Capitulo 6 parte 002

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Àu\L )
FUNÇÔES DE PRoDUÇÃO E FATORES DE PRODUÇÃO
/A íunção de produção com um único fator de produçáo é bas-
tante útil. Permite desenvolver vários conceitos importantes,
como o produto médio e o produto marginal, e ajuda a com-
preender as relações existentes entre esses conceitos. Contu-
do, para estudar as escolhas que as empresas enÍrentam no
mundo real- por exemplo o caso dos íabricantes de semicon-
dutores que devem decidir se irão substituir a mão-de-obra por
rohô" precis.rmo. estudar tunções de ptoduçào com mais de
um íator de produlào/1'Jesra seçào, vetemos como descrever
uma íunção de produção em termos gráficos e estudaremos
como uma emprcsa pode substituir os fatores de produção de
acordo com sua função de produção,
Pnoouro Manclrel s Pno»uro MÉoto
COM DOIS FATORES DE PRODUÇÀO
Para exempliíicar uma íunção de produção com mais de um
insumo, vamos inicialmente analisar o caso em que a produ-
ção requer a utilização de apenas dois fatores de produção: mão-
de-obra e capital. Esse exemplo ilustra as possibilidades tecno-
lógicas disponíveis para um fabricante de semicondutore§ que
esrá decidindo a respeito da utilização de robôs (capital) ou
mão-de-obra (trabalho).
,À{mrlnarês oe
máquinas-hora 30
por dia)
L é expresso em milhares de homens-hora por dia, K é
expreso em milh:res de máquin s,horâ poÍ dia e Q é
o.presso em milhares de chips semicondutores por dia
0
5
15
25
30
0
75
't 27
'150
't 17
t8
K
12
00
'15 25
48 81
24
30
81 137
96 162
75 127
I (milhares de
homens-hoía
por dia)
Fig. 6.5 SuperÍície de Produto Total
A fig.,., ,.p.".".,t,. , frnção de produção da Tabela 6.3. O gráÍico da íunção de produção é uma supeíície tridimensional que se parece com
,11^-.o[i r", 
" 
po, 
".ru 
razáo a chamamos de superfície de produto total. A alturada supeíície num determinado ponto é igual à quantidade de
produção obrida a partir das quantidades de mão-de-obra e capital correspondentes a esse ponro.
6.3 FUNÇÕES DE PRODUÇÃO COM MAIS DE
UM FATOR DE PRODUÇAO
6
112
t8
0
0
0
0
0
0
A Tabela 6.3 apresenta urna função de produção (ou a frrn-
ção produto total) para semicondutorcs, onde a quantidade de
produção Q depende da quantidade de trabalho, L, e da quan-
tidade de capital, K, empregadas pela empresa de semicondu-
tores. A Fig. 6.5 apresenta essa função de produção num gráfi-
co tridimensional. O gráfico na Fig. 6.5 é uma superfície de
E.
produto total. Uma superfície de produto total é um grá{ico tri-
dimensional que mostra a relação entre a quantidade produzi-
da e a quantidade de dois fatores de produção utilizados pela
empresa.5
A altura da superíície em qualquer ponto é igual à quanti-
dade produzida que a empresa obtém a partir das quantidades
de fatores de produção que emprega. Poderíamos nos mover ao
longo da supeúcie em várias direções, mas seria mais fácil nos
movermos em uma das duas direções. Partindo do canto iníe-
rior esquerdo do gráfico em que L : 0 e K : 0, poderíamos nos
moverpara leste aurnentando a quantidade de trabalho, ou po-
deríamos nos mover para o norte aumentando a quantidade de
capital. À medida que nos movemos para leste ou para o nol-
te, atingimos diferentes elevações ao longo da supeúcie de pro-
duto total, e cada elevação corresponde a determinada quanti-
dade de produção.
Vamos ver agora o que acontece, quando fixamos a quanti-
dade de capital num determinado nível, por exemplo K : 24,
e aumentamos a quantidade de trabalho. A Tabela 6.J mostra
que, ao íazermos isso, inicialmente, aumentamos a quantidade
produzida, mas depois a produção começa a cair' De fato, po-
demos notar que as quantidades da coluna da Tabela ó.1 cor-
respondentes a K = 24 são idênticas à função produto total na
Tabela 6.1. lsso nos mostra que a função produtcl total para o
íator de produção mão-de-obra pode ser derivado de uma fun-
ção produção de dois fatores de produçáo, mantendo-se a quan-
tidade de capital fixa num determinado nível e variando-se a
quantidâde de mão-de-obra.
Podemos repetir aanáiise com a Fig. 6.5. Vamos fixar aquan-
tidade de capital em K : 24 e nos mover para leste até alcan-
çar a s.rperíície de produto total, variando aquantidade de mão-
de-obra. Assim, podemos traçar a traietóriaABC, onde o pon-
to C é o pico da supeíície. Essa trajetória se assemelha ao grá-
fico da função produto total da Fig. 6.2. Ou, de outro modo, se
nos movermos para leste em direção à supeíície de produto
total e traçarmos nossa elevação em várias quantidades de mão-
de-obra, o gráfico resultante corresponderia exatamente à Fig.
6.2, do mesmo modo como a coluna K : 24 da Tahela 6.1 cor-
responde exatâmente à Tabela 6.1.
Se o conceito de produto total pode ser estendido direta-
mente pam o caso de mais de um íator de ptodução, o mesmo
ocorre com o conceito de produto marginal. O produto margi-
nal de um fator de produção é a variação na produção ocasio'
nada pelo acréscimo de rma unidade de fator de produção, man-
tendo-se as quantidades de todos os demais íatores de produ-
ção constantes. O produto marginal do trabalho é dado por:
CAPÍruLo 6 f53
\_.
Do mesmo modo, o produto marginal do capital é dado por,
raflí7! .i,, rm qualrtidâJc dc nr, 
',lulo l
' "'u - ,urirrà' na quanridâdc dc calital i .".d,oô. Nranr.
^Q-^K
lI é mantido.onslâ . (6.1)
O produto marginal nos mostra quão abrüptamente a super-
fície de produto total aumenta, à medida que variamos a quan-
tidade de um íator de produção, mantendo-se as quantidades
de todos os demais fatores de produção constante§. Por exem-
plo, na Fig. 6.5 o produto marginal do trabalho no ponto B 
-
isto é, quando a quantidade de mão-de-obra é 18 e a quantida-
de de capital é 24 
- 
descreve quão abruptamente a superíície
de produto total aumenta, se continúarmos nos movendo a
partir do ponto B em direção ao leste.
Isoeuarras
Para ilustrar os dilemas econômicos, é mais íácil reduzir a irn-
ção de produção tridimensional a uma função de produção bi-
dimensional. Assim, da mesma maneira como utilizamos uma
curva de contomo das cun'as de indiíerença para representar
as funções utilidade na teoria do consumidor, também u-tiliza-
reBqs lElcuryLúe conto4lq pala representar a função de
próduçqo. Entretanto, em vez de chamarmos as curvas de con-
tomo de curvas de indiferença, ch3mqremos dqlgoquantas.
Isoqú1ntê significâ "ryg!4S_qqqltlq94g", porque qualquer com-
binação de mao-dé-obra e capital ao longo de uma dada
isoquanta permite que a emp-resaproduza a mesmqquantidade
d"_pr!dr,!s
Para ilustrar esse conceito, vamos considerar novamente a
função de produção descrita na Tabela 6.1 (reproduzida aqui pot
conveniência). Segundo essa tabela, podemos ver que duas com-
binações diíerentes de mão-de-obra e cap!1al (L : 6, K: lql
TAgELe 6.3 Ftmçào de Produção de Semicondutores
K
o612
000
0 5 15
0 15 4A
o f25 8103096
o 23 75
30 23
96 75
162 127
192 150
'150 -117
ta
0E
81
137
162
127
A
o
6
112
ta
24
30rrrir./(ain na (luanllJadc dc f'rodulo I/'ll' - 
,r.ircr,, * qr-uarda oa ,rt'o-tt n I
LQ
Â/' 1", 
--uoo.,*o*"
Lé expresso emmilhares de homenvhom po: dia, Ké expresso em miiha-
res de máquinas.hora por dia e Q é expresso em milhares de chips semi-
condutores por dia.(6.?)
pÍoduro total d€ mâneila sólida.
154 Fr \ÇnE\ Dt PpuDr \\',tfatopt .Dt PFuDr \r,
Todas as combinações de K-L ao longo
dessa traietória produzêm 25 unidades de
produção, onde cada "unidade" represênta
um milhão de chips sernicondulores.
Fig. 6.6 lsoquantas e a SuperÍície de
Produto Total
A figura apresenta a supeíície de pro-
duto toralpara a funçãode produçãrtda
Tabela 6.3. Se partinnos do pontoA, e
seguirmos ao longo da supert'icie, de
modo que nossâ e[evação permaneça
constante ao nível de 25 unidades de
produção, então trâçâremos a trajeró-
ria ABCDE. Essa é a isoquanta de 25
unidadespara essâ função de produçâo.
Fig. 6.7 Mapa Tridimensional e Mapa
TopográÍico de Mt. Hood, Oregon
O painel (a) ó Lun mapa tridimensional de
Mr. Hood em Oregon. Nossas superfícies
Je produro total das Figs- 6.5 e 6.6 são
ânálogas a esse ripo L1e mapa. O painel (b)
dpre\cnr'r rm nrel a ropugrrír,. J. lry'r
Hood. Um grriiico L1e isoquanras (como na
F'r. ô.J\ c .rnalogo r .\.r m'r[.r I ulogrir'.
co. Fonte: wwrr.Llelorme.com
(milhares.de Ã
maqutnas-nora
Por dia) 30
Norte
(a)
(b)
(L = 18, K = 6) 
- 
r .,,-Ltamluqa!Iq{qglqlQ-.25,.'idudes
(onde cada "unidade" de produção representa milhares de se-
micondutores). Portanto, cada uma dessas combinações de fa-
tores de produção está localizada soblq3lqggqgqtalJ-ll-'
Podemos também ilusffar uma isoquanta com a Fig. 6.6. A
Fig. 6.6 apresenta a superfície de produto total para a função
de produção da Tabela 6.3. Suponha que você tenha começa-
do o deslocamento ao longo da superfície de produto total no
ponto A, com o objetivo de manter uma elevação constante.
A reta ABCDE é a trajetória que você deve seguir. Em cada
combinação de fatores de produção ao longo dessa trajetória, a
altura da superfície de produto totâl é a mesma; portanto, cada
uma dessas combinações de fatores de produção produz a mes'
ma quanridade de produçáo, Q : 2 5. Todas essas combinações /
de tarores de produção eslão sobre a ircquanra Q - 25. {
Quando pensamos numa isoquanta como uma trajetória ao
Iongo da superfície de produto total daFig.6.6, que mantém ele-
vação constante, concluímos que uma is<quânta é como um mapa
topográfico semelhante ao Mt. Hood em Oregon da Fig. 6'7.
Uma reta sobre o mapa topográíico mostra pontos no espaço
geográfico em que a elevação da terra é constante. A superfí-
cie de produto total na Fig. 6.6 é análoga ao mapa tridimensi-
onal de Mt. Hood na parte superior da Fig. 6.7, e as isoquantas
da superfície de produto total são análogas ao mapa topográfi-
co de Mt. Hood na parte inferior da Fig. 6.7.
CÁPiTrrLo 6
A Fig. 6.8 mostra as isoquantas para a função de produção
da Tabela 6.3 e da Fig. 6.6. As isoquantas possuem inclinação
decrescente. Uma isoquanra de rnclinação decrescenre re-
presenra um rmpo.dr,,. o,i"rnu 
".oiõ iãiiããi.pEllri.substituir mão-de-obra por capital e manter sua produção
inalterada. Se aplicarmos essa idéia ao fabricante de semicon-
dutores, poderemos concluir que a empresa seria capaz de pro-
duzir uma dada quantidade de semicondutores utilizando mui-
ta mão-de-obra e um pequeno número de robôs, ou produziria
a mesma quantidade utilizando menos mão-de-obra e mais ro-
bôs. Essa substituição é sempre possível, toda vez que máo-de-
obra e capital (por exemplo, robôs) possuem produtos margi-
nais positivos.
Qualquer função de produção possui um numggrúuto.de-
isoquantas. cada qual corre"pondendo a determinado nívelde
produçao. Na Fig. 6.8, idenriíicamo. a isoquanta coresponden-
te a 25 unidades de produção. Note que os pontos B e D ao longo
da isoquanta Q : 25 na Fig. 6,8 correspondem às combinações
de fatores de produçáo que destacamos na Tabela 6.3. Quando
ambos os íatores de produção possuem produtos marginais po-
sitivos, a utilização de mais unidades de cada um dos fatores de
produção aumenta a quantidade de produção disponível. Des-
se modo, à medida que nos movemos em direçáo ao norte da
Fíg. 6.8, alcançamos isoquantas correspondentes a quantida-
des cada vez maiores de produção.
.q
8te
§
,E
E
=E
v
I (milhares de homens-hora por dia)
Fig. 6.8 Isoquantas para a Função de Produção da Tabela 6.3
Cada combinaçao de capital e trabalho ao longo da isoquanta Q = 25 (em particular, as combinações B e D) produzem o mesmo nível de
produçao, 25.0ô0 chips semicondutores por dia. À medida que nos movemos para nordeste, âs isoquântas rcpÍesentam níveis cada vez maiores
de produçâo.
FUNÇÓES DE PRoDUçÀo E FAToRTS DÊ PRoDUçÀo
Derivando a Equação
Isoquanta
Problema
APRENDA COM O EXERCÍCIO 6.1
de uma fácil de resolvê-la é elevar cada um dos lados da equaçáo(6.{) ao quadrado, resolvendo para K em termos de L. As_
sim, temos,
Solução
(a) A isoquanta Q : 20 apresenta todas as combinações de
mão-de-obra e capital que permitem à empresa produzir 20
unidades de produto. Dada a função de produção, as com-
binações de mão-de-obra e capital sobre essa isoquanta sa-
tisíazem a seguinte equação:
20: K!L!. «.4)
Para obter a equação da isoquanta de 20 unidades, resolve-
mos essa equação para K em termos de L. A maneira mais
K:
Essa é a equação da isoquanta de 20 unidades.
(b) Utilizaremos a mesma lógica empregada na parte (a). As
combinações de mão-de-obra e capital que dão origem a e
unidades de produção são:
Q: x:t.:
Para obter a equação da isoquanta, eleve ao quadrado am-
bos os lados da equação e resolva-a para Kem termos de L e
Q. Assim, temos:
(a) Considere a função de produção cuja equação
é dada pela íórmula Q = Krirlll']. Qual é a equa-
çao da isoquanta corre5pondenre a Q = 20.'(b) Considerando a mesma íunção de produção,
qual é a equação da isoquanta correspondente a
um nívelde produção Q qualquer/
400
t.
Q,
r.
K_
Se substituirmos Q = 20 nessa equação, teremos a equação da
isoquanta de 20 unidades, obtida na parte (a) do exercício.
Problema Similar: 6.5
( RscrÕEs EcoNôurcas E ANrr-ECoNôMrcAs
DE PRoDUÇÃo
As isoquantas na Fig. 6.8 possuem inclinação decrescente. À
medida que aumentamos a quantidade de mão-de-obra utiliza-
da, podemos manter a produção constante reduzindo a quanti-
dade de capital. Ma. a Frg. o.q mostra as mesmds isoquanras,
quando expandimos a escala da Fig. 6.8 para incluir quantida-
des de mão-de-obra e capital superiores a 24.000 homens-hora
e máquinas-hora por dia. Agora. as Ícoquantàs po\\uem uma
região de inclinação crescente e umâ região curvada para trís.
O que isso significal
rendimentos totais decrescentes do trabalho; e a regiâo curva-
da para trás ocorre quando temos rendimentos totais decres-
centes para o capital. Se tivermos rendimentos totais decres-
centes do trabalho, então, à medida que aumentarmos a quan-
tidade de trabalho, mantendo a quantidade de capitalconitan-
te, a produção totaldiminuirá. Portanto, para manter a produ-
Çào constanre (lemhre-.e de que íazemo. rsso ao no< môvermos
ao longo de uma isoquanta), devemos também aumentar a
quantidade de capital para compensar a redução do rendimen-
to total do trabalho.
Uma empresa que Jeseja minimizar os custos de Fl-odução
n !!g lqg :pl13.Lnas regrõe. de rnclnação cre.cenre ou na.
reglÔe. cumada., farall das isoquànra.. lor exemplo. um ía.
bricanre de .em rcondurore, nào deve op"rr. nu. pàr,,o .o*o
o ponto A da Fig. 6.8, onde existem rendimentos totais decres-
centes do trahalho. A razão é que ele poderia produzir o mes-
mo nível de produção com um custo menor, se produzisse no
ponto E. Ao produzir numa região onde o produto marginal do
trabalho é negati.,,o, a empresa estaria desperdiçando dinheiro
com trabalho nào produrivo. lor e..a r.rzáo, no" reíerrmos à
região em que as isoquântas possuem inclinação crescente de
região anti-econômica de produção. Por outro lado, a região
econômica de produçâo é a regiào em que as isoquanras fo.su -
em inclinação decrescente. A partir de 
"go.u, -o.tru."ao,apenas a região econômica de produção em nossâs figuras.
Texa MencrNal DE SuBsrrrurÇÃo TÉcNrcA
Um fabricante de semicondutores que estápensando em inves-
tir em robôs sofisticados certamente estatia interessado em sa-
ber em que medida poderia subsrituir mão.de-obra por robôs.
Será que o fabricante precisará comprar 5 robôs para substituir
um trabalhadorl Dez robôs i Vinte robôsi Para que o íabricante
de semicondutores saiba se o investimento em robôs será ren-
tável, ele deve analisar essa questão.
.- A "inclinaç{q-_dçglatb9quaDtadeler4ina a- taxa em qu§ .^
a empresã]-ode substituir mão-de-ob." e .up-tál À- i"" pio-
CaPÍTúLo 6 L57é24
.. ró
E
=É
6
Flegião anti-econômica
lsoquantas
possuem
inclinaçáo
crêscente
IPM < O\
Q -2s I
o 6 
L (milhares de homen"-r,o'rl po. o,u) 24
Fig. 6.9 Regiões Econômicas e Anti.econômicas de Produção
,ti..glO". ._u*",1, prra rrás e de inclinação crescente das isoquantas são regiões de produção anti-econômicas. Nessas regiões, o produto
nrargi-nal de um dos insumos é negativo. lJúâ empresâ que minimlza custos nunca produzirià nâ região ânli-econômica.
cesso produtivo. A taxa marginal de substituição técnica de
mão-de.obra por capital, denotada por TMST1.g, mede â in-
clinação de uma isoquanta. A TMSTL K nos diz o seguinte:
. A taxa em que a quantidade de capital pode ser reduli-
da para cada unidade de dúmento na quantidade de mão-
de-obra, mantendo-se a quantidade de produção cons-
tante. orí
. A taxa em que a quantidade de capital deve ser aumen-
tada para cada unidade de redução ra quantidade de
mão-de-obra, mantendo-se a quantidade de ptodução
constante.
O conceito de taxa margínal de substituição técnica é aná-
logo ao conceito de taxa marginal de substituição presente na
reoria do consumidor. Do mesmo modo como a taxa marginal
de substituição do bem X pelo bem Y corresponde a ry!913
inclinação de uma curvqlClqtf.qçe, onde X está no eixo
E-oriáóital e Y está no eixo vertiúl; a taxa marginal de substi'
tuiç;o récnrcà de mào-de-.rbta por capital corre.ponJe a tne--
nos, rnclinaçào de uma t\oquJnta, onde L esrá no etxo hoí-
zónral e K e.tá nããrÍõ vên-iFJFÊlrrclinaçáo de urn,.r i'oquanta
num dererminado pontu é igual à inc linaçào da rera rangente
à i5oqudntd naquele ponro. como Ã.,"r ra cFigTÍorc negatt-à isoqua.pta naquelejglgLcomo mostla a
vo da incliÀ{ãõía reta tangente é a TMST. 
" 
naquele deter-
A Fig.6.10 ilustra a TMSTI l ao lgngo dauoquanta Q :
1.000 unidades para determinada íunção de produção. No pon-
to A, a inclinação da reta tângente à isoquanta é - 2,5. Partin- 
.
do desse ponto, podemos substituir 1,0 homem-hora de traba-
tho por 2,5 máquinas-hora de capital, mantendo a produção
constante em 1.000 unidades. Portanto, TMSTI ç : 2,5 no
ponto A. No ponto B, a inclinação da isoquanta é --0,4. Logo,
partindo desse ponto, podemos substituir 1,0 homem-hora de
trabalho por 0,4 máquinas-hora de capital, sern variar a produ-
ção. Portanto, TMST1 K = 0,4 no ponto B.
Note que conlbrme nos movemos para haixo ao longo de
uma isoquanta na Fig. 6.10, a TMST.." tqlqqle 9ad3 v91 m91
ngr. Essa proprredaJe é conheciJa como taxa marginal de subs'
tituiçâo técnica decrescente. Quando uma Íunçâo de produ'
ção apresenta taxa marginal de substituição técnica decrescen-
te, a TMST. 
" 
ao iongo de uma isoquanta diurinui, à medida
que â quantidade de trabalho, L, aumenta. Ou, em outro§ tel-
mos, as isoquantas sáo convelrsrm relaÇão à oÍlqgm'
A taxa marginalde substituição técnica decrescente está re-
lacionada à lei dos rendirnentos marginais decrescentes anali-
sada anteriormente. A TMST1 
" 
decrescente surge porque, à
proporção que aumentamos a quantidade de mão-de-obra uti-
lizada, a produtividade marginal decrescente da mão-de-obra
implica que os acréscimos seguintes de mão-de-obra serão cada
vez menos produtivos. Para compreender esse ponto, imagineminado ponto.
158 FuNçÕEs DE PRoDUçÃo E FAroREs DE PRoDUÇÀo
um fabricante de semicondutores, que tenha investido em ro-
i r" a oua r"or" 
"'t"ra 
pen'ando em relomar ao mérodo de pro-
ã".. r.-"rài.,."rf. *bstirutndo parte dos robôs (i5ro e capiral)
.,or Lrahalho Parl manter a me'ma quanridade de produçào
ar,terior, o prtm"tro rral'alhador adicional que contrala - .va-
-"r .À"-ali" a" non 
- 
deve ser capaz de substituir J robôs'
úa, d"uldo à lei dos rendimentos marginais decrescentes' o
,r"ãrà.rrt,"rl do rrabalho do "egundo trabalhador adicro-
irrl 
- 
r ,m,-,i chrmá-lo de David 
- 
será tníerior ao primet ro'
,Ài udi.ionu, .r." t.abalhador, a emplesa §erá capaz de substi-
iro ro""rt ao," rot ó'. e náo rantos robô' quanto foi capa:' ao
contÍatar o primeiro rrabalhador adicional li'o nào ocorÍe por
David ser menos habilidoso ou talentoso do que Ron' mas siu-r
noroLre Ron e Davtd rrahalhando junro' produzem meno\.que
I JJt ú" p.oarça" adtcional de Ron sozinho A"im 'endo' a
TMST' , para , pr,*",,. unidade de trahalho é maiÔr que a
iNaif. ,, p*, u ráeunJa unidade de trabalh,.'' o que implica que
o, isoqíâ.tt., da 
"mpre§a tornam-se 
mais planas à medida que
mais trabalhadores são utilizados'
Paru estab"lec", uma relação precisa entre a TMSTL K e os
rendimento: marginais decrescentes' preci'3t1s' Lls21 uÍn pif,u-
co de jlgebra lrtmetramenre devemos nor'lr que quanclo va-
."à.t iÀr"",'ara" de rrabclho em ÀL unidddes e a quanrrda-
à" à".ra]tri"- lr unr<Jades de capiral a variaçáo na produ-
ção resultante é a seguinte:
,r', AQ = (variaÇão na produçáo resultante da variaçào na1" q.,antidade de caPiral)
f (iariação na produção resultante da variação na
quantidade de trabalho)
: (Àr x PM*) + (ÀL x PML).
= TIISTL.T
E:sd equaçào noc mo<tra que a t.i\a marginal de 'ubsrlluiçào
J."i.ãã" .--a"-ohra por capiral é igual à razáo do produro
,"r,ninrl do ,*brlho (PM.) .obre o prodr-rto margrnal do capi-
,ul ipM^t. Essa relaçào é análoga à relaçào existente entre a
,ã*à *"rgi"A d" *ústituição e a utilidade marginal que estu-
damos na teoria do consumidor'
--'p^r".^U"""o. por que essa relação é importante' considere
"orr-""i" ,, fabii.arrte 
de semicondutores Suponha que'
""r*-a"J" ."-li"ação 
de fatores de produção' uma unidade
uJi.io.,ul d" *ao-de-obra aumentaria a produção em 10 uni-
àrd"i 
" 
or" u-u,.rt-tidade adicional de capital (robôs) aumen-
oriu 
" 
p-auçao .- apenas duas unidades, isto é' PM. : 10 e
àü ='z Loeo, n"rru <ombinaçáo de larores de produçáo' o
iolulho po,"ui uma produrividade marginal superior ao capi-
,ri. À.rura;o (6.5) nos dü que a taxa marginal de 'ubsritui-
.uo ruJ.u 
"n,r" 
*rhalho e captral e 10/2 = 5 A empre"a-pode
luÀ*,,ui, u-, unidade de traÉalho por crnco unidades de ca-
oital. .em alterar a produçào Como o rrabalho é muito mais
;;;;,ii;; J;0," . ;apital na coml-inaçáo de íatore' de produ
As variações em K e L que nos rnovem ao longo de uma dada
,*ourr',,à *rn,êa u proJuçào consranre demodoqueaolon-
go ie u*, dr,ln isoquanta, ÀQ = 0' e porranto'
0: (^Kx PMK)+ (LLx PML)'
Podemos reamrmar essa equaçáo para obter uma expressão igual
a menos a inclinação de uma isoquanta:
_ 
PNII
PMx
TMSTLKqn A = 2'5
TMSTLkem B = O,4
InclinaÉo = -0,4
0 = 1000
ÀK
Al
(6.5 )
lnclinaçáo = -2,5
,9
§
550
.ç
E
L (homens-hora Por dia)
Fig. 6.10 Taxa Marginal de Substituição Técnica de Capital por Trabalho 
(TMST' 
'') ao Longo de uma Isoquanta
No lonro A. a inclina(;o dà i-,q"r.* r-'j.i. iiri"nlo-.'n ",r,p,"", r"a.-r"r"rl rrij*a..oi.,.nr".o 'ub,irturr 2 5 maquina"'hora 
J
Jer\ rcos Je LapirJl porum ho*". nor"'rd,ll ,nrid",r^brtho.'Nopànr.A.",".h"Artoà,r.o.luanrâe.-O4 
Ne*e (a.o â empre\â pud
;r;;;r-;.;'r;;:";',"n'" ,o 'ut*"u''i i ,,.,,.,i"'''L"'" a" 'afiral por um h.mcm-ho, 
aJrcronal Je trabalho
ção existente, â empresa poderia substituir uma pequena quan-
iidade de trabalho por grande quantidade de capital' sem alte-
rar a produção. A equação (6.5 ) nos diz que um fabricante de
c.AríTlno 6 159
semicondutores que está analisando a combinação de trabalha-
dores e robôs deve comparar a produtividade marginal desses
fatores de produção, antes de tomar sua decisão.
EXEMPLO 6.2
muito qualificado pode ser substituído por seis trabalhado-
res pouco qualificados e o nível de produção permanecerá
.o.rr,"r'r,". A razão para a TMST ser tão grande é que, uma
vez que a empresa tenha investido na aquisição de computa-
dor"r, o prod,,to 
-arginal de trabalhadores muito qualifica-
dos torna-se ntuito maior que o produto marginal de traba-
thadorespouco qualiíicados que possuem menos habilidades
com computadores.
Lichtenberg observou que sua estimativa da TMST de tra-
balhadores muito qualificados por trabalhadores pouco qua-
lificados era compátível com a experiência das empresas do
mundo real. Por exemplo, ele notou que, quando uma gran-
de empresa de telecomunicações americana decidiu automa-
tizar e in{ormatizar suas resposta§ às reclamações dos clien-
tes, ela conÍatou nove novos pfogmmadores de computado-
res e trabalhadores especializados ern sistemas de informação
Esses novos trabalhadores substituíram setenta e cinco traba-
thadores pouco qualificados, que antes resolviam as reclama-
ções dos clientes pelo antigo sistema. Cada trabalhador adi-
cional muito qualíficado que â empresa contrâtava poderia
ser substituído por mais de oito trabalhadores pouco qualiíi-
cados (7519 
- 
8,1).
6.4 SUBSTITUIÇÃO ENTRE OS FATORES DE PRODUÇAO
DnscnrwNno As OPoRTUNIDADES DE
SursurutçÃo DE FAroREs DE PRoDUÇÃo
DE UMA EIVTPRNSA EM TERMOS GNÁTTCOS
Vamos consider:rrlduas funçóes de orod Para o
fehricante de semicõããutores. AFig. 6.11(a)mostra a isoquanta
de um milhão de chips por mês paia a primeira função de pro-
dução, e a Fic. 6.11(b) mostra a isoquanta de um milhão de
chips por mês para a segunda função de produção.
Éssas duas Íunções de produção diíerem em termos da íaci-
lidcde c.o+§{e ,'' 
",,p"'' pode 'uFliií tupirrl e rral'alhoNa Fie/6. I I (c)) 
'uponha que a empre.a opere no lonto A com\
A Taxa Marginal de Substituição Técnica entre Trabalhadores
Muito Qualificâdos e Pouco Qualificados
Ao longo dos últimos vinte anos, os computadores têm se tor-
nado essenciais nos negócios. Por conta disso, as empresa têm
alterado a composição de sua íorça de trabalho, substituindo
os trabalhadores "pouco qualificados" pelos trabalhadores
"muito qualificados", quepossuem maior experiência e conhe-
cimento na utilização de computadores.
Reunindo dados sobre emprego e dados sobre a utiliza'
ção de computadores no período 1988- 1991, Frank Lichten-
ú"rg e.timo., 
"m 
qre medida os computadores e os rabalha-
doresõualificados para operá-los têm contribuído para a
prodrçào na, 
"mp.esas 
americanas.6 Nesse estudo, Lichten-
t".g 
"rtirnou 
a tum marginal de substituição técnica de tra-
balúadores muito qualificados 
- 
pessoal especializado em
computadores e sistemas de informação 
- 
por trabalhadores
pouco qualificados 
- 
empregados em outras atividades que
não fossem sistemas de informação e tecnologia. Se manti-
vermos constante o nível de produção de umâ empÍesa típicâ
ameticana, e assumitmos que o estoque de equipamentos de
computadores permanece constânte, então a TÀ§Ide§a-
bgbadoçs muito qualificadoqpor trabalhadores pouco qua-
ljl.udor 
"-quu." 
.et5. l.ro ê. umd vez que a erpre'a tenha
escolhrdo.ãu ÃGu" de comput.rJore.. rtn trahclhador
Um íabricante de semicondutores que e§tá avaliando a esco-
tha entre robôs e trabalhadores desejava saber quão facilmen-
te ele poderia suhstituir esses fatores de produção Existem mui-
tas combinações possiveis de robôs e mão-de-obra que ele po-
deria escolher para produzir um certo nível de renda, ou as
possibilidades de substituição são mais limitadasl A resposta
áessa questão determinará em parte a capacidade da empresa
de passar de certo modo de produção (por e*emplo, com unla
altâ razão capital/trabalho) para outro modo de produçâo (por
exemplo, com uma baixa razão capital/trabalho), à proporção
que o. oreçol relarivo" de cqpital e trahalhg r arDlÍr, Ne'ta 
"e-
çào, teniaremos de§cÍever a tcc I ltdaJe ou a J itlcul.lade com que
á empresa pode substituir os diíerentes íatores de produção'
201.1?
160 FuNÇóEs DE PRoDUçÂo E FaroREs DE PRoDUÇÁo
100 homens-hora de trabalho e 50 máquinas'hora de capital'
Neste ponto, a cgtrEcidadQ-dê-gqpresadesústituir gapital por
trabalho é limitada. Mesmo se quadruplicar a utilização de mão-
de-obra, de 100 para 400 homens-hora por mês, poderá reduzir
apenas quantidade de capital num pequeno valor- de 5o.para
43 máquinas-hora 
- 
para manter a produção mensal em 1 mr'
lhao de chips. Uma empresa que está diante da função de pro-
duçao da Fig.6.11(a) achará difícil substituir capital por tra'
balho. Se desejar produzir um milhão de chips por mês, existe
apenas uma combinação de fatores de produção que precisa con-
siderar:L:100.K:50.
Por ouro lado, na Fic. 6.11(b), existem mais oportunida-
<Ies de substituição. Partindo da combinação de fatores de pro-
dução A, a emi."ra pode reduzir sua utilização de capital de
modo signiíicativo 
- 
de 50 para 20 máquinas-hora- aumen-
trndo aiuanridade de trabalhadore" de 100 para 400 homen:-
hora por mês. E claro que e"'a dectsáo dependeria do cu'ro re-
lativá do trabalho versus o capital (uma questão que estudare-
mos no próxtmo capÍtulo ). mas de taro a empresa poderia subs-
riruir capital por rrabalho (ou rrabalho por capiral) de manei-
ra signiiicativa. Diferentemente da Fic. ó.11(a), a empresa
poo,ii mai. opo.t r,idades de substituir capital por trabalho com
a função de produção na Fig. 6.11(b).
Um íabriiante de semicondutores gostaria de saber se suas
oporrunidadeo de:ubstttuiçào enrre trabalho e capiral sáo li-
mitadas ou abundanres- Mas o que diíerencia as duas siruaçoesl
Para responder essa questão, lembre-se de que na Fig' 6' 11(a),
a TMSi, , varra signiíicativamenre à medida que nos move-
mos para baixo na tsoquanla de um milhào de unidades em
direção ao ponto A e além desse ponto. Acima do ponto A sobre
â isoquanta, a TMST..a é bem grande, tendendo ao bfinito'
mas bem além do ponto A, a TMSTl,s muda bastante, toman-
do-se praticamente igual a zero. Por outro lado, nas isoquantas
da Fig. 6.11(b), a !4§!-r@ eradualmente'
e suhstituü os
íatores de produção depende da curvatura das isoquantas Em
termos mais específicos,
. Quando a funçao de produção oferece oportunidades h-
mitadas de substituição entre os fatores de produção, a
TMSTl.x varia de forma substancial confotme nos mo-
vemos ao longo de uma i§oquanta. As isoquantas são
quase em Íorma de L, como na Fig. 6.11(a)'
o Quando a função de produção oíerece oportunidades
alu.rdante. de srb.tituição entre os íatores de produção'
a TMSTI * varia de modo gradual à proporção que nos
movemos ao longo de uma isoquanta' As isoquantas são
quase linhas retas, como na Fig.6.11(b).
EI-ASTICIDADE D E SU BSTIruIÇÃO
O conceito de elasticidade de substituição é uma medida nu-
mérica que pode nos ajudar a descrever aoportunidadede subs-
tituição entre os fatores de produção da empre§â, com base n2L§
relações que derivamos nas seçõe§ ante orcs. Em termos mais
especííicos, a elasticidade de substituição Ard§.-Sg&3St&-
.".l,., ,rlL, marginS]-{slbsriluiçào técnica de capiral por
,
A Fig. 6. I Z apresenra a elasricrdade de subsl iluição Uomo o
capiál e subititufdo por trabalho, a razão da quantidade de
."pitul ,ob." 
" 
qru.rtidade de trabalho, conhecida como rela-
E
§
+so
.g
Er^
E
'-
O= 1
milháo
o 1oo 4oo
L (homens-hora Por mês)
(a) Função de Produçáo com
oportunidades de substituição
de insumos limitadas
o 100 400
L (homens-hora Por mês)
(b) Funçáo de produçáo com
opoÍunidades de substituiçáo
de insumos abundantes
Fig.6.11 Oportúoidades de Substituição de Insumos e o Formato 
'la§ 
I§oquântas
Nã painet (a), a empresa possui oportuniclades de substituição de insumos limitadas. Partindo do ponto A, mesmo se a emplesa aumentasse
-.1i. . 
"*pi"g. a"'.ao-àe-oh.r, ,le rod 
pã+oo 
""iara"s, ela ,ci 
poderra red,,zir o emprego de capital por uma pequena quantidade' de 50
nara45 uniJades. Porortro lrdo, no prir,"i (b)aempresapossuroporrunrdade,desub'tituiçàodeinsumosabundantet Se a empre'a lumen'|j,ffifr,j;;;;;;;;;,il-;í;,;l, fod"x àd,,,ii o c,pital empregado numa grande magnitude, sem variar a produção
CAPiT,r-o 6 161cão caoital.trabalho, K/L. deve diminuir' A raxa marginal de
Ii...-"'à"a. *U;lho por capital' TMST. *' rambém dimi-
""r..à*ll'*"" r"reriormenre A elasticidade 
de substituiçào'
il';;i';;;";;,;ãu po' o 
""d" a variaçâo 
percenrual na
,"irleo.rr,*t-,t"lalhÀ para cada variação de r-rm ponto per-
Xl;;;'r-MST. 
", 
conforme no" movemos ao longo de uma
;;;;;. ilr.tils matemáticos, a elasticidade de substitui-
ção é definida como:
- - 
variaÇol pe rcentual na relaçf,o cap.it'al'ÍJabaiho
o -- 
-- 
*,actto Percentual IaTMST2Y
Em seral, a ela'ric idade de subsrituiçáo poderia ser qualquer
.rlmerã 
-aio.ou igual azero Vejamo" agora como inlerpretar
a elasticidade de substituição:
' " i à. , ãt^ç- percentual na TMST. 
" 
for grande ao nos
movermos ao longo de uma isoquan(a como 9::rÍ:.quan-
ào a 
"ubsriruiçào entre 
capital e trabalho é diÍícil lcomo
", 
eú. ã-f ftr't, a elastrcidade de substttuiçào será pró-
*i^r"aa rato. Asstm, haverá pouca subsritutçào enrre
capiral e ttabalho'
. Se a variaçao percenrual na TMSTI* for pequena ao nos
movermos ao longo de uma i§oquanta'-como oc!ÍÍe quan-
do a substirr-riçào entre capirale uabalho é lacll lcomo na
;t"liiil;],;;l^ilidad; de substiruiçào seri bem.gralde'
ei.*. iàr.J-"1,^ substiruiÉo entre capital e trabalho',"^(f)
= o/. h,TMSTt.*
(6.6)
L (homens-hora Por mês)
tzu
I
.E
g
í*
""
Fig' 6' I 2 Elasticidad" d" slb"]ij"içi:.,.uo 
oercenrua\na relaçáo capual-rrabarhqpara cada variaçào d-q lqo 
na TMS!, A TMSrl 
' 
é igLrat
l;:T:Tf,Xi:,ft::i:ffiH:,:#..,--*#ffi1Hjüiru;rt1i:;.:.*:::*:;::,1";*'ij",l;:"rãéacombinâçãode
insumos sobre a isoqurn,". ..rr" .u*, , .-"'lrfu. irpi,rt-r."uutt o .ro *oui...,JJ para'B 
,".ia de 4 i"' l' como ocorre com a TMST, "
porranro, a varraçào percentual na IMSTl , e - 75 
oro, e a variaçào p....r,rurl .* [)L ,J.'üt" e - Z Sq À "tasricidade de subsl rturçào 
o sobre
o intervalo deA a B é igual a 1'
TMST,*em A= 4
,íL em Á = inclinação do segmento A0 = 4
TMST,.* em B=1
APRENDACOM O EXERCICIO 6.2
Calculando a Elasticidade de
Substituição
Problema
Srroonha que para as duas combinações de {aro-
,"td" projuçào upte'enradas na Fig 6 l Z'
tz'1
Tt\4STl.K - o' 'i : o
TMSTI,K:', # ='
(a) Qual é a ela"ticidade de subsriruiçào' à medida qt-re nos
.i.rã-o, ,o lorgo da isoquanta de A para B'
(h) De acordo com as curvaturas das isoquantai 
"presenm-
àasna Fie. ó.1 t ena Fig. 6 lZ.comoaselasticidadesdesubs-
,*i.ãà ir,a ,. r""çoÀ de produçao da Fig 6 [ I 'e compa-
;^ã;';;;.;il;; d" s,biriruição pura as li-rnçóes de pro-
dução da Fig. 6.12?
162 Ftn.lçoEs DE PRoDUÇÂo E FÁToREs DE PRoDUÇÃo
Sôlução
(a) A vadação na taxa marginal de substituição técnica'
Àialsrr,*, á *"aiaa que nos movemos de A para B' é;
.K KR T(
"í:7i - Ív
,.- 
L-\f 
-\II'L\-',
I 7 Elasticidades de Substituiçào nas Indústrias da Alemanha'
EXEMPLO 6.3
Utilizando os dados de quantidades de produção e de fatores
de produção no período 1 970' 1 988, Cláudia Kemfert estimou
^ "iusti.úad" 
de t,-rbstituição enffe capital e trabalho em vári-
as indúsmias da Alemanha. A Tabela 6 4 apresenta as esti-
mativas das elasticidades.
Os resultados da Tabela 6.4 mostram dois fatos' Em pri-
meiro lugar, a! elasticidades de substituição estimad.as em
todas as indúsrrias sào iníeriores a um, e. po(anto' os latore§
de produção capital e trabalho não são especialmente
*br,iaiu"it tt"tr", Lrd,istrias. Em segundo lugar, a Tabela 6'4
-À.tra que a facilidade de substiruiçào enrre capitale traba-
lho é maior em algumas indústrias do que em outras Pot exem-
olo, na produção de aço (elasticidade de sub§lituição igual a
õ,50), o,rub"lho . o capital podem ser subsriruídos em maior
"r."íá do 
q,.,. .tu pr"d.rção d" .,reíc,.llos (elasticidade de subs-
ii*iç;o o.iol. A Fig. ó.lj também mostra essa que"tào' As
iràqrrn,"t para a pioduçâo de aço teriam a Íorma da Fig'
6.1j("), .rrqrr"rrto às isoquantas para a produção de veículos
teriam a íorma da Fig. 6.13 (b).
V
, 8"" .r*rpl" f- b",e,d" 
-, 
"!"**.d substitution Eiasticities oÍ a Nesred cES Production Function Approach {or cermanv," Enrrgl Economics 20 (1998)' pp 2
LTMSTLÍ: TMSTIí _ 'TMSTÍJ<
:1-4
=J
A variação Percentual em TMST, 
" 
é:
MMSTI..K
%LTMSTL.K -- -TMS-ffi x 100"/"
oue nesse caso é G1l4) x 1A0 - -75'k'
'-â variaçao A(KiL) na relaçào capital'trabalho' à medi-
da que nos movemos de A Para B, e:
:t-4
:_3
A variação percentual na relação capital-trabalho é A(l7L)/
(KA/L") x l00lo = 
-75o/o.
[.ogo, utilizando a fórmula da equação (6'6), temos:
,"o(Í\
ú: 
\"t
: 
-J-! -_ 1
- 
/,
Segundo esse cálculo, podemos concluir que, partindo-do
"Ài.o À. tm reduÇãode I06 na relação capiral-trabalho
,esulra nu r"duçâo Je lolo na taxa marginal de subsrituição
técnica de capital Por trabalho.(b) A funçaáde produçào na Fig' 6 12 possui mator grau
à. rubr,lruiçao 
"r-t,r" 
oi Íuto.es d" p'oduçào que a {unção
ã" prodtrçeoda Flg. 6.11 (a), mas possut menor grau de subs-
iiiriçao 
".t,t" o, t-",ores 
de prodlçào que a íunçào de pro-
d.çaãáa Fg. 6. t t (b). Desse modo, esperaríamos quea elas-
iüd"d. d"" ,rbrtituição da função de produção da Fig'
6.11(a) fosse menor que um, e que a elasticidade de subs-
tituição da função de produçao da Fig' 6'11(b) fosse maior
que um.
Problema Similar: 6.10' Parte (á)
CÁPÍTÜLÔ 6 163
L (unidades de trabalho por ano) L (unidadês dê trabalho por ano)
(a) Produção de aço alemão (b) Produção de veículos alemáes
Fig. ó,13 Isoquantas para a Produção de Aço e Veículos na Alemanha
O painel (a) mostta as isoquântas que são consistentes com a elasticidade de substituição estimada para a produção de aço alemão no
Exemplo 6.4. O painel (b) mosrra as isoquantas que são consistentes com a elasticidade de substituição estimada para a produção de veí-
culos na Alemanha. Como a elasticidade de substituição de capital por trabalho é mais elevada na indústria de aço, os insumos capital e
trabalho podem ser mais facilmente substituídos nessa indústrra do que na produção de veículos.
L (unidadês dê tíabalho por ano)
k3
(b) Produçào de veiculos alemáes
, ,, 
TrRos Penucur-anrs DE FUNÇÕES DE
-./ PRoDUÇÃo
As relacôes exrstentes entre a curvatura das roouantas. a 
"ub.-
riruicào enrre o. Íarore5 de produÇào e a ela:tic rd4de dç súsri-=+
ruiçào tornam-.e mais evidente:, qua!dg compàêrÍlo) alguns
ripo" de íunções de produçào muito utilizadas nâ análile mi-
cràetonôinica. Nessaseção, estudaremos quaüo tipos de funções
de produção: função de produção linear; função de produção de
proporções fixas; função de produção Cobb-Douglas e função de
produçào de elasricidade de sub.riruiçào constante.
l ; Funçdo de Produçao Linear
Suponha que uma empresa esteja escolhendo entre dols tipos
de computadores para armâzenar os seus dados. Um dos com-
putadores possui um disco rígido de alta capacidade, que pode
armazenar até 20 gigabytes de dados, e outro computador pos-
sui um disco, rígldo de baila capacidade, que pode armazenar
apenas 10 gigabytes- Se a empresa precisa armazenar 200
gigabytes de dados, poderia comprar 10 computadores de alta
capacidade e nenhum computador de baixa capacidade (pon.
to A da Fig. 6.14), ou poderia comprar Z0 computadores de baixa
capacidade e nenhum computador de alta capacidade (ponto B
da Fig.6.14). Ou ainda, poderia comprar cinco computadores
de baixacapacidade e 10 computadores de alta capacidade (pon-
to C da Fig.6.14), porque (5 x 20) + (10 x 10) : 200.
Nesse exemplo, a empresa possui uma função de produção
linear, cuja equação,seria: 
- 
--- .i
\ Q-20H-tOL'.
onde H é o número de compuradores de alta capacrdade que a
empresa utiliza, L é o número de computadores de baixa capa-
cidade que a empresa utiliza, e Q representa os gigabytes totais
de dados que a empresa pode armâzenar. Uma lunçáode pro-
dução linear e ,q, {qSç3o dS_L.!4!çs cujas isoquantaq sãs
liabqlqas.\A Fig. 6.1i_r1i.ostra que, para uma 6:nção de pro-
duçao lineaiã inálGaçao é constante e a taxa marginal de
substituição técnica 4[g varia à medida que nos movemos ao
longo da isoquanta (isto é, ÀTMST..« : 0).
Como a T)VÍST. ç é constante ao longo de uma isoquanta, a ,r
ela.ricidade de -uh"rirurçào perg qgra funçào de lroduçào li- ,, ,
near é inÍinirã (o = :o)- Em ourra. palavràs, os íaLores de pÍo-'
dução numa íunçáo de produção linear são perfeitamente
"ubsrituíve15 entre si. lortanro, quan{o rémos uma funç;o deprodução linear, dizemos qiió osÍatores de produçaó sao §ubs. "-
titutos perfeitos. No e:'emplo dos compuradore., o íato de com-
putadores dê balta capacidadd e de alta capacidade serem substi-
tlrtos peíeiros significa que, em termos da armazenagem dos da-
dos, dois computadores de baixa capacidade são tão bons quanto
um computador de alta capacidade. Ou seja, a empresa pode cer-
tamente substituir aprodutividade de um computadoÍ de alta ca-.
pacidade, comprando dois computadores de baixa capacidade.
Funçào de 
,Produçàotàe Prapptçpts Firoi.i l3 /
I A Érg. o.l s {no"tra uma tunçào bem diterenre. São as isoquamar
lar-aiJõEíçaode água. onde o. farores de produçào são os dro-
rnósde-hidrogênio (HJé os átomoade oxigêniô (O). Comocada
molêculaãã água reLlne dor. áromo. de hidrogênio e um âromo de
oxigênio, os íatores flevl4le1 cqmllnados errlpropo@es fkas. Uma -
função de proJução em que os fatores de produção devem ser com.
binados em proporções íixas é chamada de íunção de produção
de proporções Íixas, e s:eus fqtorss.de prodllÇ?9_!êLçhamados-de
complementares perfeitos.s O acréscimo de mais hidrogênio para
r-i.-nÍmero fr-íô déãtô-mos de oxigênio não produz mais molécu-
las de água, nem o acréscimo de mais oxigênio para um número
fixo de átomos de hidrogênio produz mais moléculas de água. Por-
tanto, a quantidade Q de moléculas de água obtidas é dada por:
o-- ,o). lHminl 
-\2
3 A função de produção de proporções fixas tâmbém é chamada de funçao de produçáo LeontieÍ, depois que o economista \vasily Leontiefutilüou esse modelo nâs relâçôes
omra na.ronJ.
164 FUNÇÕES DE PRODUÇÃo E FAToRIS DE PRoDUÇÀo
0 10 20
I (quantidade de computadores de baixa capacidade)
Fig. 6.14 lsoquantas pata uma Função de Produção Linear
Quando a empresa pode escolher entre dois tipos de computadores que só diferem na capacidade de seus dlscos rígidos, ela está diante de uma
Íunção de produção linear. Parâ armâzenâr 200 gigabytes de dados, a empresa pode utilizar 10 máquinas de alta capàcidade e nenhuma máqui-
na de baixa capacidade (ponto A). Ela também poderia empregar 20 máquinas de baixa capacidade e nenhuma máquinâ de alta capacidade
(ponto B). Ou ainda, ela poderia empregar uma combinação de máquinas (por exemplo, ponto C) sobre a .eta que une os pontos A e B. As
isoquantas de uma Íunção de prodLrção linear são linhas retas. Logo, a TlvÍSTL.( é uma constante.
lsoquanta para 3 molóêulas de água
p
€ Ê_^
ii6E.r
E
( 
-.]
H (quantidadê de átornos de hidrogênio)
Fig. 6.15 Isoquantas para uma Função de Produçâo de Proporçôes Fixas
A produção de moléculas de água é caracterizada por proporções íixas: dois átomos de hidrogênio (H) e um áromo de oxigênio (O) são neces-
sários para produziÍ uma molécula de água. As isoquantâs parâ essa função de produção possuem forma de L, o que indica que o acréscimo de
átomos de oxigênio ou de átomos de hidrogênio não produz mais água, a menos que eles se;am adicionados na proporção de dois para um.
onde a noraçào min s ign iíica ' rome o valor mínimo dos dois ú xas muda ahrupramente de1 EIrà!- q uando pa.samos na qu i-
números entre parênteses". íaãê 
"má iróàú"tu lpô-r exemplo, pontos A, B ou C). O fatoQuando os íatores de produção são combinados em propor- de que a elasticidade de substituição é zero significâ que, quan-
çôes fixas, a elasticirlade de substituiçào é zero (isto e, o = 0 ). do uma empresa está diante de uma função de produção de pro-
I-so ocorre porqUe â raxa marpjlauc++b,6Firuiçàolecn icâ ao 
_porçóeõ fixas, elê-nào rem Ílexibrlidade_para substiruir os faro-
lôi-frda i"oquanra de uma íunçào de plqduçào de proporçôes res de pledlgio. Isso põãí.", vi"ro no eieriplo-dã F-ig. oI Í
-__----.
InclinaÉo das isoquantas = - 1/2, uma
ca}Írul-o 6 165
Para produzir uma única molécula de água, existe apena§ uma
combinação de insumos: dois átomos de hidrogênio e um áto-
mo de oxigênio.
Funçã.o de Produçõo Cobb-Douglas
subitituído por trabalho não é constante à medida que-nos
substiruiçào ao
Funçao de Produçao CES o
Exisre uma função de produção que 9EI9!19!g$"e0"'
de produçáo a(ima como casos e5peciâis:E chamada de Íun-
çâo de produçâo de elasticidade de substituiçào constante(CES). E dada pela equação:
A Fig. 6.16 apresenta um ɧo-intermediário entre uma função
de produçao liqt e uma função de produção de proporções
íixa". Essa tunffide produção é coúecida como função de
p-rocluçao CobL.Douglas. e é dada pela íórmula:
Q _ ÁL^KB
onde ê, a g.É são constantellg4!9as (na Fig 6'16, esses va-
1o.". ãolõõ, 0,4 e OEEÀFi.tirat tente). Com a função de
produção Cobb-Douglas, o capital e o trabalho podem ser subs-
iirrridos um pelo outro. Diferentemente da tunçào de prglu-
ção de proporções fixas. o irprrãl-a;Cã5-"1fió p"ã.' *tlgl'-
zâãà em proporçõe5 v2liivers. Além disso, diÍerentemente da
funçáóãe pããü;;liÀêãía taxa em que o capiral pode ser
onde o, b e osão constantes positivas' Embora não seja óbvio,
a constante o nessa íunção de produção é a elasticidade de
substituição. A Fig. 6.1? mostra que à medida que ovaria en'
tre 0 e 
"o, 
as isoquintas da função de produção CES passam de
proporções fi*as puru Cobb-Douglas e, em seguida, para íun-
tituição:
. Função de produção linear (substitutos peíeitos): o : oo'
. Função de produção de proporções flxas (complementa-
res peíeitos): o- 0.
o FunÇão de produção Cobb-Douglas: o: 1'
. Função de produção CES: o é uma constante, e vaia
ent." 0 e -. As íunções de produção linear, Cobb-
Douglas e de proporções fixas são casos especiais da íun-
ção de produção CES.
c2:l oL'! + bK" l^
tffi-ae proiuçao cobb-D ouglas gr.ltçtam.*' !.'/
te igg4lql (Esse resultado é derivado no apêndice deste capí-
tulo. )
^40
!§
§
.ê
L (unidades de trabalho Por ano)
Fig. 6.16 Isoquantas para uma Função de Produção Cobb-DouglasÀIi oqrrrr,r.'pu* u-, função de produção Cobb-Douglas são curvas não-lineares de inclinação decrescence.
, i.r" ,.*""br"*".", , ír"çr. d. produção cES descreve uma íunção de produção de prcporções Íixas, quando o = 0; desoeve uma íunção de produção Cohb-Douglas'
;;'i;;;. 
'""" ""*"*'; ". ont ".i,n.nto a. ,..i',,," de matPmirn r atânçada' 
que ulnapasam o oblerivo do Liv-o
çâode prod-ução linear.e
movemos ao longo da isoquanta. Isso
L (unidades de trabalho Por ano)
Fig. 6.17 Isoquantas para uma Função de Produção CES
Aísrra apr"sà.rr^ 
^ 
iroquanta Q = I para cinco funções de produção CES diÍerentes, cada quâl correspondendo a um valor de elasticidade de
subsiituiçâo o. drterenre. A 
-"d,d, qre a rumenÉ, ;os movemos da função de produção de proporçôes íixas (o = 0) para a função de produ-
çao CobÉ-Douglas (o = 1), e em algumas vezes nos aproximamos da função de produção linear (o = co)'
166 FrrNÇôEs DE PRoDUÇÂo E FAToRES DE PRoDUÇÃo
ty 6.5 RETORNOS DE ESCAIÁ.
0
Na seção anterior, estudamos cg!gg_9q-fa!SfeC_dç-gÍgd!E& capital, K, para produzir uma quantidade de produto, Q. Ago.
po{em ser subsrituÍdos emre sr d-Lmqdqa pro juzrrumeerto ra, suponha que todos os fatores de produção sejam "reescalo-
;;.-.........'---_+.''---a" rr"m-N";ffiitrd"r"-o, .omo os aumentos nados" na mesma quantidade proporcional À > 1 (isto é, a
níquantidades dos fatores de produção afetam a quantidade quantidade de trabalho aumenta de L para lL e a quantidadeproduzida pela empresa. de capital aumenta de K para ÀK).ro Seja { o aumento propor-
cional resultante da quantidade produzida Q (isto é, a quanti-
DEpINIcÃo DE REToRNos DE EscAIÁ dade de produÇão aumenta de Q para {Q)' Então:
Z'--> ' , - r (s* S. @ ) À, remo. retornos crescentes de escala. Ne""e
'Q!3!j9 o.' blgrss-ds-pl9dlslp. possu:m f1+u!9+-!d§ \f caso. o aumenro proporcional nas quanridades de todosDôsitivor.á Droducão total da empre"à deve aumentar, quanclo:---; r -,--- :": ---.'"- -. o" fatores de produçáo resulra num aumenro mais que pro-
as quanridades de aodos os tarores de pÍodução aumentam sI-
-,riiããiái,".,," 
- 
isto é, ouando a escala de op"irçao da em- , porcronal na procluçào
Dresà aumenta. Normalmente, contudo, queremos saberfm 4 et:-:=''--" "-----.'-----i .i z. ---.i- - caso. o aumento proporciooal nas quantidades de rodos
medrr:la â Droducâo âumentarà. ouanoo tooo! os Iafofes oe pro-
--::-r'---.- i q , r os tarores de produÇão resulla num aumento exalamen-ducão toremâumentados em uma clada Dotcentagem, for exem'
.,' ;, , te propo[clonal na produçao.plo. em que medlda um tabflcantF rle seml.ÔnrllltÔres \eÍlâ \
capaz de aumentar sua produção, ;;:;il;..;ili;;r] \ st ó ' 'i' temo§ tetorno§ decrescentes de escala' Nesse
hora de trabalho e suu, 
-aq.,ir,"r-iãrlã" .;;;;"iiõ õi"i. caso' o aumento proporcional nas qtrantrdades de todos
de retornos de escala nos *.rrr" 
" ^,p1ç!i.r-p.rççq,,.,a1 ^i 
os fatores de produção resulta num aumento menos que
=---=- 
---=- 
___-- 
. , r proporcional na produçào.produção, quando a empresa aumqnta qs quantloa0er cle looos
;.;;ã;;*I"-prr-.d!r4 umaiada porceatagemr A Fig. 6-18(a) mostra os retomos crescentes de escala: se
yoA (quantidade de produto) duplicarmos as quantidades de capital e trabalho, a quantida-
Retornos de Escala de produzida irá aumenrar numa proporçào ainda maior. A Fig.
7oa (quantidade de rodos os insumos) ã-isir) *or,r" os reromos .onrtrot". d" escala, s" duplicai-
Para ilustrar o conceito de retomos de escala, suponha que a mos as quantidades de capital e trabalho, a produção dobra. Fig.
empresa utilize apenas dois íatores de produção, trabalho, L, e 6-18(c) mostra os retomos decrescentes de escala: se duplicâr-
10 Dese modo, a variação percentual em todas as quantidades de fatores de produção é (À - I ) x 100%'
CAPÍTULo 6 167
012
Q=2
Q=1
L1
(b) Betornos Constantes de Escala (c) Retornos Decrescentês de Escaja
Q =s
Q=1
L
(a) Retornos Crescentês de E§cala
Fig. 6.18 Retornos Crescentes, Constântes e Decrescentes de Escala
No painel (a), temos retornos crescentes de escala; duplicantlo as quantidarJes de caprral r rnào-ile-obra, mars do que duplicamos a quantirJadepruJuzrda \ur-arncl {br.(enro.,(,ornu.cun..,n,e.J-e...,t ,,Jupt,.and.,.qu"n,il"+.J..,ii,Jl , ,;.;*;;; i;;i,..,r.. a qu.,nrr,taJepr"Juzrdr. \op,rncl (() lemo\rerumo'JL(re\enre.Jec..dl ,,jrpl,.rnJ.,,lq.an,rJrJ..deirprr,l e m;o-J. obrc. men," do qu. Juplr.amos â quântidade produ:ida_
mos as quanridades de capital e trabaiho, a quantidade produ_
:ida aumenta menos do que o dobro.
- 
Por que os retornos de escala sâo importantesl euando
, 
um processo produrivo exibe re-rg1rlgs_çrcfçqn_1qs_de,-epgq[,_
- 
exi5tem 
_\ anrcgrn. de-j]:gnas ãpercÇôe. Je larga e.crla.
tm fanlcuLar. L'nrdgn iig jrnfElr'.erá câpaz Je produzir uma
J,d a q u, n,, d,d 
" 
?-pÍóãÇú ü m .;vaj,riiãtE;fr?noião
que duas ernpreúi dã mê;mõ tãEãíhõlàdâ quàl produzin-
do a metade da produ!âó. Toiàxemplo, se dáis íabricurltes
de semicondutores podem produzir cada 1 milhao,.Je chips
ao custo unitário de $0,10, um grande íabricante de semi-
condurores poderia produzir 2 milhões de chips por menos
de $0,10. Isso ocorre porque, com retornos crescentes de
escala, uma empresa grande precisa empregar menos que o
dobro de unidades de mão-de-obra 
" 
iapitnl d" 
"-pi".^smenores para produzir o dobro de produção. Se uma empre-
sa grande tivesse vantagem de custos em relação às empre-
\ar menore.. o mercado.eria mai. eticienremente sen idopor
uma grande (mpr§\c do que por várias a*pra,r..anora..
Essa vantagem de custo em virtude da operação em larga es-
cala tem sido a jusriíicativa tradicion4l !4ra permitir qlre as
empresas opereà-coúo monopólios regrt"ãóJà. .ãiàrao,
como ó de energra elérrica e d< rransporte de perróleo eÀ
dur os.
A funçáo de produção Cobb-Douglas exibe retor-
nos de escala constantes, crescentes ou decrescen-
tesi
Soluçâo
Sejam L, e K, as quanridades iniciais de trabalho
e capital e seja Q, a quanridade inicial, de modo que:q: ÁL,i r{i
Agora, vamos aumenrâr as quantidades de todos os fatores
de.produção na mesma proporção 
^, 
À > 1, e seja e, a quan-
tidade resultante de produção:
EXERCÍCIO 6
Q, - Á(.^L)'(^K)p
= Ái^LiipKq
- 
^.*BAL1KPI
_ t *pet
Portanto, a existência de retornos crescentes. constântes ôu
decrescentes de escala depende de se o termo À"*Ê é maior,
igual ou menor do que À. Com base nas proprierlades clos
expoentes, sabemos que À" É será maior, igualou menor do
que À, dependendo de se o expoenre a l p é maior, igual
ou menor do que 1. Mais especificamente, se
. ai §> 1, enrâo À"-p > À, e enrão: er > Àer. Logo,
temos retornos crescentes de escala.
APRENDA COM O
Retomos de Escala para a Função
de Produção Cobb-Douglas
Problema
EE
b-
E
a-
E.
t-
FuNÇõEs DE PRoDUçÀo E FA'roREs DE PRoDUÇÃo
. d + B:1, então À@*p = À, e então: Q, : ÀQ,. Logo,
temos retornos constantes de escala.
. qi B< 1, então Àd*p < À, e então: Q, < ÀQ,. Logo,
temos tetomos decrescentes de escala.
Logo, a função de produção Cobb-Douglas pode exibir re-
tomos de escala crescentes ou decrescentes. Em particular,
essa análise mostra que asomjt dqs-expo-e,nt.e,!.qt-0.naÍun-
çào de produçào Cobb-DouglasdererrnrnÀ o gr-du em que o)
reLomã. de e.cala 
"ào cre"centes. con.ranre' 
ou decrescen-
res. Por essa mzão, os economistas têm dedicado bastante
atenção à estimação da somâ desses expoentes, ao estudar
íunções de produção em indústrias específicas.
F,XEMPLO 6.4
Retornos de Escala na Geração de Energia Elétrica
Os retomos de escala têm sido muito estudados na geração de
energia elétrica. O trabalho pioneiro sobre retomos de escala
na gerâção de eletricidade foi feito pelo economista Marc
Nerlove.rl Utilizando os dados de 143 empresas do setor elé-
trico dos Btados Unidos durante o ano de 1955, Nerlove estr-
mou os expoentes da função de produção Cobb-Douglas e ob-
teve uma soma maior do que 1. Como vimos em Aprenda com
o Exercício 6.1, isso implica que a geração de eletricidade está
sujeita a retomos crescentes de escala. Outros estudos sobre o
mesmo setor utiiizando dados dos anos 50 e 60 também encon-
traram evidências de retomos crescentesde escala. Enüetanto,
alguns estudos usando dados mais recentes (e modelos frrncio-
nais diferentes da Árnção de produção Cobb-Douglar) concluí-
ram que atualmente a geraçáo de eletricidade em grandes plan-
tas está caracterizada por retomos constantes de escala.ll
É possível que ambas as conclusões estejam corretas? Tal-
vez. Se ambas estão corretas 
- 
isto é, se a geração era carac-
terizada por retornos ctescentes de escala nos anos 50 e ó0 e
de Iá para cá está caracterizada por retornos constantes de es-
cala 
- 
deveríamos esperar um crescimento na escala de uni-
dades de geração ao longo dos anos 50 e 60, seguido pot um
crescimento menor nos ano§ seguintes. Isso é exatamente o
que podemos observar. A capacidade média de todas as uni-
dades instaladas entre 1960 e 1964 era de 151,7 megawatts.
No período 19?0- 19?4, a capacidade média das novas unida-
des tinha crescido para 400,3 megawatts. Ao longo dos 10 anos
seguintes, a capacidade média das novas unidades continuou
crescendo. mas mais lentamente: de todas as unidades insta-
iadas entre 1980 e 1982, a capacidade média era de 490,3
megawatts.Li
R-nronNosDE EscAt-a vERSUs RENDIMENToS
ManctNars DrcnsscnNrrs
É i-po.tu.rt" entender a diíerença entre os conceitos de re'
tomos de escala e rendimentos marginais decrescentes, ana-
lisado na seção 6.2. Os retomos de escala se reíerem ao im-
pacto de um aumento simultâneo das quantidades utilizadas
de todos os íatores de produção, enquanto os rendimentos
marginais decrescentes se reíerem ao impacto de um aumen-
to na quantidade de um fator de produção, como o trabalho,
mantendo as quantidades de todos os demais fatores de pro-
dução Íixos.
A Fig. 6- 19 faz essa distinção, Se duplicarmos a quantidade
de rabalho, de l0 para 20 unidades por ano, mantendo a quan-
tidade de capital fixa em L0 unidades por arlo, nos moveremos
do ponto A para o B, e a produção subirá de 100 para 140. Se
aumentarmos a quantidade de trabalho de 20 para 30, nc
movemos do ponto B para o C. A produção subirá ainda mair
mas apenas para 170. Nesse caso, temos rendimentos'marg:
nais decrescentes para o trabalho: O aumento na produçã
acarretado por um aumento de 10 unidades na quantidade d
trabalho diminui à medida que acrescentamos mais mão-de
obra.
Por outro lado, se duplicarmos as quantidades de trabalho
capital para 20 unidades por ano, nos moveremos do ponto,
para D, e a produção duplicará de 100 para 200 unidades pt
ano. Se triplicarmos as quantidades de trabalho e capital par
30 unidades por ano, nos movetemos do ponto A para E, e
produção triplicará de 100 para 300 unidades por ano. Na íur
ção de produção da Fig. 6.19, temos retornos constantes d
escala, mas rendimentos marginais dectescentes para o tft
balho.
StanÍord Univenity Pres, 19ó3), pp. 167-l98
L: Veja T. G. Cowing e V. K. SmirL i'The Esrimârion of a Production Technology,A Survey of Econometric Analysis oiSteam Elecnic Genention," lz? Economics (M
lgi6), pr. 15?-1?ú e L. R. Chrntensen e !í. Creene, "Economies ofscale in U.S. Elecrric Power Generation;' lounal ofPolucalEcotot4 (A,gusi 1976), pp. 655'6i6.
1981).
CAPÍnLo 6 169
Ê30
820§
'c
- 10
Fig. 6.19 Rendimentos Marginais Deciescentes versus Retornos de
Escala
Se mantivermos o capitalfixo em 10 unidades e aumenmrmos â mão-
de-obra de 10 para 20 e depois para 30 unidades, nos deslocaremos do
ponto A para o ponto B e depois para o ponto C. O aumento na pro-
dução de A para B é de 40 unidades e o aumento na produção de B
para C é de 30 unidades. Portanto, o aumento naprodução acaretado
porum aumenrode 10 unidadesde mão,de-obra diminui, quando em-
pregamos mais mão-de-obra. Mas essa 6.rnção de produção também exi-
be retomos constantes de escala. Partindo do pontoA, se duplicarmos
âs quantidâdes de capital e rrabalho, a produção dobra (isto é, nos
rnovemos de A para D), e se triplicarmos as quantidades de capital e
trabalho, a produção triplica (isto é, nos movemos de A para E). Essa
figura também mostra que rendimentos marginais decrescentes e re-
tomos de escala são conceitos bem distinrôs.
EXEMPLO 6-5
Retornos de Escala nos Oleodutos
l
de geração daquelaOutra indústria em que os retornos de escala têm sido mui-
to estudados é a de transporte de petróleo através de dutos.
O produto de um oleoduto é o volume de petróleo transpor-
tado pelo duto durante um dado período 
- 
em geral châ-
mado de capacid.aÀe de processamento. É em geral medido em
barris de petróleo por dia. A capacidade de processamento
de um oleoduto de uma certâ largum depende basicamente
de dois fatores: o volume do duto (isro é, diâmetro) e a quan-
tidade de energia (cavalo-vapor hidráulico) que é aplicada
ao petróleo à medida que ele circula no oleoduto. Para uma
quantia íixa de cavalo-vapor, um oleoduto maior resultará
numa capacidade de processamento maior. Para um duto de
dado tamanho, quanto mais cavalo-vapor, maior a capaci-
dade de processamento. Ao planejar um oleoduto, uma
empresa controla os dois fatores. ELa pode influenciar o ca-
valo-vapor por meio do número de estações de bombeamen-
to que instala ao longo do oleoduto. E é claro que ela pode
escolher o diâmetro do próprio oleoduto. Como as estações
de bombeamento sào caras e o dulo toma-se mais caro quàn-
to maior for o seu diâmetro, ao planejar um oleoduto, a
empresa deve avaliar os benefícios de uma capacidade de
plocessamento maior contra os gastos
capacidade.
Diferentemente da geração de energia elétrica em que os
retornos de escala têm sido estimados através de técnicas es.
tatísticas, os retornos de escala nos oleodutos podem ser de-
duzidos de princípios de engenharia. Aplicando esses princí-
pios, obtém.se a função de produção Cobb-Douglas:ta
Q AHo37(t7t
onde H representa o cavalo-vapor hidráulico, Krepresenta o
volume do duto, Q representa a capacidade de processamen-
to, e A é uma constante que depende de vários Éatores, como
a extensão do oleoduto, a variação no te[eno em que o duto
passa e a viscosidade do petróleo. Como os expoentes de H e
K somados dão um número maior do que um, essa íunção de
produção exibe retomos crescentes de escala. lsto é, se dupli-
carmos o diâmetro do duto e dup[icarmos o cavalo.vapor uti-
lizado para bombeá-lo, a capacidade de processamento do
peróleo mais do que dobra. lsso signiíica que existem vanta-
gens significativas de custo na construçáo de oleodutos com
grandes dutos e poderosas estações de bombeamento.
" 
Es-a e uma aproximação de uma Íórmula apresentada em L. Cockenboo, Crrde OilPipeLir,es úàC.rr/ttendon in úe Oil l *rr1 (Cambridge, MA: Harvard University pres,
1955).
170 FuNçÕEs DE PRoDUçÁo E FÀroREs DE PRoDUÇÃo
lógico captura a idéia de que as funções de produção podem se
de".loca, ào longo do tempo. Em particular, o progresso tecno'
lógico se refere à §ltuaçào em que a empresa pode obter mais
prãJu,ou prr,i, de uma dada combinaçâo de [arores de pro-
ã"ç*, ã" àt-A"ntemente' a mesma quantidade de produ'
ção a parti de menos insumos'
E
!p
'6
-9
Ê.
6.6 PROGRESSO TECNOLOGTCO
Até agora temos suposto que a função de produção da empresa
está d;da, isto é, que permanece estacionária ao longo do tem-
0.. úrí*"aia*uJ o conhecimento na economia evolui e a
!rr,.o.""a adqri.e.onhecimenro por meio da experiência e dos
ir;t;i;;;;.t em pesquisa e di'enuol'imento a íunçáo de
produção da emplesa irá variar' A noção de progresso tecno'
lsoquanta €. i 1 00 aÍ-rtê§
do piogre§so têenológico
lsoquanta O= 1Oo dePois
do progresso tecnológico
o L (unidades de trabalho Por ano)
If:Í;3lJ;:l:::: I::iiÍi.:'"*:t",'-,,."quarra correspondente a <leterminado nível c1e produção se <Jeslocapara dentro, mas arMSr. "
u.rlooeo d" quãlqu"t ,aio a parrir da orrgem como O A' pe rmanece 
( onsrânte
0 L {unloaoes oe IraoarÍro pur dl'u/
Fiq. 6.21 Progtesso Tecnológico Poupador de Trabalho\r^ ^^-^ ,1^ -.^-.a.§^ r"".,rlóoico oouoador de trabalho, uma isoquanta correspondente a determinado nível de produção 
se desloca para den-
i;;';;:;i-ütil;" ü.cÀã' qi"r'i*, 
'aro 
a panir da orrgem como o A diminur'
I {unidades de trabalho Por ano)
I
é
O L (unidades de trabalho Por ano)
Podemos classificar o progre§so tecnológico em trê§ catego'
riasi progresso tecnológico neutro, progres§o tecnológico pou-
padoi de trabatho e prcgresso tecnológico poupador de capi-
ra1.r5 A Fig. 6-20 apresenta o progre§so tecnológico neutro'
Nesse caso, uma isoquanta correspondente a um dado nível de
produção (100 unidades na figura) desloca-se para dentro (in-
ài.rrláo q,l" *.not quantidades de üabalho e capital serão ne'
cessárias para produzirum dado nível de produção), mas as iso-
quantas se deslocam de modo a deixar a TIVÍST.,ç, taxa margi-
nal de substituição técnica de capital por trabalho, constante
ao iongo de qualquer raio (por exemplo, OA) que parte da ori-
g.*. l.io .rró do ptogrcsso tecnológico neuro, todo o mapa de
Loqurrrtu, d" .*ptesa é simplesmente renomeado, cada qual
correspondendo a um nível de produção maior, apesar das iso-
quantas mantercm o mesmoformato.
A Fig. 6-21 apresenta o progresso tecnológico poupador de
trabalhô. Como antes, a isoquanta correspondente a um dado
nível de produção se desloca para denüo, mas ao longo de qual-
quer raió a partir da origem, â isoquanta se toma mais plana,
Fig. 6.22 Progresso Tecnológico Poupador de
Capital
No caso do progresso tecnológico poupador de capi'
tal, uma isoquanta correspondente a determinado ní-
vel de produção se desloca para dentro, mas a TMST1,"
ao longo de qualquer raio a panir da origem, como OA,
aumenta.
indicando que a TMST. * é agora menor do que antes. Você
deve lembrar que na seção 6.3 vimos que TMST1," : py/py",
de modo que a redução na TMST.," implica que segundo esse
modelo de progresso tecnológico, o produto marginal do ca'
pital aumenta mais rapidamente do que o produto marginal
áo trabalho. Esse tipo de progresso tecnológico poderia sur-
gir, quando os avanços técnico§ nos equipamentos de- capi'
iul, na robótica ou .ta informática aumenta§sem a produtivi-
dade marginal do capital em relação à produtividade marginal
do nabalho.
A Fig. 6-22 apresenta o ptogre§so tecnológico poupador de
capital. À medida que a isoquanta se desloca para dentro'
TMST, * 
".,-..ttu, 
indicando que o produto marginal do tra'
balho eitá crescendo mais rapidamente do que o produto mar-
ginal do capital. Essa forma de progresso tecnológico poderia
surgir, por exemplo, com o aumento da educaçâo ou do nível
de ireinamento da íorça de trabalho (e potencial) da empresa,
aumentando a produtividade marginal do trabalho em relação
ao produto marginal do caPital.
F,XEMPLO 6.6
Progresso Tecnológico e Crescimento da Produtividade nas
Indústrias do Reino Unido
Banu Suer estimou a magnitude e a natureza do progresso as indústrias incluídas no estudo estavaml química geral, far-
L".rológi"o 
"- 
lrárias inãústrias no Reino UnidoJ6 Dentre macêutica, tintas, sabão, detergente, borracha sintética, plás-
'r l. R. Hicks,Ifu TÀeory ofWages (London: Macnillan, 1932).
w.277 -28s.
CAPtruLo 6
L (unidades de trabalho Por ano)
172 FuNÇôEs DE PRoDUÇÃo E FAToRES DE PRorJLiçÀo
ticos e resina sintéticos, corantes e pigmentos, e fertilizantes.
No Reino Unido, essas indústrias tradicionalmente apresen-
ram a[ra. margen" de lucro. raxas de trtr e'rimenlo em pe'qui'a
e desenvolvimento acima da média dâs indúsrias britânicas,
bem como taxas médias de registro de patente superiores. Nor-
maLmente, essas indústrias têm apresentado recordes de pro'
dutividade, mas a taxa de crescÍrento da produtividade do
trabalho declinou substancialmente depois da crise do petró-
leo de 19?3. Contudo, desde 1981, a produtividade do traba-
tho nessas indústrias vem melhorando. lsso coincide com o
período em que essas indústrias reduziram bastante o tama-
nho de suas íorças de rrabalho por meio de demissôes.
Suer encontrou evidências de progresso tecnológico sig-
nificativo nas indústrias que analisou. Esse progresso tecno-
lógico não era neutro. Em vez disso, ele resultava no aumen-
to do produto margrnal do capital em relação ao produto mar-
ginal do trabalho (isto é, o progresso tecnológico era poupa-
dor de trabalho). A signiíicativa redução no emprego do tra-
balho nas indústrias que Suer estudou é um sinal de que esse
tipo de progresso tecnológico estava ocorrendo.
RESUMO DO CAPITULO
Afunçãode produção representa as várias tecnologias que a empresa
pode escoiher na conÍiguração de seu processo produtivo. Ela repre-
senta a quantidade mátima de produto que a empresa pode obter err
íunção das quantidades empregad:rs dos vários fatores de produção.
As funçôes de produção de um único íator de prodrrção variável
são chamadas de Írrnção produto total. Em geml, uma tunção pro-
duto toral possui três regiões: a região de rendimentos màrginâis
crescentes, a região de rendimentos marginais decrescentes e a
região de rendimentos totais decrescentes
O produto médio do trabalho é igual à produção por unidade de
tmbalho. O prorluto rnarginal do trabalho é igual aovolume de pro-
dução adicional ocasionado pela varração na quantidade de mão-
de-obra utilizada pela empresa.
A lei dos rendimenros mârginais decrescentes di: que à medida que
â utilização de um insumo aLLmenta (por exemplo, mão_de-ol,'ra)
- 
mantendo-se constantes as quantidades <los demais insumos,
como capital ou terra- a partir de um certo ponto, o produto mar-
ginal do insumo irá diminuir.
As isoquantas representam lunções de produção com r'ários fatores
de produção variár,eis num gráÍico bidimensional. Uma isoquanta
mostra todâs as combinações de trabalho e capital que produzem a
mesma quantidade de produção. Cada isoqr.ranta corresponde a um
determinarlo nívelde produção, e à medida que nos movemos Fara
a regr.iun.rde.te Juerálr..r. poJerno'entonlr-rrà\ r'oqurlrlr' (ol
re.prnJenret a nive'. Je pruJLl\;u . ad r ve: miior' '
Para algumas ftrnções de produção, as isoquantas apresenlam uma
região de inclinação crescente e curvada pârâ trás. Essa região é
chamada de região não econômica de produção. Nessa região, um
dos fatores de produção apresenla produto marginai negativo. A
regrio.c.nómr.c de J'roduq.r.,. rquela .rr qur à\ r'oqtranr'ts po.'
suem inclinação decrescente.
A taxa marginal de substituição técnica de capital por trabalho nos
diz a raxa em que a quantidade de caprtalpode ser reduzida para cada
unidadede aumenro na quântidâdede irabalho, mantenrlo-se cons-
tante a quantidàde produzidâ. Mâtemâticamente, a raxa marginal
de substituição técnicà de capital por trabalho é igual à razão do
produto marginal do trabalho pelo prorJuto marginirl do capital.
As isoquantas convexâs em relàção à origem exibem ta-xa rnarginal
de substituição técnica decrescente (isto é, a ta-'<a marginal de subs-
tirlrição diminlri à medidaque nos movemos parabaixo ao longo de
uma isoquanra). Quando a taxa marginal de substiluição técnica dl'
minui, cada vez menos unidades de capital podem ser sacriíicadâs à
medida em que aumenta a quântidâde utilizada de trabalho.
A elasticidade ,le substituição é uma medida da curvatura de uma
isoquanta. Em termos mais específicos, ela mede a variação per-
centual em K/L para câda variação de 17o na TMST1"-.
Existem três trpos lmportantes de 6lnção de produçãor função de
produção linear, lunção de produção de proporções Íixas e função
de produção Cobh'Douglàs. Câda umâdelas é um caso especial das
funções de produção de elasticidade de substituição conslânte.
Os rerornos de escala mostram quanto a produção âumenlará,
quando todos os fatores de produção aumentarem nurna dada por-
centagem. Sc com um dado aumento percentual nas quantidades
de todos os fatores de proclução, a produção aumenta mais que pro'
porcionalmente, existem retomos crescentes de escala Se com um
dado aumento percenrual nas quantidades de todos os fatores de
produção, a frodüção aumentà menos qtre proporcionalmente,
existem retomos decrescentes de escala. Se corn um dado aumen-
to percentual nas quantidades de todos os làtores de produção, a
pruduçà,, arrmenra er,)lrmenle nJ mecmâ rrulol\ào exl'r(rn le-
tornos constantes de escala.
O progresso recnológico se refere a uma situirção em que â empre-
sa pode produ:ir mais â partir de uma dada combinação de farores
de produção, ou pode produzír a mesma quantidade de produção
urilizândo umâ quantidade menor de fatores de prorlução. O pro-
gresso tecnológico pode ser neutro, potrpador de trabalho ou pou-
pador de capital.
1.
QUESTÕES PARA REVISÃO
AÍirmàmos anteriornente que afunçàode protJução nos dá aquan, tidades de insrnnos. Por que incluímos o termo máÍirna nessâ deíi-
tidarle mrírma de produto que a empresa pode obler corn suâs quan- nição ?