Aula 19

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Momento de Inércia
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
PROF. MURILO BARBOSA DE CARVALHO
UNIDADE VI – PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS
Momento de Inércia
 O momento de segunda ordem, também chamado de momento de inércia, de
uma área é apresentado sob a seguinte forma:
 O momento de inércia de área pode ser observado quando se relaciona uma
força por área (F/A), atuando na seção transversal de um elemento (viga), e o
momento externo de flexão aplicado a ele.
𝐼𝑦 = 𝑥
2𝑑𝐴 𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴
Momento de Inércia
 Da mecânica dos materiais, a intensidade da força sobre a área (tensão)
varia linearmente com a distância à um eixo que passa pelo centroide da
seção (linha neutra);
𝜎 =
𝐹
𝐴
= 𝑘 ∙ 𝑧
Momento de Inércia
 A força atuante no elemento de área dA pode ser dado por:
𝑑𝐹 = 𝜎 ∙ 𝑑𝐴 ⟶ 𝑑𝐹 = 𝑘 ∙ 𝑧𝑑𝐴
𝐹 = 𝐾 𝑧𝑑𝐴 = 0
Intensidade da 
força resultante
𝑄𝑦 = 𝑧 ∙ 𝐴
𝐹 = 𝐾 𝑧𝑑𝐴 = 𝐾 𝑧𝐴 = 0 ⟶ 𝑧 = 0
Momento de Inércia
 As forças que agem em cada partícula de área dA, estão a uma distância z do
eixo y e desta forma geram um momento em torno do eixo.
 Podemos observar também que o sistema de forças pode ser reduzido a um
binário.
 O momento gerado na seção pode ser dado por:
 O momento resultante da distribuição da tensão é igual ao momento M aplicado
à viga.
𝑑𝑀 = 𝑑𝐹 ∙ 𝑧 = 𝑘 ∙ 𝑧2𝑑𝐴
Momento de segunda ordem da
áreas em relação ao eixo y
𝑀 = 𝑘 𝑧2𝑑𝐴
Momento de Inércia
 Para uma área A qualquer, temos:
𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴
𝐼𝑦 = 𝑥
2𝑑𝐴
Em relação ao eixo x
Em relação ao eixo y
Momento polar de inércia
 Formulação do momento da área em relação a um polo ou eixo z;
 De grande importância para problemas de torção e rotação (Resistencia dos
materiais)
 Neste caso utiliza-se a distância perpendicular “r” do polo (eixo z) a
área infinitesimal dA.
 Os momentos de Inércia serão sempre positivos, pois envolvem o
produto uma área e o produto do quadrado de uma distância.
Momento polar de inércia
ou seja
𝐽𝑜 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
𝐽𝑜 = 𝑟2𝑑𝐴 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 = 𝑥2𝑑𝐴 + 𝑦2𝑑𝐴
Raio de Giração
 corresponde a distância, na qual se pode concentrar em uma faixa estreita e
paralela ao eixo considerado à área da superfície estudada, de modo a
manter o mesmo momento de inércia.
𝐼𝑥 = 𝑘𝑥
2 ∙ 𝐴 ∴ 𝑘𝑥 =
𝐼𝑥
𝐴
O raio de giração tem unidade de 
comprimento
Raio de Giração
𝐼𝑦 = 𝑘𝑦
2 ∙ 𝐴 ∴ 𝑘𝑦 =
𝐼𝑦
𝐴
Raio de Giração
𝑗𝑜 = 𝑘𝑜
2 ∙ 𝐴 ∴ 𝑘𝑜 =
𝑗𝑜
𝐴
Teorema dos
eixos paralelos
Foi apresentado o cálculo
do momento de inércia
em relação a um eixo que
passa pelo centroide;
• O momento de inércia
também pode ser
determinado em relação
a um eixo paralelo
correspondente.
𝐼𝑥 = 𝑦
′ + 𝑑𝑦
2
𝑑𝐴 = 𝑦′2𝑑𝐴 + 2𝑑𝑦 𝑦
′𝑑𝐴 + 𝑑𝑦
2 𝑑𝐴
Termo nulo, pois o momento
estático é zero, o centroide
está sobre este eixo
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐴𝑑𝑦
2
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 + 𝐴𝑑𝑥
2
𝐽𝑜 = 𝐽𝑐 + 𝐴𝑑
2
Momento de inércia de superfícies 
compostas
 Áreas compostas são formadas outras figuras ou formas geométricas “mais
simples”
 Se o momento de inércia de cada figura componente for conhecido ou mais
facilmente determinado:
• O momento de inércia da figura composta é dado pela soma algébrica dos
momentos de inércia de cada parte constituinte.
Figuras 
conhecidas
Figuras 
conhecidas
Produto de inércia de uma área
 O produto de inércia é utilizado nos cálculos para determinar a orientação dos
eixos que fornecem o máximo e mínimo momento de inércia da área.
 O produto de inércia de um elemento de área dA é dado por:
Assim,
𝑑𝐼𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝐴
O produto de inércia
pode ser positivo,
negativo ou até nulo
O produto de inércia
será nulo quando os
eixos x ou y forem eixos
de simetria
Produto de inércia de uma área
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦 + 𝐴𝑑𝑥𝑑𝑦
Procedimento de
análise (integral)
Fonte: Hibbeler 7 Ed.
Exemplo 1
Determine o momento de inércia para a
área retangular mostrada na figura, em
relação (a) ao eixo x’ que passa pelo
centroide, (b) ao eixo xb que passa pela
base do retângulo e (c) ao polo ou eixo z
perpendicular ao plano x’-y’ e que passa
pelo centroide C
Exemplo 2
Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y.
Exemplo 3
Determine o momento de inércia da
área em relação ao eixo y. Resolva o
problema de duas maneiras, utilizando
elementos infinitesimais retangulares:
(a) com espessura dx e (b) com
espessura dy.
Exemplo 4
Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em
relação ao eixo x’.