Exercícios expressões algébricas com gabarito 03

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 AULA 6 
 
 
Expressões Algébricas
 
São expressões matemáticas que envolvem 
números, letras e as operações indicadas 
entre eles. As letras são as variáveis de uma 
expressão algébrica e podem representar 
qualquer número real. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 10ax + 4b 
b) ax2 + bx + c 
c) 7a 
 
 
Valor numérico de uma expressão 
algébrica 
 
É o resultado que obtemos quando 
atribuímos às letras dessa expressão valores 
numéricos e efetuamos as operações nela 
indicadas. 
 
Exemplo: A expressão 20t representa a 
quantidade de parafusos produzidos em t 
horas. Determine quanto parafusos são 
produzidos em 4 horas. 
 
Substituindo t por 4 na expressão 20t 
obtemos a quantidade de parafusos 
produzidos em 4 horas. Assim, 20t=20.4=80 
parafusos. 
 
 
Monômio 
 
São expressões algébricas que representam 
um produto de números reais por uma parte 
literal formada por letras e seus expoentes, 
que devem ser números naturais. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Forma reduzida e monômios semelhantes
 
Podemos escrever o monômio 6.a.(-3).x2 em 
uma forma reduzida sendo dada por 
-18ax2. 
 
Além disso, dois ou mais monômios são 
chamados semelhantes quando têm partes 
literais iguais. 
 
Exemplo: 2a2b e -5a2b são monômios 
semelhantes. 
 
 
Operações entre monômios
 
 
Adição e Subtração entre monômios 
 
A soma ou a diferença de dois monômios 
semelhantes é um monômio com: 
 Coeficiente igual à soma algébrica dos 
coeficientes; 
 Parte literal igual à desses monômios. 
 
 
Exemplos: 
a) 3x2y3 + 5 x2y3 = (3 + 5) x2y3 = 8 x2y3 
 
b) 39x5y4 25 x5y4 5y4=14x5y4
 
 
Multiplicação e Divisão entre monômios 
 
Multiplicação entre monômios 
 
A multiplicação entre dois ou mais monômios 
é um monômio com: 
 Coeficiente igual ao produto dos 
coeficientes desses monômios; 
 Parte literal igual ao produto das partes 
literais desses monômios. 
 
Exemplo: 
 
(2ax2).(5a3xy) = (-2.5).a.a3.x2.x.y=
 = -10.a1+3.x2+1.y = 
 = -10a4x3y 
 
 
Divisão entre monômios
 
A divisão ou quociente entre dois monômios 
com divisor diferente de zero, tem: 
 Coeficiente igual ao quociente entre os 
coeficientes desses monômios; 
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Parte literal igual ao quociente entre as 
partes literais desses monômios. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Potência de um monômio 
 
A potência de um monômio é um monômio 
com: 
 Coeficiente igual à potência do 
coeficiente desse monômio; 
 Parte literal igual à potência da parte 
literal desse monômio. 
 
Exemplo: 
 
 
Simplificação de expressões algébricas 
 
Podemos simplificar as expressões 
algébricas que envolvem operações 
procedendo da mesma forma que em 
expressões numéricas. Efetuamos primeiro 
às potências, em seguida calculamos os 
produtos e o quocientes e, finalmente, as 
somas algébricas, reduzindo os termos 
semelhantes. 
 
Exemplo: Simplifique a expressão algébrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Binômios Trinômios e Polinômios 
 
Binômio: é uma soma algébrica de dois 
monômios. Exemplo: ax + b 
 
Trinômio: é uma soma algébrica de três 
monômios. Exemplo: ax2 + bx + c
 
Polinômio: é uma soma algébrica de 
monômios. 
 
Obs: Monômios também podem ser 
chamados de polinômios. 
 
Grau de um polinômio (não nulo) com uma 
variável é o maior expoente da variável que 
tem coeficiente diferente de zero. 
 
Exemplo:O grau do polinômio 6t2 + 20t -3 é 2, 
pois é o maior expoente de t com coeficiente 
diferente de zero. 
 
Operações entre polinômios 
 
Adição e subtração de polinômios 
 
Para somar ou subtrair polinômios, 
colocamos termo semelhante abaixo de 
termo semelhante e efetuamos a adição ou 
subtração. Veja os exemplos a seguir: 
 
a) (a + 4ab) + (9a - 6ab - 6) = 
 =10ª 2ab 6 
 
 a + 4ab 
 + 9a 6ab 6 
 ----------------------
 10a 2ab 6 
 
b) (8x3 + 6x2 7) (7x2 5) = 
 = 8x3 - x2 2 
 
Para calcular a diferença, eliminamos os 
parênteses trocando os sinais de 7x2 5. Em 
seguida, efetuamos a adição entre os 
polinômios. 
 
 8x3+ 6x2 7 
 + - 7x2 + 5 é o oposto 7x2 5.
 ---------------------- 
 8x3 - x2 2 
 
Multiplicação e divisão de polinômios 
 
Calculamos o produto de dois polinômios
multiplicando cada termo de um deles por 
todos os termos do outro e reduzindo os 
termos semelhantes. 
 
Exemplo: Determine o produto:
 
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Dividimos um polinômio por um monômio, 
não nulo, dividindo cada termo desse 
polinômio por esse monômio. 
 
Exemplo: Faça a divisão de 36x6 12x5 por 
6x2. 
 
(36x6 12x5) 6x2 = 
 
 
 
 
Dividimos um polinômio por outro 
polinômio, não nulo, de maneira semelhante 
ao utilizado para os números. 
 
Em geral, em uma divisão de polinômios 
podemos escrever uma relação entre 
multiplicação e divisão: quociente x divisor + 
resto = dividendo. 
 
Por exemplo: Na divisão de (6x3 5x2 17x 
 1) por (x-2): 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Para calcular o quociente e o resto da divisão 
entre x4+ 4x3 + 4x2 + 9 por x2 + x 1, 
escrevemos os polinômios na forma 
completa e na ordem decrescente dos 
expoentes dos monômios.
 
Inicialmente, dividimos o termo de maior grau 
do dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor. 
 
Em seguida, calculamos x2 . (x2 + x 1) e 
subtraímos o resultado do dividendo. ... ou 
adicionamos o oposto a ele. 
 
Faremos este processo, até que o resto da 
divisão resulte em um polinômio cujo grau é 
menor do que o grau do divisor. Assim:
 
 
 
 
EXERCÍCIOS Aula 6 
 
 
 
01) Escreva cada frase a seguir usando 
uma expressão algébrica: 
a) A soma do quadrado de um número x
com um número y. 
b) O quociente entre o quadrado de um 
número a e o quadrado de um 
número b, diferente de zero, nessa 
ordem. 
c) O quadrado da diferença entre um 
número x e um número y, nessa 
ordem. 
 
02) Determine o valor numérico da 
expressão a2 + 2ª + 3 para a = - 5 
 
03) Qual é o valor numérico da expressão 
algébrica: para y = 4? 
 
04) Determine o valor de x para o qual 
não existe o valor numérico destas 
expressões algébricas:
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a) ; b) ; c) 
05) Para quais valores de x o valor 
numérico da expressão 
não é um número real? 
a) x = 0; b) x = 4; c) x = 6,4 d) x = 10 
 
Determine o valor numérico dessa 
expressão algébrica quando ele for um 
número real. 
 
06) Os monômios e são 
semelhantes? Justifique sua resposta. 
 
07) Quando um monômio é nulo? 
 
08) Calcule a soma e a diferença, na 
ordem dada, entre estes monômios: 
 
a) -5x2 e -7x2 
b) ay3 e 10ay3 
c) e 
d) e 
e) e 
 
09) Qual é o monômio que na forma 
reduzida corresponde a: 
? 
 
10) Calcule estas somas algébricas: 
 
a) 
 
b) 
 
11) Qual é o monômio que multiplicado 
por 20x3y tem como produto -18x4y2? 
 
12) Calcule os produtos: 
a) 
b) 
c) 
 
13) Efetue as operações e simplifique as 
expressões algébricas:
 
a) (3y2) - y2 + 3y2
b) 
c) 
 
14) Qual é o quadrado de 11ª2b3? 
 
15) Calcule as potências: 
a) (-3x2y3)3 
b) (0,2y2z)5 
c) 
d) 0,3ay4)2 
e) 1,2ª4b2)2 
f) 
 
16) Simplifique as expressões algébricas: 
a) 
b) 
c) 
 
17) Qual é o resultado de 
? 
 
18) Considere a expressão algébrica 
(5y+4y)2 - (5y 4y)2 e responda:
a) Ela é um monômio? Qual? 
b) Qual é o valor numérico da expressão 
para y = -3? 
 
19) O valor numérico da expressão a3 
3a2 . x2 . y2 , em que a = 10, x = 3 e y 
= 1, é igual a: _____ 
 
20) Um polinômio que possui monômios 
semelhantes pode ser escrito na 
forma reduzida, ou seja, com um 
número menor de termos. Em posse 
dessa informação, determine aforma 
reduzida dos polinômios: 
 
a) 
b) 
50
 
 
21) Qual é o valor numérico do polinômio 
y4 y2 + 1 para y = -1/2 
 
22) Qual é o valor numérico do polinômio 
 para y = - 4 
 
23) Calcule o valor de y para o qual o 
valor numérico do polinômio 5y 7 é 
13. 
 
24) Para qual valor de a o valor numérico 
do binômio é igual a zero? 
 
25) Quais são os valores de m e n para 
que o polinômio (m 2)y3 + (2n 1)y2
seja nulo? 
 
26) Obtenha a soma de (-25ª + 7ab) com 
(-4ab + 16a) 
 
27) Calcule (32a 40b 18c) (27a 
18c 27b) 
 
28) Calcule A B, sendo A = -3m2 + 20m 
+ 14 e B = 14 + 31m 10m2 
 
29) Calcule a soma de com 
 
 
30) Que polinômio adicionado a 8a3 + 
14a2 9 resulta em a3 + a2 2ª + 6 ? 
 
31) A soma de dois polinômios é igual a 
. Um deles é 
. Qual é o outro 
polinômio? 
 
32) Considere os polinômios A = x2 
2xy+ 4y2 e B = -2x2 + 2xy + 4y2.
 
a) Qual é o resultado de (A B)? 
b) Qual é o valor numérico de (A 
B) para x = 1 e y = ¼ ? 
c) Que expressão algébrica se 
obtém para (A - B)? 
d) Relacione o valor numérico de 
(A B) para x = 1 e y = ¼ com o 
valor de (A B) obtido no item b.
 
33) Que monômio deve ser adicionado a 
7a4 4a2 12a + 19 para se obter um 
trinômio do 2º grau? 
 
34) Qual é o produto do monômio -13ab2
pelo polinômio (-2ª + 5b 3a2b 6)?
 
35) Considere P = e Q = 
 
a) Qual é o produto de P por Q? 
b) Qual é o valor numérico de P.q 
para m = - 2 e n = 0? 
 
36) Calcule o produto dos seguintes 
polinômios:
a) (x + 3).(x + 3) 
b) (5a + 1).(5a + 2) 
c) (y + 4).(y2 + 3y) 
d) (12x + 30).(x/6 + 1/3) 
e) (x + 1/3).(9x + 15) 
f) (x + 2).(x2 2x + 4) 
g) (12x2 + 6x 3).(2x 1) 
h) (7y2 + 2y + 2).(10y2 + 4y 4)
 
37) Sabendo que P = 9a2 3ª, M = 3ª + 1 
e R = 9a2 + 1, responda:
a) Qual é o polinômio P.M.R ? 
b) Qual é o polinômio ? 
 
38) Dados os polinômios A = x 1, B = x2
+ x e C = x, determine os polinômios: 
a) A.B 
b) B.C 
c) A.a ou A2 
d) A.B B.C + A.C 
 
39) Calcule o produto dos polinômios e 
reduza os termos semelhantes:
a) a.(2a + b + 2) + b.(- a b+ 12) 
12.(a + b- 1) 
b) (3x - 2).(2x + 3) 6x.(x + 1)
 
40) Se A = x.(3x 1) e B = (x + 5).(3x 2) 
determine os polinômios: 
a) A B 
b) 13.(A B) 
 
41) Que polinômio é o resultado da 
divisão de 36x2 12x5 por 6x2?