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UFRGS-DMPA MAT01355-ÁLGEBRA LINEAR-P1 turma A1 - 06/10/2016 - 1 Nome: Cartão da UFRGS: 1. Para que valores de a o sistema é consistente? x + 2y + 3z + 4t = 2 2y + 6t = 2 ay + 3t = 1 5y + z − t = 2 (a) a = 1 (b) a = −1 (c) a 6= 1 (d) a 6= −1 (e) a pode ser qualquer real 2. Considere a Transformação Linear T : R4 → R4 definida por T (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2, 0, x3). O espaço Nulo desta transformação é o conjunto: (a) {(α, β, γ, 0) : α, β, γ ∈ R} (b) {(0, α, β, γ) : α, β, γ ∈ R} (c) {(0, 0, 0, α) : α ∈ R)} (d) {(1, 0, 0, 0) ∈ R} (e) {(α, 0, 0, 0) : α ∈ R} 3. Considere um sistema linear homogêneo (Ax = b) que possui 11 equações e 17 incógnitas. Então podemos afirmar que: (a) Dim (Null(A)) ≤ 11 (b)Dim (Null(A)) < 19 (c)Posto(A) ≥ 6 (d) Dim (Null(A)) ≥ 6 (e) NRA 4. Determine quais conjuntos de vetores são LI, se: (i) {( 3 1 ) , ( 5 −1 ) , ( 1 7 )} (ii) 31 1 , 51 0 , 00 0 (iii) 3 1 5 0 , 0 −1 0 0 , 1 0 0 3 (a) SSS (b)SSN (c)SNN (d)SNS (e)NNS 5. O vetor coordenada [~x]β do vetor ~x = ( 30 −3 ) com respeito à base β = {( 5 −1 ) , ( 5 2 )} é: (a) ( 145 −32 ) (b) ( 5 1 ) (c) ( 10 5 ) (d) ( 30 −5 ) (e) ( 3 2 ) 6. Seja T (~x) = A(~x) uma transformação linear de R8 em R6. Sabendo que a matriz A possui 6 posições pivô. Quais as alternativas verdadeiras: ( ) A é uma matriz 8× 6 ( ) T é injetora ( ) T é sobrejetora ( ) NullA = {~0} (a)FVFF (b)VVFF (c)FVFV (d)VFVV (e)FFVF 7. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear. Sabendo que T (2, 1) = (3, 1) e T (2, 1) = (1, 4), podemos afirma que T (2, 1) =?: (a) (3, 9) (b) (1, 2) (c) (−3, 10) (d) (1/3, 2) (e) NRA 8. Quais conjuntos geram R3: S1 = {(1, 1, 1), (1,−1, 5)} S2 = {(1, 2, 3), (1, 0,−1), (3,−1, 0), (2, 1,−2)} S3 = {(1, 3, 2), (2, 7, 4), (3, 6, 6), (0, 5, 0)} S4 = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2,−1, 1)} (a)S2 e S4 (b) S1 e S2 (c)S2, S3 e S4 (d) S4 (e) S3 e S4 9. Considere as matrizes A = a b cd e f g h i , B = −a −b −cd− 3a e− 3b f − 3c 2g 2h 2i . Sabendo que Det(A) = 3, qual o Det(B)? (a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) -3 (e) -6 10. Qual o determinante de: 1 3 1 5 3 −2 −7 0 −4 1 0 0 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 (a) 3 (b) -2 (c) 0 (d) -1 (e) NRA 11. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços do Espaço Vetorial V das funções Reais f : R→ R? (i) V1 = {f ∈ V tal que f(x) ≤ 0, para todo x ∈ R} (ii) V2 = {f ∈ V tal que f(0) = 0} (iii) V3 = {f ∈ V tal que f(x) = C, para C ∈ R} (a) V1, V2 e V3 (b) V1 e V2 (c) V2 e V3 (d) V1 (e) V3 12. Verifique se é Verdadeiro(V) ou Falso (F) ( ) Um sistema Ax = b possui solução sse o Posto de Am×n é idêntico ao Posto de sua matriz estendida [A|b]m×n+1 ( ) Se a matriz canônica de uma transformação linear de R7 em R5 possui 5 posições pivô então T é injetora ( ) Se a matriz canônica de uma transformação linear de R7 em R5 possui 5 posições pivô então T é sobrejetora (a)FVF (b)VVF (c)VVV (d)VFV (e)FFV 13. Seja A = 4 1 −2 −32 1 1 −4 6 0 −9 9 . Qual afirmativa é verdadeira: (a) O posto de A é 4 e nulidade é zero (b) O vetor ~r = [1 2 3]T está na imagem da transformação. (c) A transformação é injetiva mas não sobrejetiva (d) A transformação não é sobrejetiva nem injetiva (e) NRA 14. Seja uma transformação linear T : P2 → P3 definida por T (p(x)) = x p(x), onde Pr é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a r. Qual afirmação está incorreta: (a) p(x) = x+ x2 está na imagem da transformação (b) p(x) = x2 não pertence ao núcleo desta transformação (c) A dimensão do espaço Nulo (Núcleo) da transformação é 1 (d) A transformação é sobrejetiva (e) A transformação é injetiva 15. Considere uma transformação linear T (~x) = A~x de R2 em R2. Sabendo que esta trans- formação faz uma reflexão em relação ao eixo dos x2, podemos afirmar que a matriz da transformação é dada por: (a) ( 1 0 0 −1 ) (b) ( 0 1 1 0 ) (c) ( 0 −1 −1 0 ) (d) ( −1 0 0 −1 ) (e) ( −1 0 0 1 ) 16. Considere os vetores ~v1 = 0 2 4 0 0 , ~v2 = 4 2 1 0 0 ,~v3 = 3 1 0 0 0 ,~v4 = 20 0 0 0 0 e ~v5 = 1 0 2 1 0 . Qual a dimensão de Spam({v1, v2, v3, v4, v5}). (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 Sabendo que as matrizes A e B são linha equivalentes, responda as questões (17), (18), (19) e (20). A = 1 −3 4 −1 9 −2 6 −6 −1 −10 −3 9 −6 −6 −3 3 −9 4 9 0 , B = 1 −3 0 5 −7 0 0 2 −3 8 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 17. A dimensão do espaço Nulo da matriz A é: (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 18. A dimensão do espaço Nulo da matriz AT é: (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 19. Uma base para o espaço coluna de A (a) 1 0 0 0 , 0 2 0 0 , −7 8 5 0 (b) 3 1 0 0 0 , 10 0 −3 2 0 (c) 1 −2 −3 3 , 4 −6 −6 4 , 9 −10 −3 0 (d) 1 −3 4 −1 9 , −2 6 −6 −1 10 , −3 9 −6 −6 −3 (e) NRA 20. Uma base para o espaço Nulo de A: (a) 1 0 0 0 , 0 2 0 0 , −7 8 5 0 (b) 3 1 0 0 0 , 10 0 −3 2 0 (c) 1 −2 −3 3 , 4 −6 −6 4 , 9 −10 −3 0 (d) 1 −3 4 −1 9 , −2 6 −6 −1 10 , −3 9 −6 −6 −3 (e) NRA
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