AL_EX_02_SLIDES_PDF_GAB

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MATEMÁTICA-III
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO-02


=
4- 0 3
1 5- 2
A 

=
5 1- 0
3- 2- 1
B 

=
1- 1- 1
2- 1 0
C
1) SEJAM 
CALCULAR: 3A + 4B - 2C



12- 0 9
3 15 - 6 


20 4- 0
12- 8- 4



2- 2- 2
4- 2 0
+ -
3A + 4B - 2C



10 2- 7
5- 25- 10
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 1 MANUEL
2) Dadas as matrizes A, B e C achar:
A × B , A × C, AT × C e CT × A , onde:
326 4 0
3 1 2
×


=A
332 0 1
7 4 3
0 2 1
×








=B
134
0
1
×








=C
MULTIPLICAR MATRIZES É FAZER O PRODUTO
ESCALAR DE LINHA POR COLUNA !
MULTIPLICAR MATRIZES É FAZER O
PRODUTO ESCALAR DE LINHA POR
COLUNA !
LOGO...
PARA MULTIPLICAR MATRIZES
PRECISAMOS SABER...
PRODUTO ESCALAR !
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 2 MANUEL
PRODUTO ESCALAR FOI DEFINIDO E
AMPLAMENTE EXEMPLIFICADO E
EXERCITADO NO MÓDULO 1 !
EXEMPLOS
01- EXPORTAÇÃO DE BOLSAS E
CINTOS PARA O MERCADO EUROPEU.
02- CESTA DE AÇÕES NA BOLSA DE
VALORES.
2) Dadas as matrizes A, B e C achar:
A × B
326 4 0
3 1 2
×


=A
332 0 1
7 4 3
0 2 1
×








=B



6 4 0
3 1 2
=








2 0 1
7 4 3
0 2 1
L C
L C
3240 16 18
13 8 8
×



8133112 =×+×+×
18163410 =×+×+×
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 3 MANUEL
2) Dadas as matrizes A, B e C achar:
A × C
326 4 0
3 1 2
×


=A



6 4 0
3 1 2
L C
L C
1224
14
×



134
0
1
×








=C
=








4
0
1
14430112 =×+×+×
24460410 =×+×+×
2) Dadas as matrizes A, B e C achar:
AT × C
326 4 0
3 1 2
×


=A
L C L C
134
0
1
×








=C
236 3
4 1
0 2
×








=TA
134
0
1
×








=C NÃO EXISTE !
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 4 MANUEL
2) Dadas as matrizes A, B e C achar:
CT × A
326 4 0
3 1 2
×


=A
L C
L C
134
0
1
×








=C
[ ] 314 0 1 ×=TC
NÃO EXISTE !
326 4 0
3 1 2
×


=A


=
3 2
4 3
A
3) Achar os valores de x e y para que B seja a inversa de A.


=

×


1 0
0 1
3 
 x3
3 2
4 3
y
Se B é a inversa de A então ⇒ A×B = I
A × B = I 


=
3y 
 x3
B
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 5 MANUEL


=


×++×
×++×
1 0
0 1
332x 332
343x 433 
y
y
Multiplicando as matrizes vem:
A × A-1 = I


=

×


1 0
0 1
3 
 x3
3 2
4 3
y
9 + 4y = 1 ⇒ 4y = 1 - 9 ⇒ 4y = -8 ⇒ y = -8/4 y = -2
3x + 12 = 0 ⇒ 3x = -12 ⇒ x = -12/3 ⇒ x = -4
6 + 3y = 0 ⇒ 3y = -6 ⇒ y = -6/3 ⇒ y = -2
2x + 9 = 1 ⇒ 2x = 1 - 9 ⇒ 2x = -8 ⇒ x = -8/2 ⇒ x = -4
COMO AS MATRIZES SÃO IGUAIS PODEMOS IGUALAR OS
VALORES CORRESPONDENTES


=


++
++
1 0
0 1
92x 36
123x 49 
y
y
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 6 MANUEL
4) Calcular os determinantes das seguintes matrizes:








=
4 0 1
1 3 2
4 0 1
A
det A = 0 ⇒ TEM DUAS LINHAS IGUAIS !
4) Calcular os determinantes das seguintes matrizes:
1º PASSO⇒ REPETIR AS DUAS PRIMEIRAS COLUNAS !








=
5 0 4
1 2 0
6 3 1
B
















=
0 4
2 0
3 1
5 0 4
1 2 0
6 3 1
B
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 7 MANUEL
















=
0 4
2 0
3 1
5 0 4
1 2 0
6 3 1
B
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS
Det B = 1 × 2 × 5 + 3 × 1 × 4 + 6 × 0 × 0
- (6 × 2 × 4) - (1 × 1 × 0) - (3 × 0× 5) 
+ + +- - -
2º PASSO ⇒ MULTIPLICAR AS COLUNAS DA SEGUINTE
FORMA: LINHAS EM VERMELHO SINAL DE +
LINHAS EM AZUL SINAL DE -
Det B =10 + 12 + 0 - 48 - 0 - 0 Det B = 22 - 48 = -26
4) Calcular os determinantes das seguintes matrizes:
det C = 0 ⇒ TEM DUAS LINHAS PROPORCIONAIS !








=
6 8 4
6 0 1
3 4 2
C
L3 = 2 × L1
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 8 MANUEL
5) Determinar os valores de k para os quais :
DETERMINANTE = 0 !
k k
k
 
 24 0=
K × 2K - 4K = 0
2K2 - 4K = 0
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
DUAS SOLUÇÕES
COLOCANDO K EM EVIDÊNCIA VEM:
K × ( 2K - 4) = 0
K = 0 2K - 4 = 0
2K = 4
K = 4/2
K = 2 
VERIFICANDO ⇒ 2K2 - 4K = 0
(K=0) ⇒ 2×02 - 4×0 = 2×0 - 4×0 = 0 ⇒ OK !
(K=2) ⇒ 2×22 - 4×2 = 2×4 - 4×2 ⇒ 8 - 8 = 0 ⇒ OK!
1ª SOLUÇÃO 2ª SOLUÇÃO
PARA ACHAR A MATRIZ INVERSA
PRECISAMOS SABER MULTIPLICAR
MATRIZES !
MULTIPLICAR MATRIZES É FAZER O
PRODUTO ESCALAR DE LINHA POR
COLUNA !
LOGO... PARA ACHAR A MATRIZ
INVERSA PRECISAMOS SABER...
PRODUTO ESCALAR !
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 9 MANUEL
ÁLGEBRA LINEAR É PRÉ-REQUISITO PARA:
PESQUISA OPERACIONAL ⇒ ADM (GRADE) 
CCOMP / ADS / CONTAB (ELETIVA) 
COMPUTAÇÃO GRÁFICA ⇒ CCOMP (GRADE) 
ADS (ELETIVA) 
GEOMETRIA COMPUTACIONAL ⇒ CCOMP (GRADE) 
ADS (ELETIVA) !
VIDA ⇒ ESTÁ NA GRADE !
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_02 - GABARITO 10 MANUEL