Prova P1 2016 (2) Álgebra Linear (Cynthia) #UFRGS

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UFRGS-DMPA MAT01355-ÁLGEBRA LINEAR-P1 turma A1 - 06/10/2016 - 1
Nome:
Cartão da UFRGS:
1. Para que valores de a o sistema é consistente?
x + 2y + 3z + 4t = 2
2y + 6t = 2
ay + 3t = 1
5y + z − t = 2
(a) a = 1 (b) a = −1 (c) a 6= 1 (d) a 6= −1 (e) a pode ser qualquer real
2. Considere a Transformação Linear T : R4 → R4 definida por T (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2, 0, x3).
O espaço Nulo desta transformação é o conjunto:
(a) {(α, β, γ, 0) : α, β, γ ∈ R} (b) {(0, α, β, γ) : α, β, γ ∈ R} (c) {(0, 0, 0, α) : α ∈ R)}
(d) {(1, 0, 0, 0) ∈ R} (e) {(α, 0, 0, 0) : α ∈ R}
3. Considere um sistema linear homogêneo (Ax = b) que possui 11 equações e 17 incógnitas.
Então podemos afirmar que:
(a) Dim (Null(A)) ≤ 11 (b)Dim (Null(A)) < 19 (c)Posto(A) ≥ 6
(d) Dim (Null(A)) ≥ 6 (e) NRA
4. Determine quais conjuntos de vetores são LI, se:
(i)
{(
3
1
)
,
(
5
−1
)
,
(
1
7
)}
(ii)

31
1
 ,
51
0
 ,
00
0
 (iii)


3
1
5
0
 ,

0
−1
0
0
 ,

1
0
0
3


(a) SSS (b)SSN (c)SNN (d)SNS (e)NNS
5. O vetor coordenada [~x]β do vetor ~x =
(
30
−3
)
com respeito à base β =
{(
5
−1
)
,
(
5
2
)}
é:
(a)
(
145
−32
)
(b)
(
5
1
)
(c)
(
10
5
)
(d)
(
30
−5
)
(e)
(
3
2
)
6. Seja T (~x) = A(~x) uma transformação linear de R8 em R6. Sabendo que a matriz A
possui 6 posições pivô. Quais as alternativas verdadeiras:
( ) A é uma matriz 8× 6 ( ) T é injetora ( ) T é sobrejetora ( ) NullA = {~0}
(a)FVFF (b)VVFF (c)FVFV (d)VFVV (e)FFVF
7. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear. Sabendo que T (2, 1) = (3, 1) e T (2, 1) =
(1, 4), podemos afirma que T (2, 1) =?:
(a) (3, 9) (b) (1, 2) (c) (−3, 10) (d) (1/3, 2) (e) NRA
8. Quais conjuntos geram R3:
S1 = {(1, 1, 1), (1,−1, 5)}
S2 = {(1, 2, 3), (1, 0,−1), (3,−1, 0), (2, 1,−2)}
S3 = {(1, 3, 2), (2, 7, 4), (3, 6, 6), (0, 5, 0)}
S4 = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2,−1, 1)}
(a)S2 e S4 (b) S1 e S2 (c)S2, S3 e S4 (d) S4 (e) S3 e S4
9. Considere as matrizes A =
a b cd e f
g h i
 , B =
 −a −b −cd− 3a e− 3b f − 3c
2g 2h 2i
. Sabendo que
Det(A) = 3, qual o Det(B)?
(a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) -3 (e) -6
10. Qual o determinante de:

1 3 1 5 3
−2 −7 0 −4 1
0 0 2 0 1
0 0 2 1 1
0 0 0 2 1

(a) 3 (b) -2 (c) 0 (d) -1 (e) NRA
11. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços do Espaço Vetorial V das funções Reais
f : R→ R?
(i) V1 = {f ∈ V tal que f(x) ≤ 0, para todo x ∈ R}
(ii) V2 = {f ∈ V tal que f(0) = 0}
(iii) V3 = {f ∈ V tal que f(x) = C, para C ∈ R}
(a) V1, V2 e V3 (b) V1 e V2 (c) V2 e V3 (d) V1 (e) V3
12. Verifique se é Verdadeiro(V) ou Falso (F)
( ) Um sistema Ax = b possui solução sse o Posto de Am×n é idêntico ao Posto de sua
matriz estendida [A|b]m×n+1
( ) Se a matriz canônica de uma transformação linear de R7 em R5 possui 5 posições pivô
então T é injetora
( ) Se a matriz canônica de uma transformação linear de R7 em R5 possui 5 posições pivô
então T é sobrejetora
(a)FVF (b)VVF (c)VVV (d)VFV (e)FFV
13. Seja A =
 4 1 −2 −32 1 1 −4
6 0 −9 9
. Qual afirmativa é verdadeira:
(a) O posto de A é 4 e nulidade é zero
(b) O vetor ~r = [1 2 3]T está na imagem da transformação.
(c) A transformação é injetiva mas não sobrejetiva
(d) A transformação não é sobrejetiva nem injetiva
(e) NRA
14. Seja uma transformação linear T : P2 → P3 definida por T (p(x)) = x p(x), onde Pr
é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a r. Qual afirmação está
incorreta:
(a) p(x) = x+ x2 está na imagem da transformação
(b) p(x) = x2 não pertence ao núcleo desta transformação
(c) A dimensão do espaço Nulo (Núcleo) da transformação é 1
(d) A transformação é sobrejetiva
(e) A transformação é injetiva
15. Considere uma transformação linear T (~x) = A~x de R2 em R2. Sabendo que esta trans-
formação faz uma reflexão em relação ao eixo dos x2, podemos afirmar que a matriz da
transformação é dada por:
(a)
(
1 0
0 −1
)
(b)
(
0 1
1 0
)
(c)
(
0 −1
−1 0
)
(d)
( −1 0
0 −1
)
(e)
( −1 0
0 1
)
16. Considere os vetores ~v1 =

0
2
4
0
0
, ~v2 =

4
2
1
0
0
,~v3 =

3
1
0
0
0
,~v4 =

20
0
0
0
0
 e ~v5 =

1
0
2
1
0
. Qual a
dimensão de Spam({v1, v2, v3, v4, v5}).
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5
Sabendo que as matrizes A e B são linha equivalentes, responda as questões
(17), (18), (19) e (20).
A =

1 −3 4 −1 9
−2 6 −6 −1 −10
−3 9 −6 −6 −3
3 −9 4 9 0
 , B =

1 −3 0 5 −7
0 0 2 −3 8
0 0 0 0 5
0 0 0 0 0

17. A dimensão do espaço Nulo da matriz A é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
18. A dimensão do espaço Nulo da matriz AT é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
19. Uma base para o espaço coluna de A
(a)


1
0
0
0
 ,

0
2
0
0
 ,

−7
8
5
0

 (b)


3
1
0
0
0
 ,

10
0
−3
2
0

 (c)


1
−2
−3
3
 ,

4
−6
−6
4
 ,

9
−10
−3
0


(d)


1
−3
4
−1
9
 ,

−2
6
−6
−1
10
 ,

−3
9
−6
−6
−3

 (e) NRA
20. Uma base para o espaço Nulo de A:
(a)


1
0
0
0
 ,

0
2
0
0
 ,

−7
8
5
0

 (b)


3
1
0
0
0
 ,

10
0
−3
2
0

 (c)


1
−2
−3
3
 ,

4
−6
−6
4
 ,

9
−10
−3
0


(d)


1
−3
4
−1
9
 ,

−2
6
−6
−1
10
 ,

−3
9
−6
−6
−3

 (e) NRA