Unidade I - Aula 1

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Curso Engenharia Civil
Ca´lculo Nume´rico
UNIPEˆ/2014.1
Erros em procedimentos Nume´ricos
Aula 2
Prof. Roberto Capistrano
Prof. Jose´ Vicente
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 1 / 32
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
Entendendo o Erro
2 Definic¸o˜es e Exemplos
3 Propagac¸a˜o dos Erros
4 Exerc´ıcios Propostos
5 Bibliografia
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 2 / 32
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
Entendendo o Erro
2 Definic¸o˜es e Exemplos
3 Propagac¸a˜o dos Erros
4 Exerc´ıcios Propostos
5 Bibliografia
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Em geral, a resoluc¸a˜o de um problema em tecnologia, passa inicialmente por uma
fase de observac¸a˜o e entendimento do fenoˆmeno f´ısico envolvido na qual, usando
conhecimento ja´ estabelecidos buscamos atrave´s de simplificac¸o˜es, quando
necessa´rias,a construc¸a˜o de um modelo matema´tico que represente, com a maior
fidelidade poss´ıvel, o problema que desejamos tratar. Esta etapa e´ conhecida
como fase “ fase da modelagem ” do modelo matema´tico.
Com problemas descrito na forma matema´tica, buscamos soluc¸o˜es atrave´s de um
me´todo exato se poss´ıvel, ou quando na˜o, um me´todo aproximado.
Mesmo quando utilizamos um me´todo exato, isto e´, um me´todo que apresenta a
soluc¸a˜o exata para o modelo, pelo fato de este envolver um nu´mero muito grande
de operac¸o˜es elementares (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o) e, sendo
estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar
dados, podemos cometer erros.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Em geral, a resoluc¸a˜o de um problema em tecnologia, passa inicialmente por uma
fase de observac¸a˜o e entendimento do fenoˆmeno f´ısico envolvido na qual, usando
conhecimento ja´ estabelecidos buscamos atrave´s de simplificac¸o˜es, quando
necessa´rias,a construc¸a˜o de um modelo matema´tico que represente, com a maior
fidelidade poss´ıvel, o problema que desejamos tratar. Esta etapa e´ conhecida
como fase “ fase da modelagem ” do modelo matema´tico.
Com problemas descrito na forma matema´tica, buscamos soluc¸o˜es atrave´s de um
me´todo exato se poss´ıvel, ou quando na˜o, um me´todo aproximado.
Mesmo quando utilizamos um me´todo exato, isto e´, um me´todo que apresenta a
soluc¸a˜o exata para o modelo, pelo fato de este envolver um nu´mero muito grande
de operac¸o˜es elementares (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o) e, sendo
estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar
dados, podemos cometer erros.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Em geral, a resoluc¸a˜o de um problema em tecnologia, passa inicialmente por uma
fase de observac¸a˜o e entendimento do fenoˆmeno f´ısico envolvido na qual, usando
conhecimento ja´ estabelecidos buscamos atrave´s de simplificac¸o˜es, quando
necessa´rias,a construc¸a˜o de um modelo matema´tico que represente, com a maior
fidelidade poss´ıvel, o problema que desejamos tratar. Esta etapa e´ conhecida
como fase “ fase da modelagem ” do modelo matema´tico.
Com problemas descrito na forma matema´tica, buscamos soluc¸o˜es atrave´s de um
me´todo exato se poss´ıvel, ou quando na˜o, um me´todo aproximado.
Mesmo quando utilizamos um me´todo exato, isto e´, um me´todo que apresenta a
soluc¸a˜o exata para o modelo, pelo fato de este envolver um nu´mero muito grande
de operac¸o˜es elementares (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o) e, sendo
estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar
dados, podemos cometer erros.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Em geral, a resoluc¸a˜o de um problema em tecnologia, passa inicialmente por uma
fase de observac¸a˜o e entendimento do fenoˆmeno f´ısico envolvido na qual, usando
conhecimento ja´ estabelecidos buscamos atrave´s de simplificac¸o˜es, quando
necessa´rias,a construc¸a˜o de um modelo matema´tico que represente, com a maior
fidelidade poss´ıvel, o problema que desejamos tratar. Esta etapa e´ conhecida
como fase “ fase da modelagem ” do modelo matema´tico.
Com problemas descrito na forma matema´tica, buscamos soluc¸o˜es atrave´s de um
me´todo exato se poss´ıvel, ou quando na˜o, um me´todo aproximado.
Mesmo quando utilizamos um me´todo exato, isto e´, um me´todo que apresenta a
soluc¸a˜o exata para o modelo, pelo fato de este envolver um nu´mero muito grande
de operac¸o˜es elementares (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o) e, sendo
estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar
dados, podemos cometer erros.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Por outro lado, quando optamos por um me´todo nume´rico ale´m dos erros no
processamento anteriormente mencionados, podemos tambe´m cometer erros
provenientes do fato de utilizarmos, para a resoluc¸a˜o do modelo matema´tico, um
algoritmo aproximado. Esta etapa e´ conhecida como ”‘fase da resoluc¸a˜o” do
modelo matema´tico. Os principais erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o de um
problema, sa˜o :
i) erros devido a` mudanc¸a de base do processamento;
ii) erros de representac¸a˜o, devido ao sistema utilizados pelos computadores para
armazenar dados nume´ricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Por outro lado, quando optamos por um me´todo nume´rico ale´m dos erros no
processamento anteriormente mencionados, podemos tambe´m cometer erros
provenientes do fato de utilizarmos, para a resoluc¸a˜o do modelo matema´tico, um
algoritmo aproximado. Esta etapa e´ conhecida como ”‘fase da resoluc¸a˜o” do
modelo matema´tico. Os principais erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o de um
problema, sa˜o :
i) erros devido a` mudanc¸a de base do processamento;
ii) erros de representac¸a˜o, devido ao sistema utilizados pelos computadores para
armazenar dados nume´ricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Por outro lado, quando optamos por um me´todo nume´rico ale´m dos erros no
processamento anteriormente mencionados, podemos tambe´m cometer erros
provenientes do fato de utilizarmos, para a resoluc¸a˜o do modelo matema´tico, um
algoritmo aproximado. Esta etapa e´ conhecida como ”‘fase da resoluc¸a˜o” do
modelo matema´tico. Os principais erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o de um
problema, sa˜o :
i) erros devido a` mudanc¸a de base do processamento;
ii) erros de representac¸a˜o, devido ao sistema utilizados pelos computadores para
armazenar dados nume´ricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Por outro lado, quando optamos por um me´todo nume´rico ale´m dos erros no
processamento anteriormente mencionados, podemos tambe´m cometer erros
provenientes do fato de utilizarmos, para a resoluc¸a˜o do modelo matema´tico, um
algoritmo aproximado. Esta etapa e´ conhecida como ”‘fase da resoluc¸a˜o” do
modelo matema´tico. Os principais erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o de um
problema, sa˜o :
i) erros devido a` mudanc¸a de base do processamento;
ii) erros de representac¸a˜o,devido ao sistema utilizados pelos computadores para
armazenar dados nume´ricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Por outro lado, quando optamos por um me´todo nume´rico ale´m dos erros no
processamento anteriormente mencionados, podemos tambe´m cometer erros
provenientes do fato de utilizarmos, para a resoluc¸a˜o do modelo matema´tico, um
algoritmo aproximado. Esta etapa e´ conhecida como ”‘fase da resoluc¸a˜o” do
modelo matema´tico. Os principais erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o de um
problema, sa˜o :
i) erros devido a` mudanc¸a de base do processamento;
ii) erros de representac¸a˜o, devido ao sistema utilizados pelos computadores para
armazenar dados nume´ricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Por outro lado, quando optamos por um me´todo nume´rico ale´m dos erros no
processamento anteriormente mencionados, podemos tambe´m cometer erros
provenientes do fato de utilizarmos, para a resoluc¸a˜o do modelo matema´tico, um
algoritmo aproximado. Esta etapa e´ conhecida como ”‘fase da resoluc¸a˜o” do
modelo matema´tico. Os principais erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o de um
problema, sa˜o :
i) erros devido a` mudanc¸a de base do processamento;
ii) erros de representac¸a˜o, devido ao sistema utilizados pelos computadores para
armazenar dados nume´ricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
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ERROS
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ERROS
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PROBLEMA
REAL
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MODELO
MATEMA´TICO
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//
SOLUC¸A˜O
PARA O
MODELO
MATEMA´TICO
FASE DA
MODELAGEM
::vvvvvvvvvvvvv
FASE DA
RESOLUC¸A˜O
::uuuuuuuuuu
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
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ERROS
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PARA O
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FASE DA
MODELAGEM
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FASE DA
RESOLUC¸A˜O
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Os resultados obtidos dependem tambe´m:
Erros...
da precisa˜o dos dados de entrada;
da forma como estes dados sa˜o representados no computador;
das operac¸o˜es nume´ricas efetuadas
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Os resultados obtidos dependem tambe´m:
Erros...
da precisa˜o dos dados de entrada;
da forma como estes dados sa˜o representados no computador;
das operac¸o˜es nume´ricas efetuadas
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Os resultados obtidos dependem tambe´m:
Erros...
da precisa˜o dos dados de entrada;
da forma como estes dados sa˜o representados no computador;
das operac¸o˜es nume´ricas efetuadas
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Os resultados obtidos dependem tambe´m:
Erros...
da precisa˜o dos dados de entrada;
da forma como estes dados sa˜o representados no computador;
das operac¸o˜es nume´ricas efetuadas
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Os resultados obtidos dependem tambe´m:
Erros...
da precisa˜o dos dados de entrada;
da forma como estes dados sa˜o representados no computador;
das operac¸o˜es nume´ricas efetuadas
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Exemplo
Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exemplo
Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de lados
a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre a e b.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Exemplo
Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exemplo
Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de lados
a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre a e b.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Exemplo
Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exemplo
Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de lados
a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre a e b.
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Introduc¸a˜o Entendendo o Erro
Entendendo o erro...
Exemplo
Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exemplo
Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de lados
a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre a e b.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase da modelagem
Sa˜o os provenientes de simplificac¸o˜es. muitas vezes necessa´rias apra que o
fenoˆmeno que estivermos observando, possa ser representado por um modelo
matema´tico, e que tenha condic¸o˜es de ser tratado com as ferramentas
matema´ticas dispon´ıveis.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase da modelagem
Sa˜o os provenientes de simplificac¸o˜es. muitas vezes necessa´rias apra que o
fenoˆmeno que estivermos observando, possa ser representado por um modelo
matema´tico, e que tenha condic¸o˜es de ser tratado com as ferramentas
matema´ticas dispon´ıveis.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Sa˜o os erros advindos da utilizac¸a˜o de algum equipamento, com por exemplo, um
computador, para processarmos os ca´lculos necessa´rios a` obtenc¸a˜o de uma soluc¸a˜o
para o modelo matema´tico. Estes erros ocorrem devido ao fato deos
equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os d´ıgitos significativos
de valores nume´ricos usados na utilizac¸a˜o nas operac¸o˜es elementares. Estes erros
nesta fase podem ser classificados como erros computacionais.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Sa˜o os erros advindos da utilizac¸a˜o de algum equipamento, com por exemplo, um
computador, para processarmos os ca´lculos necessa´rios a` obtenc¸a˜o de uma soluc¸a˜o
para o modelo matema´tico. Estes erros ocorrem devido ao fato de os
equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os d´ıgitos significativos
de valores nume´ricos usados na utilizac¸a˜o nas operac¸o˜es elementares. Estes erros
nesta fase podem ser classificados como erros computacionais.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Uma grande parte dos computadores representa os valores nume´ricos no sistema
bina´rio. Os dados de entrada sa˜o lidos e transformados em uma outra base de
representac¸a˜o e muitas vezes esta transformac¸a˜o pode ser cometida de erros
devido a limitac¸a˜o do computador que voceˆ esta usando. A sustentac¸a˜o
matema´tica deste procedimento e´ dado por um nu´mero real, N , e sempre
poss´ıvel representa´-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ⋅ bi , onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, , (b − 1)} , com m e m ∈ ℤ
Por exemplo :
BINA´RIA ⇝ N2 =
m∑
i=n
ai ⋅ 2i , onde i ∈ {0, 1}
DECIMAL ⇝ N10 =
m∑
i=n
ai ⋅ 10i , onde i ∈ {0, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ , 9}
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Uma grande parte dos computadores representa os valores nume´ricos no sistema
bina´rio. Os dados de entrada sa˜o lidos e transformados em uma outra base de
representac¸a˜o e muitas vezes esta transformac¸a˜o pode ser cometida de erros
devido a limitac¸a˜o do computador que voceˆ esta usando. A sustentac¸a˜o
matema´tica deste procedimento e´ dado por um nu´mero real, N , e sempre
poss´ıvel representa´-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ⋅ bi , onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, , (b − 1)} , com m e m ∈ ℤ
Por exemplo :
BINA´RIA ⇝ N2 =
m∑
i=n
ai ⋅ 2i , onde i ∈ {0, 1}
DECIMAL ⇝ N10 =
m∑
i=n
ai ⋅ 10i , onde i ∈ {0, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ , 9}
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Uma grande parte dos computadores representa os valores nume´ricos no sistema
bina´rio. Os dados de entrada sa˜o lidos e transformados em uma outra base de
representac¸a˜o e muitas vezes esta transformac¸a˜o pode ser cometida de erros
devido a limitac¸a˜o do computador que voceˆ esta usando. A sustentac¸a˜o
matema´tica deste procedimento e´ dado por um nu´mero real, N , e sempre
poss´ıvel representa´-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ⋅ bi , onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, , (b − 1)} , com m e m ∈ ℤ
Por exemplo :
BINA´RIA ⇝ N2 =
m∑
i=n
ai ⋅ 2i , onde i ∈ {0, 1}
DECIMAL ⇝ N10 =
m∑
i=n
ai ⋅ 10i , onde i ∈ {0, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ , 9}
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Uma grande parte dos computadores representa os valores nume´ricos no sistema
bina´rio. Os dados de entrada sa˜o lidos e transformados em uma outra base de
representac¸a˜o e muitas vezes esta transformac¸a˜o pode ser cometida de erros
devido a limitac¸a˜o do computador que voceˆ esta usando. A sustentac¸a˜o
matema´tica deste procedimento e´ dado por um nu´mero real, N , e sempre
poss´ıvel representa´-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ⋅ bi , onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, , (b − 1)} , com m e m ∈ ℤ
Por exemplo :
BINA´RIA ⇝ N2 =
m∑
i=n
ai ⋅ 2i , onde i ∈ {0, 1}
DECIMAL ⇝ N10 =
m∑
i=n
ai ⋅ 10i , onde i ∈ {0, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ , 9}
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Uma grande parte dos computadores representa os valores nume´ricos no sistema
bina´rio. Os dados de entrada sa˜o lidos e transformados em uma outra base de
representac¸a˜o e muitas vezes esta transformac¸a˜o pode ser cometida de erros
devido a limitac¸a˜o do computador que voceˆ esta usando. A sustentac¸a˜o
matema´tica deste procedimento e´ dado por um nu´mero real, N , e sempre
poss´ıvel representa´-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ⋅ bi , onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, , (b − 1)} , com m e m ∈ ℤ
Por exemplo :
BINA´RIA ⇝ N2 =
m∑
i=n
ai ⋅ 2i , onde i ∈ {0, 1}
DECIMAL ⇝ N10 =
m∑
i=n
ai ⋅ 10i , onde i ∈ {0, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ , 9}
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erros na fase de resoluc¸a˜o
Uma grande parte dos computadores representa os valores nume´ricos no sistema
bina´rio. Os dados de entrada sa˜o lidos e transformados em uma outra base de
representac¸a˜o e muitas vezes esta transformac¸a˜o pode ser cometida de erros
devido a limitac¸a˜o do computador que voceˆ esta usando. A sustentac¸a˜o
matema´tica deste procedimento e´ dado por um nu´mero real, N , e sempre
poss´ıvel representa´-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ⋅ bi , onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, , (b − 1)} , com m e m ∈ ℤ
Por exemplo :
BINA´RIA ⇝ N2 =
m∑
i=n
ai ⋅ 2i , onde i ∈ {0, 1}
DECIMAL ⇝ N10 =
m∑
i=n
ai ⋅ 10i , onde i ∈ {0, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ , 9}
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de arredondamento
Sa˜o os provenientes de arredondamentos computacionais ao executar as operac¸o˜es
entre nu´meros e aqueles nos quais no´s aproximamos os valores nume´ricos a ser
usados
Erro absoluto
E´ definido por
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde aex e´ o valor exato da grandeza a ser considerada e aaprox e´ o valor
aproximado da mesma grandeza. Em geral o valor exato na˜o e´ dispon´ıvel e a´ı
trabalhamos com uma margem 휖 > 0, estimado. Assim ,∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde
−휀 ≤ aex − aaprox ≤ 휀
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de arredondamento
Sa˜o os provenientes de arredondamentos computacionais ao executar as operac¸o˜es
entre nu´meros e aqueles nos quais no´s aproximamos os valores nume´ricos a ser
usados
Erro absoluto
E´ definido por
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde aex e´ o valor exato da grandeza a ser considerada e aaprox e´ o valor
aproximado da mesma grandeza. Em geral o valor exato na˜o e´ dispon´ıvel e a´ı
trabalhamos com uma margem 휖 > 0, estimado. Assim ,∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde
−휀 ≤ aex − aaprox ≤ 휀
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de arredondamento
Sa˜o os provenientes de arredondamentos computacionais ao executar as operac¸o˜es
entre nu´meros e aqueles nos quais no´s aproximamos os valores nume´ricos a ser
usados
Erro absoluto
E´ definido por
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde aex e´ o valor exato da grandeza a ser considerada e aaprox e´ o valor
aproximado da mesma grandeza. Em geral o valor exato na˜o e´ dispon´ıvel e a´ı
trabalhamos com uma margem 휖 > 0, estimado. Assim ,∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde
−휀 ≤ aex − aaprox ≤ 휀
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de arredondamento
Sa˜o os provenientes de arredondamentos computacionais ao executar as operac¸o˜esentre nu´meros e aqueles nos quais no´s aproximamos os valores nume´ricos a ser
usados
Erro absoluto
E´ definido por
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde aex e´ o valor exato da grandeza a ser considerada e aaprox e´ o valor
aproximado da mesma grandeza. Em geral o valor exato na˜o e´ dispon´ıvel e a´ı
trabalhamos com uma margem 휖 > 0, estimado. Assim ,
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde
−휀 ≤ aex − aaprox ≤ 휀
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de arredondamento
Sa˜o os provenientes de arredondamentos computacionais ao executar as operac¸o˜es
entre nu´meros e aqueles nos quais no´s aproximamos os valores nume´ricos a ser
usados
Erro absoluto
E´ definido por
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde aex e´ o valor exato da grandeza a ser considerada e aaprox e´ o valor
aproximado da mesma grandeza. Em geral o valor exato na˜o e´ dispon´ıvel e a´ı
trabalhamos com uma margem 휖 > 0, estimado. Assim ,∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde
−휀 ≤ aex − aaprox ≤ 휀
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de arredondamento
Sa˜o os provenientes de arredondamentos computacionais ao executar as operac¸o˜es
entre nu´meros e aqueles nos quais no´s aproximamos os valores nume´ricos a ser
usados
Erro absoluto
E´ definido por
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde aex e´ o valor exato da grandeza a ser considerada e aaprox e´ o valor
aproximado da mesma grandeza. Em geral o valor exato na˜o e´ dispon´ıvel e a´ı
trabalhamos com uma margem 휖 > 0, estimado. Assim ,∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ ≤ 휀,
onde
−휀 ≤ aex − aaprox ≤ 휀
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro relativo
E´ definido por
Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
Este erro fornece informac¸o˜es sobre a qualidade do erro que estamos comentendo
em determinado ca´lculo, uma vez que no erro absoluto na˜o e´ levado em
considerac¸a˜o a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo
esta ordem e´ contemplada.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro relativo
E´ definido por
Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
Este erro fornece informac¸o˜es sobre a qualidade do erro que estamos comentendo
em determinado ca´lculo, uma vez que no erro absoluto na˜o e´ levado em
considerac¸a˜o a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo
esta ordem e´ contemplada.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro relativo
E´ definido por
Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
Este erro fornece informac¸o˜es sobre a qualidade do erro que estamos comentendo
em determinado ca´lculo, uma vez que no erro absoluto na˜o e´ levado em
considerac¸a˜o a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo
esta ordem e´ contemplada.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
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Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
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Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
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Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
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Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
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Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 13 / 32
Definic¸o˜es e Exemplos
Exemplo
Exemplo
Vamos a um exemplo:
Sendo :
Eabs =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣ e Erel =
∣∣∣aex − aaprox ∣∣∣∣∣∣aex ∣∣∣
a) Considere os valores: aex = 2345, 713 e aaprox = 2345
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 00030396
b) Considere aex = 1, 713 e aaprox = 1
Logo, Eabs = 0, 713 e Erel = 0, 416229
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Definic¸o˜es e Exemplos
Nota
Nota
Nos dois exemplos o erro absoluto e´ o mesmo, mas no exemplo b este erro e´
mais significativo. Em a o erro relativo e´ da ordem de 0, 03% e no b e´ de
41, 6%
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 14 / 32
Definic¸o˜es e Exemplos
Nota
Nota
Nos dois exemplos o erro absoluto e´ o mesmo, mas no exemplo b este erro e´
mais significativo. Em a o erro relativo e´ da ordem de 0, 03% e no b e´ de
41, 6%
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Definic¸o˜es e Exemplos
Atenc¸a˜o
Atenc¸a˜o
De forma geral, nos procedimentos nume´ricos, geramos uma sequeˆncia de
soluc¸o˜es aproximadas que convergem ou na˜o para a soluc¸a˜o procurada do
problema. Os erros absolutos e relativos sa˜o usados como crite´rio de parada
destas sequeˆncias de aproximac¸o˜es, com prefereˆncia ao “erro relativo”
No processo, xn+1 = f (xn), escolhemos uma toleraˆncia 휀 > 0 e fazemos o teste∣∣∣xn+1 − xn∣∣∣∣∣∣xn+1∣∣∣ ≤ 휀,
se OK, xn+1 e´ a soluc¸a˜o que queremos.
Caso contra´rio, continuamos com a iterac¸a˜o.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Atenc¸a˜o
Atenc¸a˜o
De forma geral, nos procedimentos nume´ricos, geramos uma sequeˆncia de
soluc¸o˜es aproximadas que convergem ou na˜o para a soluc¸a˜o procurada do
problema. Os erros absolutos e relativos sa˜o usados como crite´rio de parada
destas sequeˆncias de aproximac¸o˜es, com prefereˆncia ao “erro relativo”
No processo, xn+1 = f (xn), escolhemos uma toleraˆncia 휀 > 0 e fazemos o teste∣∣∣xn+1 − xn∣∣∣∣∣∣xn+1∣∣∣ ≤ 휀,
se OK, xn+1 e´ a soluc¸a˜o que queremos.
Caso contra´rio, continuamos com a iterac¸a˜o.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Atenc¸a˜o
Atenc¸a˜o
De formageral, nos procedimentos nume´ricos, geramos uma sequeˆncia de
soluc¸o˜es aproximadas que convergem ou na˜o para a soluc¸a˜o procurada do
problema. Os erros absolutos e relativos sa˜o usados como crite´rio de parada
destas sequeˆncias de aproximac¸o˜es, com prefereˆncia ao “erro relativo”
No processo, xn+1 = f (xn), escolhemos uma toleraˆncia 휀 > 0 e fazemos o teste
∣∣∣xn+1 − xn∣∣∣∣∣∣xn+1∣∣∣ ≤ 휀,
se OK, xn+1 e´ a soluc¸a˜o que queremos.
Caso contra´rio, continuamos com a iterac¸a˜o.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Atenc¸a˜o
Atenc¸a˜o
De forma geral, nos procedimentos nume´ricos, geramos uma sequeˆncia de
soluc¸o˜es aproximadas que convergem ou na˜o para a soluc¸a˜o procurada do
problema. Os erros absolutos e relativos sa˜o usados como crite´rio de parada
destas sequeˆncias de aproximac¸o˜es, com prefereˆncia ao “erro relativo”
No processo, xn+1 = f (xn), escolhemos uma toleraˆncia 휀 > 0 e fazemos o teste∣∣∣xn+1 − xn∣∣∣∣∣∣xn+1∣∣∣ ≤ 휀,
se OK, xn+1 e´ a soluc¸a˜o que queremos.
Caso contra´rio, continuamos com a iterac¸a˜o.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Atenc¸a˜o
Atenc¸a˜o
De forma geral, nos procedimentos nume´ricos, geramos uma sequeˆncia de
soluc¸o˜es aproximadas que convergem ou na˜o para a soluc¸a˜o procurada do
problema. Os erros absolutos e relativos sa˜o usados como crite´rio de parada
destas sequeˆncias de aproximac¸o˜es, com prefereˆncia ao “erro relativo”
No processo, xn+1 = f (xn), escolhemos uma toleraˆncia 휀 > 0 e fazemos o teste∣∣∣xn+1 − xn∣∣∣∣∣∣xn+1∣∣∣ ≤ 휀,
se OK, xn+1 e´ a soluc¸a˜o que queremos.
Caso contra´rio, continuamos com a iterac¸a˜o.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de Truncamento
Cometemos este tipo de erro quando representamos func¸o˜es atrave´s de uma se´rie
infinita, e por limitac¸o˜es computacionais( do computador em uso). Consideremos
um nu´mero finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ⋅ ⋅ ⋅
Se a limitac¸a˜o e´ para 5 termos, colocamos
ex ∼=
4∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
e o erro absoluto e´ :
ex =
∞∑
n=5
xn
n!
.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 16 / 32
Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de Truncamento
Cometemos este tipo de erro quando representamos func¸o˜es atrave´s de uma se´rie
infinita, e por limitac¸o˜es computacionais( do computador em uso). Consideremos
um nu´mero finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ⋅ ⋅ ⋅
Se a limitac¸a˜o e´ para 5 termos, colocamos
ex ∼=
4∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
e o erro absoluto e´ :
ex =
∞∑
n=5
xn
n!
.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de Truncamento
Cometemos este tipo de erro quando representamos func¸o˜es atrave´s de uma se´rie
infinita, e por limitac¸o˜es computacionais( do computador em uso). Consideremos
um nu´mero finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ⋅ ⋅ ⋅
Se a limitac¸a˜o e´ para 5 termos, colocamos
ex ∼=
4∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
e o erro absoluto e´ :
ex =
∞∑
n=5
xn
n!
.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de Truncamento
Cometemos este tipo de erro quando representamos func¸o˜es atrave´s de uma se´rie
infinita, e por limitac¸o˜es computacionais( do computador em uso). Consideremos
um nu´mero finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ⋅ ⋅ ⋅
Se a limitac¸a˜o e´ para 5 termos, colocamos
ex ∼=
4∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
e o erro absoluto e´ :
ex =
∞∑
n=5
xn
n!
.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de Truncamento
Cometemos este tipo de erro quando representamos func¸o˜es atrave´s de uma se´rie
infinita, e por limitac¸o˜es computacionais( do computador em uso). Consideremos
um nu´mero finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ⋅ ⋅ ⋅
Se a limitac¸a˜o e´ para 5 termos, colocamos
ex ∼=
4∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
e o erro absoluto e´ :
ex =
∞∑
n=5
xn
n!
.
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Definic¸o˜es e Exemplos
Definic¸o˜es
Erro de Truncamento
Cometemos este tipo de erro quando representamos func¸o˜es atrave´s de uma se´rie
infinita, e por limitac¸o˜es computacionais( do computador em uso). Consideremos
um nu´mero finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ⋅ ⋅ ⋅
Se a limitac¸a˜o e´ para 5 termos, colocamos
ex ∼=
4∑
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
e o erro absoluto e´ :
ex =
∞∑
n=5
xn
n!
.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Em procedimentos nume´ricos normalmente tem presente um nu´mero muito
grande de operac¸o˜es elementares. Na maioria das vezes, o erro cometido em uma
operac¸a˜o isolada pode na˜o ser muito significativo para o resultado obtido. mas e´
necessa´rio analisar como os “erros se propagam” quando um nu´mero grande de
operac¸o˜es fazem parte do processamento.
Nesta situac¸a˜o, precisamos saber como os erros se propagam, isto e´, caso estejam
se acumulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro e´ “ilimitado”, e a
sequeˆncia de operac¸o˜es e´ “insta´vel”. Se os erros se acumulam a uma taxa
decrescente, dizemos que o erro e´ “limitado” e a sequeˆncia de operac¸o˜es e´
“esta´vel”.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 17 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Em procedimentos nume´ricos normalmente tem presente um nu´mero muito
grande de operac¸o˜es elementares. Na maioria das vezes, o erro cometido em uma
operac¸a˜o isolada pode na˜o ser muito significativo para o resultado obtido. mas e´
necessa´rio analisar como os “erros se propagam” quando um nu´mero grande de
operac¸o˜es fazem parte do processamento.
Nesta situac¸a˜o, precisamos saber como os erros se propagam, isto e´, caso estejam
se acumulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro e´ “ilimitado”, e a
sequeˆncia de operac¸o˜es e´ “insta´vel”. Se os erros se acumulam a uma taxa
decrescente, dizemos que o erro e´ “limitado” e a sequeˆncia de operac¸o˜es e´
“esta´vel”.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Em procedimentos nume´ricos normalmente tem presente um nu´mero muito
grande de operac¸o˜es elementares. Na maioria das vezes, o erro cometido em uma
operac¸a˜o isolada pode na˜o ser muito significativo para o resultado obtido. mas e´
necessa´rio analisar como os “erros se propagam” quando um nu´mero grande de
operac¸o˜es fazem parte do processamento.
Nesta situac¸a˜o, precisamos saber como os erros se propagam, isto e´, caso estejam
se acumulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro e´ “ilimitado”, e a
sequeˆncia de operac¸o˜es e´ “insta´vel”. Se os erros se acumulam a uma taxa
decrescente, dizemos que o erro e´ “limitado” e a sequeˆnciade operac¸o˜es e´
“esta´vel”.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
A func¸a˜o em termos da se´rie de Taylor e´ escrita conforme:
e−x = 1− x
1!
+
x2
2!
− x
3
3!
+
x4
4!
− . . .
Assim, considerando ate´ 4 digitos, apo´s a v´ırgula resulta,
e−7 = 1− 7 + 24, 5− 57, 167 + . . .+ 163, 4013− . . . = −4, 1482 com 25 termos
Comparando esta soluc¸a˜o com a exata, e−7 = 0, 0009119, verifica-se haver um
grande diferenc¸a de resultados, isto ocorre pois as parcelas inferiores a
10−4 foram desconsideradas e o problema e´ constitu´ıdo de inu´meras grandezas
desta ordem; Portanto, as causas deste erro sa˜o :
1 adic¸a˜o de grandezas de ordens diferentes;
2 subtrac¸a˜o de grandezas pro´ximas.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 18 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
A func¸a˜o em termos da se´rie de Taylor e´ escrita conforme:
e−x = 1− x
1!
+
x2
2!
− x
3
3!
+
x4
4!
− . . .
Assim, considerando ate´ 4 digitos, apo´s a v´ırgula resulta,
e−7 = 1− 7 + 24, 5− 57, 167 + . . .+ 163, 4013− . . . = −4, 1482 com 25 termos
Comparando esta soluc¸a˜o com a exata, e−7 = 0, 0009119, verifica-se haver um
grande diferenc¸a de resultados, isto ocorre pois as parcelas inferiores a
10−4 foram desconsideradas e o problema e´ constitu´ıdo de inu´meras grandezas
desta ordem; Portanto, as causas deste erro sa˜o :
1 adic¸a˜o de grandezas de ordens diferentes;
2 subtrac¸a˜o de grandezas pro´ximas.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
A func¸a˜o em termos da se´rie de Taylor e´ escrita conforme:
e−x = 1− x
1!
+
x2
2!
− x
3
3!
+
x4
4!
− . . .
Assim, considerando ate´ 4 digitos, apo´s a v´ırgula resulta,
e−7 = 1− 7 + 24, 5− 57, 167 + . . .+ 163, 4013− . . . = −4, 1482 com 25 termos
Comparando esta soluc¸a˜o com a exata, e−7 = 0, 0009119, verifica-se haver um
grande diferenc¸a de resultados, isto ocorre pois as parcelas inferiores a
10−4 foram desconsideradas e o problema e´ constitu´ıdo de inu´meras grandezas
desta ordem; Portanto, as causas deste erro sa˜o :
1 adic¸a˜o de grandezas de ordens diferentes;
2 subtrac¸a˜o de grandezas pro´ximas.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
A func¸a˜o em termos da se´rie de Taylor e´ escrita conforme:
e−x = 1− x
1!
+
x2
2!
− x
3
3!
+
x4
4!
− . . .
Assim, considerando ate´ 4 digitos, apo´s a v´ırgula resulta,
e−7 = 1− 7 + 24, 5− 57, 167 + . . .+ 163, 4013− . . . = −4, 1482 com 25 termos
Comparando esta soluc¸a˜o com a exata, e−7 = 0, 0009119, verifica-se haver um
grande diferenc¸a de resultados, isto ocorre pois as parcelas inferiores a
10−4 foram desconsideradas e o problema e´ constitu´ıdo de inu´meras grandezas
desta ordem; Portanto, as causas deste erro sa˜o :
1 adic¸a˜o de grandezas de ordens diferentes;
2 subtrac¸a˜o de grandezas pro´ximas.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 18 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
A func¸a˜o em termos da se´rie de Taylor e´ escrita conforme:
e−x = 1− x
1!
+
x2
2!
− x
3
3!
+
x4
4!
− . . .
Assim, considerando ate´ 4 digitos, apo´s a v´ırgula resulta,
e−7 = 1− 7 + 24, 5− 57, 167 + . . .+ 163, 4013− . . . = −4, 1482 com 25 termos
Comparando esta soluc¸a˜o com a exata, e−7 = 0, 0009119, verifica-se haver um
grande diferenc¸a de resultados, isto ocorre pois as parcelas inferiores a
10−4 foram desconsideradas e o problema e´ constitu´ıdo de inu´meras grandezas
desta ordem; Portanto, as causas deste erro sa˜o :
1 adic¸a˜o de grandezas de ordens diferentes;
2 subtrac¸a˜o de grandezas pro´ximas.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 19 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 19 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 19 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Adic¸a˜o
Procedimentos
Se a dois nu´meros, exatos ou na˜o, forem realizados operac¸o˜es aritme´ticas,podem
surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o˜es, que correspondem aos :
Erros na adic¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
A = x + y
A = x + y
ex+y = A− A = (x + y)− (x + y) = ex + ey
Desta forma :
∣e(x+y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 20 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Subtrac¸a˜o
Procedimentos
De forma semelhante, tem-se :
Erros na Subtrac¸a˜o : Sejam x e y valores aproximados de x e y,
respectivamente. Assim
S = x - y
S = x − y
ex−y = S − S = (x − y)− (x − y) = ex − ey
ou seja :
∣e(x−y)∣ ≤ ∣ex ∣+ ∣ey ∣
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Multiplicac¸a˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, resulta em :
∣e(xy)∣ ≤ ∣x ∣∣ey ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 21 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Multiplicac¸a˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, resulta em :
∣e(xy)∣ ≤ ∣x ∣∣ey ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 21 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Multiplicac¸a˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, resulta em :
∣e(xy)∣ ≤ ∣x ∣∣ey ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 21 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Divisa˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, apo´s simplificac¸o˜es resulta :
∣e( xy )∣ ∼= ∣x ∣∣e
y ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
y2
Portanto, torna-se complicado prever o erro quando um ca´lculo(co´digo) e´ realizado
com grande nu´mero de operac¸o˜es aritme´ticas,o que e´ frequente em engenharia.
Desta forma, nem toda sequeˆncia de operac¸o˜es(algoritmo) tem boa qualidade.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 22 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Divisa˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, apo´s simplificac¸o˜es resulta :
∣e( xy )∣ ∼= ∣x ∣∣e
y ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
y2
Portanto, torna-se complicado prever o erro quando um ca´lculo(co´digo) e´ realizado
com grande nu´mero de operac¸o˜es aritme´ticas,o que e´ frequente em engenharia.
Desta forma, nem toda sequeˆncia de operac¸o˜es(algoritmo) tem boa qualidade.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 22 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Divisa˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, apo´s simplificac¸o˜es resulta :
∣e( xy )∣ ∼= ∣x ∣∣e
y ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
y2
Portanto, torna-se complicado prever o erro quando um ca´lculo(co´digo) e´ realizado
com grande nu´mero de operac¸o˜es aritme´ticas,o que e´ frequente em engenharia.
Desta forma, nem toda sequeˆncia de operac¸o˜es(algoritmo) tem boa qualidade.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 22 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros na Divisa˜o
Procedimentos
De forma ana´loga, apo´s simplificac¸o˜es resulta :
∣e( xy )∣ ∼= ∣x ∣∣e
y ∣+ ∣y ∣∣ex ∣
y2
Portanto, torna-se complicado prever o erro quando um ca´lculo(co´digo) e´ realizado
com grande nu´mero de operac¸o˜es aritme´ticas,o que e´ frequente em engenharia.
Desta forma, nem toda sequeˆncia de operac¸o˜es(algoritmo) tem boa qualidade.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a um exemplo, pra´tico. Considere o nu´mero irracional
휋 = 3, 14159265 . . .. Assim:
3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;
Ale´m da existeˆncia de erros, existem outros problemas que devem ser levados em
conta ao se resolver uma situac¸a˜o numericamente.Eles podem ser analisados do
ponto de vista da instabilidade.
Para a maioria das situac¸o˜es na˜o importa o procedimento utilizado, o resultado e´
sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de soluc¸a˜o
podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade,
que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o˜es e pode ocorrer
tanto no problema em si como no algoritmo(sequeˆncia de operac¸o˜es), isto e´, na
maneira de resolver o problema.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 23 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a um exemplo, pra´tico. Considere o nu´mero irracional
휋 = 3, 14159265 . . .. Assim:
3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;
Ale´m da existeˆncia de erros, existem outros problemas que devem ser levados em
conta ao se resolver uma situac¸a˜o numericamente.Eles podem ser analisados do
ponto de vista da instabilidade.
Para a maioria das situac¸o˜es na˜o importa o procedimento utilizado, o resultado e´
sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de soluc¸a˜o
podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade,
que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o˜es e pode ocorrer
tanto no problema em si como no algoritmo(sequeˆncia de operac¸o˜es), isto e´, na
maneira de resolver o problema.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a um exemplo, pra´tico. Considere o nu´mero irracional
휋 = 3, 14159265 . . .. Assim:
3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;
Ale´m da existeˆncia de erros, existem outros problemas que devem ser levados em
conta ao se resolver uma situac¸a˜o numericamente.Eles podem ser analisados do
ponto de vista da instabilidade.
Para a maioria das situac¸o˜es na˜o importa o procedimento utilizado, o resultado e´
sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de soluc¸a˜o
podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade,que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o˜es e pode ocorrer
tanto no problema em si como no algoritmo(sequeˆncia de operac¸o˜es), isto e´, na
maneira de resolver o problema.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 23 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a um exemplo, pra´tico. Considere o nu´mero irracional
휋 = 3, 14159265 . . .. Assim:
3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;
Ale´m da existeˆncia de erros, existem outros problemas que devem ser levados em
conta ao se resolver uma situac¸a˜o numericamente.Eles podem ser analisados do
ponto de vista da instabilidade.
Para a maioria das situac¸o˜es na˜o importa o procedimento utilizado, o resultado e´
sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de soluc¸a˜o
podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade,
que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o˜es e pode ocorrer
tanto no problema em si como no algoritmo(sequeˆncia de operac¸o˜es), isto e´, na
maneira de resolver o problema.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a um exemplo, pra´tico. Considere o nu´mero irracional
휋 = 3, 14159265 . . .. Assim:
3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;
Ale´m da existeˆncia de erros, existem outros problemas que devem ser levados em
conta ao se resolver uma situac¸a˜o numericamente.Eles podem ser analisados do
ponto de vista da instabilidade.
Para a maioria das situac¸o˜es na˜o importa o procedimento utilizado, o resultado e´
sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de soluc¸a˜o
podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade,
que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o˜es e pode ocorrer
tanto no problema em si como no algoritmo(sequeˆncia de operac¸o˜es), isto e´, na
maneira de resolver o problema.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a um exemplo, pra´tico. Considere o nu´mero irracional
휋 = 3, 14159265 . . .. Assim:
3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;
Ale´m da existeˆncia de erros, existem outros problemas que devem ser levados em
conta ao se resolver uma situac¸a˜o numericamente.Eles podem ser analisados do
ponto de vista da instabilidade.
Para a maioria das situac¸o˜es na˜o importa o procedimento utilizado, o resultado e´
sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de soluc¸a˜o
podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade,
que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o˜es e pode ocorrer
tanto no problema em si como no algoritmo(sequeˆncia de operac¸o˜es), isto e´, na
maneira de resolver o problema.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a outro exemplo, pra´tico. Considere o problema da determinac¸a˜o das
ra´ızes da equac¸a˜o :
ax2 + bx = c = 0
Da a´lgebra, sabe-se que as ra´ızes sa˜o fornecida pela seguinte formula :
x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b −√b2 − 4ac
2a
Se 4ac for muito menor que b2 existe a possibilidade de acontecer a subtrac¸a˜o
de grandezas pro´ximas. Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um
algoritmo.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 24 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a outro exemplo, pra´tico. Considere o problema da determinac¸a˜o das
ra´ızes da equac¸a˜o :
ax2 + bx = c = 0
Da a´lgebra, sabe-se que as ra´ızes sa˜o fornecida pela seguinte formula :
x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b −√b2 − 4ac
2a
Se 4ac for muito menor que b2 existe a possibilidade de acontecer a subtrac¸a˜o
de grandezas pro´ximas. Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um
algoritmo.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 24 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Vamos a outro exemplo, pra´tico. Considere o problema da determinac¸a˜o das
ra´ızes da equac¸a˜o :
ax2 + bx = c = 0
Da a´lgebra, sabe-se que as ra´ızes sa˜o fornecida pela seguinte formula :
x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b −√b2 − 4ac
2a
Se 4ac for muito menor que b2 existe a possibilidade de acontecer a subtrac¸a˜o
de grandezas pro´ximas. Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um
algoritmo.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 24 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um algoritmo:
1 Se b > 0 enta˜o x1 =
−b −√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
2 Se b < 0 enta˜o x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
Este processo impede que se fac¸a uma segunda subtrac¸a˜o na fo´rmula ale´m
daquela que ocorre inevitavelmente no radical.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 25 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um algoritmo:
1 Se b > 0 enta˜o x1 =
−b −√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
2 Se b < 0 enta˜o x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
Este processo impede que se fac¸a uma segunda subtrac¸a˜o na fo´rmula ale´m
daquela que ocorre inevitavelmente no radical.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 25 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um algoritmo:
1 Se b > 0 enta˜o x1 =
−b −√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
2 Se b < 0 enta˜o x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
Este processo impede que se fac¸a uma segunda subtrac¸a˜o na fo´rmula ale´m
daquela que ocorre inevitavelmente no radical.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 25 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um algoritmo:
1 Se b > 0 enta˜o x1 =
−b −√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
2 Se b < 0 enta˜o x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
Este processo impede que se fac¸a uma segunda subtrac¸a˜o na fo´rmula ale´m
daquela que ocorre inevitavelmente no radical.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros
Procedimentos
Para o procedimento ser mais preciso, usa-se um algoritmo:
1 Se b > 0 enta˜o x1 =
−b −√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
2 Se b < 0 enta˜o x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
c
ax1
Este processo impede que se fac¸a uma segunda subtrac¸a˜o na fo´rmula ale´m
daquela que ocorre inevitavelmente no radical.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros - Exemplo
Exemplo
O dono de um posto deveria vender a gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para
R$ 2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos enta˜o :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2, 73687− 2, 74∣∣∣ = 0,00313
No 2o litro: Eabs = 2× 0, 00313 = 0,00626
No 3o litro: Eabs = 3× 0, 00313 = 0,00939
...
...
...
...
No 1.000.000o litro Eabs = 10
6 × 0, 00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 26 / 32
Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros - Exemplo
Exemplo
O dono de um posto deveria vendera gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para
R$ 2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos enta˜o :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2, 73687− 2, 74∣∣∣ = 0,00313
No 2o litro: Eabs = 2× 0, 00313 = 0,00626
No 3o litro: Eabs = 3× 0, 00313 = 0,00939
...
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No 1.000.000o litro Eabs = 10
6 × 0, 00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros - Exemplo
Exemplo
O dono de um posto deveria vender a gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para
R$ 2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos enta˜o :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2, 73687− 2, 74∣∣∣ = 0,00313
No 2o litro: Eabs = 2× 0, 00313 = 0,00626
No 3o litro: Eabs = 3× 0, 00313 = 0,00939
...
...
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...
No 1.000.000o litro Eabs = 10
6 × 0, 00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros - Exemplo
Exemplo
O dono de um posto deveria vender a gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para
R$ 2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos enta˜o :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2, 73687− 2, 74∣∣∣ = 0,00313
No 2o litro: Eabs = 2× 0, 00313 = 0,00626
No 3o litro: Eabs = 3× 0, 00313 = 0,00939
...
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No 1.000.000o litro Eabs = 10
6 × 0, 00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros - Exemplo
Exemplo
O dono de um posto deveria vender a gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para
R$ 2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos enta˜o :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2, 73687− 2, 74∣∣∣ = 0,00313
No 2o litro: Eabs = 2× 0, 00313 = 0,00626
No 3o litro: Eabs = 3× 0, 00313 = 0,00939
...
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No 1.000.000o litro Eabs = 10
6 × 0, 00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
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Propagac¸a˜o dos Erros
Propagac¸a˜o dos Erros - Exemplo
Exemplo
O dono de um posto deveria vender a gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para
R$ 2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos enta˜o :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2, 73687− 2, 74∣∣∣ = 0,00313
No 2o litro: Eabs = 2× 0, 00313 = 0,00626
No 3o litro: Eabs = 3× 0, 00313 = 0,00939
...
...
...
...
No 1.000.000o litro Eabs = 10
6 × 0, 00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
1.Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exerc´ıcio
2.Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de
lados a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre
a e b.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 27 / 32
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
1.Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exerc´ıcio
2.Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de
lados a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre
a e b.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
1.Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exerc´ıcio
2.Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de
lados a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre
a e b.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
1.Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exerc´ıcio
2.Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de
lados a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre
a e b.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
1.Ao efetuarmos uma se´rie de medidas de uma certa grandeza, encontramos os
seguintes resultados :33,2m; 33,6m; 33.5m; 33,4m; e 33,7m.
1 Qual o valor representa o valor aproximado da grandeza?
2 Qual o erro absoluto cometido na segunda medida?
Exerc´ıcio
2.Calcular o erro cometido ao se adotar como valor da a´rea de um retaˆngulo de
lados a e b, a a´rea de um quadrado que tem, como lado, a me´dia aritme´tica entre
a e b.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
3. Os valores adotados para o comprimento de uma avenida, para a a´rea de um
terrenos e para a massa de um corpo, sa˜o :
a = 1.000m, s = 300m2, d = 30, 0g .
Ao efetuar as medidas dessas grandezas, um operador encontrou, respectivamente
os seguintes resultados :
a = 999m, s = 280m2, d = 31, 0g .
Quais dessas medidas foi a melhor e a pior ?
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 28 / 32
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
3. Os valores adotados para o comprimento de uma avenida, para a a´rea de um
terrenos e para a massa de um corpo, sa˜o :
a = 1.000m, s = 300m2, d = 30, 0g .
Ao efetuar as medidas dessas grandezas, um operador encontrou, respectivamente
os seguintes resultados :
a = 999m, s = 280m2, d = 31, 0g .
Quais dessas medidas foi a melhor e a pior ?
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 28 / 32
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
4. Calcular as ra´ızes da equac¸a˜o x2 + 75x + 3 = 0, utilizando o wxMa´xima, com
precisa˜o de treˆs d´ıgitos significativos e arredondamento por corte. Ca´lculo o erro
absoluto e relativo.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 29 / 32
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Proposto
Exerc´ıcio
4. Calcular as ra´ızes da equac¸a˜o x2 + 75x + 3 = 0, utilizando o wxMa´xima, com
precisa˜o de treˆs d´ıgitos significativos e arredondamento por corte. Ca´lculo o erro
absoluto e relativo.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 29 / 32
Bibliografia
Refereˆncias I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software.
Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es
Sa˜o Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange.
MOREIRA, Jose´ Vicente.
Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico
Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014.
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR, Annibal.
Ca´lculo Nume´rico Fundamentos de Informa´tica
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 30 / 32
BibliografiaRefereˆncias II
CUNHA, M. Cristina.
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo: Pearson, 2006.
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o com
aplicac¸o˜es usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 31 / 32
Bibliografia
Refereˆncias III
SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e
Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007.
Prof. Roberto Capistrano e Jose´ Vicente () Ca´lculo Nume´rico 32 / 32
	Introdução
	Entendendo o Erro
	Definições e Exemplos
	Propagação dos Erros
	Exercícios Propostos
	Bibliografia