Unidade I - Resumo 5

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula 4 - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Derivação Numérica
Aula 5
1 Derivação Numérica
1.1 Introdução
A derivação e a integração numérica para y = f (x) são importantes na solução numéricas
de equações diferenciais ordinárias.
1.2 Derivação Numérica
Para o desenvolvimento deste tópico precisamos dos Resultados :
Primeiro: Teorema de Taylor - y = f (x) função que tem derivada até 3ª ordem em (a,b) e h tal
que x+h ∈ (a,b) onde : x ∈ (a,b). Então
f (x+h)= f (x)+h f ′(x)+ f ′′(x)h
2
2!
+ f ′′′(x)h
3
3!
+ . . . ,
onde x ∈ (a,b)
Nota: Considerando h pequeno isto é, próximo de zero, então h2 e h3 são menores ainda e po-
demos aproximar
f (x+h)∼= f (x)+ f ′(x)h
Segundo: A derivada de f (x) em (a,b), f ′(x) é definido como f ′(x)= lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
A ideia do método de aproximaçao que vamos apresentar baseia nos resultados menciona-
dos.
A aproximação da forma f ′(x) ∼= f (x+h)− f (x)
h
é denominada de aproximação de “pri-
meira ordem” e colocamos
f ′(x)= f (x+h)− f (x)
h
+ϑ(h)
Nota: ϑ(h)é o erro cometido na aproximação, e seu valor depende do tamanho de h. Esta aproxi-
mação em geral não é boa para os problemas de engenharia.
Uma boa aproximação para a engenharia e também para várias outras áreas é a chamada de
“segunda ordem”(ϑ(h2)) que apresentamos abaixo
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
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De acordo com o Teorema de Taylor, para funções com derivadas até ordem três, temos:
f (x+h)= f (x)+ f ′(x)h+ f ′′(x)h
2
2!
+ f ′′′(x)h
3
3!
logo,
f (x−h)= f (x)− f ′(x)h+ f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x+h)− f (x−h)= 2h f ′(x)+2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x+h)− f (x−h)
2h
= f ′(x)+ f
′′(x)h2
3!
assim, uma aproximação de 2a ordem para f ′(x) é
f (x+h)− f (x−h)
2h
e escrevemos :
f ′(x)= f (x+h)− f (x−h)
2h
+ϑ(h2)
Exemplo 1 Calcule, com aproximação de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 + 1
x
e
h = 0,1.
Solução Primeira Ordem : f ′(x)= f (x+h)− f (x)
h
f ′(1)= f (1+0,1)− f (1)
0,1
= 2,12−2
0,1
= 1,2
Segunda Ordem : f ′(x)∼= f (x+h)− f (x−h)
2h
para o caso temos :
f ′(1)∼= f (1+0,1)− f (1−0,1)
2×0,1
∼= f (1,1)− f (0,9)
0,2
∼= 2,12−1,92
0,2
∼= 0,2
0,2
∼= 1
Nota: 1 f (0,9)= 0,81+1,1111. . .= 1,921111. . .
2 f ′(x)= 2x− 1
x2
e f ′(1)= 2−1= 1
2 Exercícios Propostos
EP 1 Calcule aproximações de primeira e segunda ordem para f (x) = sen (2x) em x = 0,7 com
h = 0,1,h = 0,01 e h = 0,001. Utilize 5 casas decimais após a virgula em seus cálculos.
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EP 2 Considere a tabela de dados :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f(x) 0,54 0,41 2,026 1,89 2
Utilize fórmula apropriada para calcular um valor aproximado de f ′(0,4) supondo f (x) tem
derivada até 3a ordem.
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