo posto.)
7. Em cada um dos itens abaixo, A representa a matriz da transformação linear T : F n → F n.
Calcule as multiplicidades algébricas e geométrica dos autovalores da matriz A em cada caso,
encontre uma base formada por autovetores quando a matriz A for diagonalizável.
1
(a) A =
(
0 −1
1 0
)
F = C, n = 2;
(b) A =


2 2 −1
1 0 1
2 −2 3

 F = R, n = 3;
(c) A =


1 2 −1
−2 −3 1
2 2 −2

 F = R, n = 3;
(d) A =


6 −3 −2
4 −1 −2
10 −5 −3

 F = C, n = 3;
8. Calcule os autovalores da matriz




−1 −4 −2 −2
−4 −1 −2 −2
2 2 1 4
2 2 4 1




.
9. Determine, se existir, uma matriz P invert́ıvel tal que P−1AP seja diagonal, onde A =
(
1 1
1 1
)
.
10. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que tem como autovetores (3, 1) e (−2, 1)
associados aos autovalores −2 e 3, respectivamente. Calcule a expressão geral de T (x, y).
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