aula 6 equaçoes diferenciais

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Aula 7: Problemas de mistura
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um
volume inicial V0 litros e Q0 gramas de sal e que uma soluc¸a˜o salina seja bom-
beada para dentro do tanque a uma taxa de Te litros por minuto possuindo
uma concentrac¸a˜o de Ce gramas de sal por litro. Suponha que a soluc¸a˜o bem
misturada sai a uma taxa de Ts litros por minuto.
A taxa de variac¸a˜o da quantidade de sal no tanque e´ igual a taxa com que
entra sal no tanque menos a taxa com que sai sal do tanque.
A taxa com que entra sal no tanque e´ igual a taxa com que entra a mistura,
Te, vezes a concentrac¸a˜o de entrada, Ce. E a taxa com que sai sal do tanque e´
igual a taxa com que sai a mistura do tanque, Ts, vezes a concentrac¸a˜o de sal
que sai do tanque, Cs. Como a soluc¸a˜o e´ bem misturada esta concentrac¸a˜o
e´ igual a concentrac¸a˜o de sal no tanque, ou seja,
Cs(t) =
Q(t)
V (t)
.
Como o volume no tanque V (t) e´ igual ao volume inicial V0, somado ao
volume que entra no tanque menos o volume que sai do tanque, enta˜o:
V (t) = V0 + Tet− Tst = V0 + (Te − Ts)t.
Assim a quantidade de sal no tanque, Q(t) e´ a soluc¸a˜o do problema de valor
inicial:
1

dQ
dt
= TeCe − Ts Q
V0 + (Te − Ts)t
Q(0) = Q0
Exemplo:
Um tanque conte´m 20kg de sal dissolvido em 5.000 L de a´gua. A´gua salgada
com 0, 03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A
soluc¸a˜o e´ misturada completamente e sai do tanque a` mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Soluc¸a˜o:
Seja Q(t) a quantidade de sal (em quilogramas) depois de t minutos. Foi dado
que Q(0) = 20 e estamos em busca de Q(30). Fazemos isso encontrando uma
equac¸a˜o diferencial que seja satisfeita por Q(t). Observe que
dQ
dt
e´ a taxa de
variac¸a˜o da quantidade de sal, assim:
dQ
dt
= (taxa de entrada)− (taxa de sa´ıda)
onde (taxa de entrada) e´ a taxa na qual o sal entra no tanque e (taxa de
sa´ıda) e´ a taxa na qual o sal deixa o tanque. Temos:
taxa de entrada =
(
0, 03
kg
L
)(
25
L
min
)
= 0, 75
kg
min
O tanque sempre conte´m 5.000 L de l´ıquido, enta˜o a concentrac¸a˜o no tempo
t e´
Q(t)
5.000
(medida em quilogramas por litro). Como a a´gua salgada sai a
uma taxa de 25 L/min,(que e´ a mesma taxa de entrada) obtemos:
taxa de sa´ıda =
(
Q(t)
5.000
kg
L
)(
25
L
min
)
=
Q(t)
200
kg
min
Enta˜o, como
dQ
dt
= (taxa de entrada)− (taxa de sa´ıda), temos:
2
dQ
dt
= 0, 75− Q(t)
200
=
150−Q(t)
200
Resolvendo essa equac¸a˜o diferencial separa´vel, obtemos:
∫
dQ
150−Q =
∫
dt
200
− ln |150−Q| = t
200
+ c
Como y(0) = 20, temos − ln 130 = c.
Logo |150−Q| = 130e−t/200
Como Q(t) e´ cont´ınua, Q(0) = 20 e o lado direito nunca e´ zero, conclui-se
que 150−Q e´ sempre positiva.
Enta˜o |150−Q| = 150−Q e assim:
Q(t) = 150− 130e−t/200
A quantidade de sal depois de 30 minutos e´:
Q(30) = 150− 130e−30/200 ≈ 38, 1kg
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