Aula 3. ZAB0262

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1 
Características Numéricas de uma 
Distribuição de Dados 
Medidas de assimetria e 
 Medidas de achatamento ou curtose 
Medidas de Assimetria 
Essas medidas procuram caracterizar como e quanto a distribuição 
de frequências se afasta da condição de simetria. 
Distribuições alongadas a direita são ditas Positivamente 
Assimétricas. 
Distribuições alongadas a esquerda são ditas Negativamente 
Assimétricas. 
Medidas de Assimetria 
Baseado no fato de que em distribuições assimétricas a média 
tende a situar-se entre a moda e a cauda mais longa, Pearson 
propôs o seguinte coeficiente de assimetria: 
XS
mX
A 0
ˆ

O Índice de Assimetria de Pearson também pode ser facilmente 
classificado: 
15,0|| A
=> Distribuição praticamente Simétrica; 
0,1||15,0  A
=> Distribuição moderadamente Assimétrica; 
0,1|| A
=> Distribuição fortemente Assimétrica. 
5,54
50
725.2
mˆˆX 1 

 
n
fX ii
k
i
   
h
ffff
ff
Lm
pmoamo
amo
io


ˆ
833,525
48
8
5,49ˆ 

om
17,46
1
2
1
2
12 












N
N
fX
fX
S
ii
k
i
ii
k
i
X
79,617,46 XS
Medidas de Assimetria 
246,0
79,6
833,525,54ˆ 0 




XS
mX
A
Exemplo: Tempo (em segundos) gasto por um funcionário 
Cálculo da moda 
Classes xi fi Pmifi 
40 

 45 42 3 126 
45 

 50 47 8 376 
50 

 55 52 16 832 
55 

 60 57 12 684 
60 

 65 62 7 434 
65 

 70 67 3 201 
70 

 75 72 1 72 
50 2.725 
Medidas de Assimetria 
Exemplo: Tempo (em segundos) gasto por um funcionário 
246,0
79,6
833,525,54ˆ 0 




XS
mX
A
Pelo Índice de Assimetria de Pearson essa distribuição seria 
classificada como “Moderadamente Assimétrica”, pois 
 . 
0,1||15,0  A
De fato isso ocorre, pois 
quando utilizados a Técnica 
de Descrição Gráfica para 
Variáveis Quantitativas 
Contínuas, já havíamos 
detectados a Assimetria 
Moderada. 
0 
5 
10 
15 
20 
37 42 47 52 57 62 67 72 
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a 
ab
so
lu
ta
 
Classes (X) 
Histograma 
Medidas de Assimetria 
Fórmulas: 
3
1
1
 




 

S
XX
n
b i
Action 
3
1
)2)(1(
 




 


S
XX
nn
n
b i
Excel (Distorção) 
2 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Essas medidas procuram caracterizar a forma da distribuição quanto 
ao seu achatamento. 
O termo médio de comparação é dado pela Distribuição Normal, que 
é um modelo teórico de distribuição relacionado à Probabilidades. 
Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes situações: 
Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas. 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Uma medida de achatamento pode ser obtida pelo Grau de Curtose, 
dado pelo coeficiente: 
)(2 1090
13
PP
QQ
K



3Q
= é o 3º Quartil; 
1Q
= é o 1º Quartil; 
90P
= é o 90º Percentil; 
10P
= é o 10º Percentil. 
em que, 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado 
de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da 
amostra ou população. 
Assim, no caso de uma amostra ordenada, 
 
2Q1Q 3Q
0% 25% 50% 75% 100% 
em que, 
1Q
= quartil inferior = é o valor aos 25% da amostra ordenada; 
2Q
= mediana =é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada; 
3Q
= quartil superior = valor a partir do qual se encontram 25% dos valores 
mais elevados . 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
 Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis 
quantitativas contínuas 
(a) Determinação de Q1: 
(ii) Identifica-se a classe de Q1 pela Fi (freq. acumulada); 
(iii) Aplica-se a fórmula: 
h
f
F
n
LQ
Q
a
Q .
4
1
11







(i) Calcula-se: ; 
4
n
Medidas de Achatamento ou Curtose 
 Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis 
quantitativas contínuas (continuação) 
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q .
4
3
3
33







(b) Determinação de Q3: 
(ii) Identifica-se a classe de Q3 pela Fi (freq. acumulada); 
(iii) Aplica-se a fórmula: 
(i) Calcula-se: 
4
3n
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3) e a 
mediana. 
2
º2928
1
2
56
2
56
1
22
ˆ



























e
n
e
n
dm

42
4
56.3
4
3
3 
n
Q
elemento 

14
4
56
4
1 
n
Q
elemento 
n = 56; Classes fi Fi 
7 – 16 6 6 
17 – 26 15 21 
27 - 36 20 41 
37 - 46 10 51 
47 - 56 5 56 
3 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3) e a 
mediana. 
Classes fi Fi 
7 – 16 6 6 
17 – 26 15 21 
27 – 36 20 41 
37 – 46 10 51 
47 – 56 5 56 
Classe 
dmˆ
Classe 
1Q
Classe 
3Q
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q .
)4/(
1
11

 h
f
Fn
LQ
Q
a
Q .
)4/3(
3
33


md
md
a
i h
f
Fn
Ldm .
)2/(
ˆ


Medidas de Achatamento ou Curtose 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3) e a 
mediana. 
Classes fi Fi 
7 – 16 6 6 
17 – 26 15 21 
27 - 36 20 41 
37 - 46 10 51 
47 - 56 5 56 
Para Q3 temos: 
37
3
QL
; 
56n
; 
41aF
; 
; 10h
103 Qf
Para Q1 temos: 
17
1
QL
; 56n ; 6aF ; 
; 10h
15
1
Qf
27iL
; 56n ; 
21aF
; 
; 10h 20ˆ dmf
Para temos: 
dmˆ
h
f
Fn
LQ
Q
a
Q .
)4/(
1
11


h
f
Fn
LQ
Q
a
Q .
)4/3(
3
33


h
f
Fn
Ldm
md
a
i .
)2/(
ˆ


Medidas de Achatamento ou Curtose 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3) e a 
mediana. 
33,2210.
15
6
2
56
17
)4/(
1
11










 h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
00,3810.
10
41
4
56.3
37
)4/3(
3
33










 h
f
Fn
LQ
Q
a
Q
50,3010.
15
21
2
56
27
)2/(
ˆ 









 md
md
a
i h
f
Fn
Ldm
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3) e a 
mediana. 
25% 25% 25% 25% 
50,3033,22 00,3800,7 00,57
2Q1Q 3Q
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Percentis => são os valores que dividem um conjunto de dados em 
100 partes iguais. 
0% 1% 50% 99% 100% 2% 3% ... ... 97% 98% 
1P 2P
3P
...
50P
...
97P 98
P
99P
em que, 
1P
= o 1º Percentil deixa 1% dos elementos; 
2P
= o 2º Percentil deixa 2% dos elementos; 
99P
= o 99º Percentil deixa 99% dos elementos. 
... ... 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
(ii) Identifica-se a classe de Pi pela Fi (freq. acumulada); 
(iii) Aplica-se a fórmula: 
h
f
Fn
i
LP
iP
a
ii






100
Determinação de um Percentil Pi: 
(i) Calcula-se: em que i = 1, 2, ..., 98, 99; 
100
.ni
Li = limite inferior da classe Pi; 
Fa = soma das frequências das classes anteriores a que Pi; 
fPi= frequência da classe Pi; 
h = amplitude da classe Pi. 
n = tamanho da amostra; 
em que, 
Medidas de Achatamento ou Curtose 
4 
h
f
Fni
LP
iP
a
ii


)100/.(
Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose (K). 
Classes fi Fi 
7 – 16 6 6 
17 – 26 15 21 
27 - 36 20 41 
37 - 46 10 51 
47 - 56 5 56 
)(2 1090
13
PP
QQ
K



Para P10 temos: 
7
10
PL
; 
56n
; 
0aF
; 
; 10h
6
10
Pf
Já tínhamos obtido: 
33,221 Q 00,383 Q
e 
 ; 
37
90
PL
 ; 
56n
; 
41aF
; 10h
10
90
Pf
Para P90 temos: 
33,1610 P
40,4690 P
Medidas de Achatamento ou Curtose 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose (K). 
Classes fi Fi 
7 – 16 6 6 
17 – 26 15 21 
27 - 36 20 41 
37 – 46 10 51 
47 – 56 5 56 
)(2 1090
13
PP
QQ
K



Agora temos tudo: 
33,221 Q 00,383 Q
e 
33,1610 P
40,4690 P
e 
2606,0
)33,1640,46(2
33,2200,38
)(2 1090
13 






PP
QQ
K
Medidas de Achatamento ou Curtose 
263,0K
=> Distribuição de frequência Mesocúrtica; 
263,0K
=> Distribuição de frequência Platicúrtica; 
263,0K
=> Distribuição de frequência Leptocúrtica. 
Assim o Grau de Curtose, de ser classificado da seguinte forma: 
)(2 1090
13
PP
QQ
K



Medidas de Achatamento ou Curtose Medidas de Achatamento ou Curtose 
Fórmulas: 
3
1
4
2 




 
 
S
XX
n
b i
Excel: 
)3)(2(
)1(3
)3)(2)(1(
)1(
24
2
















 


 
nn
n
S
XX
nnn
nn
b i
Action 
Quartis 
Seja n o número total de elementos da amostra e calcule 
j(n+1)/4, para j=1,2 e 3. Desta forma Qj será um elemento entre 
Xk e Xk+1, onde k é o maior inteiro menor que j(n+1)/4 e será 
calculado da seguinte forma: 
 
 
 
 
Considere uma amostra de 8 elementos com os seguintes 
valores: 60, 65, 67, 68, 68, 70, 71, 72 
 
 
 
 
 kkk XXk
nj
XQj 







 1
4
)1(