CÁLCULO DO VOLUME DO TRONCO DO CONE

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UEMA

0

Joao Marcos Rodrigues Coelho

15/04/2018

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Igf23@yahoo.com.br por Pedro Miranda Araújo 
Macapá, 10 de fevereiro de 2009 
𝑟𝑎 
𝑟𝑏 
ℎ𝑎 
ℎ𝑏 
𝑉𝑐 
𝑉𝑎 
𝑉𝑏 
CÁLCULO DO VOLUME DO TRONCO DO CONE 
 
Hoje, demonstrarei uma fórmula simples e curiosa que revela o volume do tronco do cone em 
função das suas dimensões externas. Temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝑎 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑏 → tan 𝜃 = 
𝑟𝑎 – 𝑟𝑏
ℎ𝑎
 = 
𝑟𝑎
(ℎ𝑎+ ℎ𝑏 )
 ∴ hb = 
𝑟𝑎 . ℎ𝑎
 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 
 − ℎ𝑎 
 
Precisamos encontrar o volume do cone 𝑽𝒄. Segue: 
 
 
Vc = 
𝜋 . 𝑟𝑎 
2
3
 . (ℎ𝑎 + 
𝑟𝑎 . ℎ𝑎
 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 
 − ℎ𝑎) = 
𝜋 . 𝑟𝑎 
2
3
 . 
𝑟𝑎 . ℎ𝑎
 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 
 
 
Agora nos resta obter o volume do cone menor 𝑽𝒃. Logo: 
 
 
Vb = 
𝜋 . 𝑟𝑏 
2
3
 . ( 
𝑟𝑎 . ℎ𝑎
 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 
 − ℎ𝑎 ) = 
𝜋 . 𝑟𝑏 
2 .𝑟𝑎 .ℎ𝑎
3.(𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 )
 − 
𝜋 . 𝑟𝑏 
2 .ℎ𝑎
3
 
 
CONCLUSÃO: 
 
𝑉𝑎 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑏 
 
 
𝑉𝑎 = 
𝜋 . 𝑟𝑎 
2
3
 . 
𝑟𝑎 . ℎ𝑎
 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 
 − 
𝜋 . 𝑟𝑏 
2 .𝑟𝑎 .ℎ𝑎
3.(𝑟𝑎 – 𝑟𝑏)
 + 
𝜋 . 𝑟𝑏 
2 .ℎ𝑎
3
 
 
𝑉𝑎 = 
𝜋 . ℎ𝑎
3
 . ( 
𝑟𝑎 . 𝑟𝑎 
2 – 𝑟𝑏 
2 
 𝑟𝑎 – 𝑟𝑏 
 + 𝑟𝑏 
2 ) = 
𝜋 . ℎ𝑎
3
 . ( (𝑟𝑎 + 𝑟𝑏)2 − 𝑟𝑎 . 𝑟𝑏) 
 
𝑉𝑎 = 
𝜋 . ℎ𝑎
3
 . ( (𝑟𝑎 + 𝑟𝑏)2 − 𝑟𝑎 . 𝑟𝑏) ∎ 
θ 
θ 
Obs.: 𝑉𝑎 = Volume do tronco do cone.