Relatório 1_Dimensões

Prévia do material em texto

19
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS – UFAL
UNIDADE ACADÊMICA CENTRO DE TECNOLOGIA – CTEC
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Dimensões Inteiras e Fracionárias
David Melo da Rocha
Professor Rodrigo de Paula Almeida Lima
MACEIÓ
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS – UFAL
UNIDADE ACADÊMICA CENTRO DE TECNOLOGIA – CTEC
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
DAVID MELO DA ROCHA
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS
Relatório da prática experimental citada acima, realizado sob orientação do professor Rodrigo de Paula Almeida Lima, como requisito para avaliação da disciplina de Laboratório de Física Experimental 1.
MACEIÓ
2013
SUMÁRIO
	1
	INTRODUÇÃO .................................................................................................
	3
	2
	OBJETIVOS ......................................................................................................
	4
	3
	MATERIAIS.......................................................................................................
	5
	4
	FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.....................................................................
	6
	4.1
	 HISTÓRIA DOS ELEMENTOS FRACTAIS....................................................
	6
	4.2
4.3
4.4
	CATEGORIAS.....................................................................................................
FÓRMULAS.........................................................................................................
EXEMPLOS.........................................................................................................
	6
8
8
	5
	PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ..........................................................
	11
	6
	RESULTADOS E DISCUSSÕES ....................................................................
	12
	6.1
	QUESTÕES..........................................................................................................
	14
	7
	CONCLUSÃO......................................................................................................
	16
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	REFERÊNCIAS ................................................................................................
	15
	
	ANEXO..................................................................................................................
	16
1 INTRODUÇÃO
A natureza é cheia de formas e contornos que ao olharmos distraídos parecem aleatórios e caóticos: os galhos das plantas, as formas dos raios de trovões, os contornos das montanhas, o floco de neve. Mas todos esses objetos e fenômenos têm uma especial geometria chamada fractal. Aprende-se pela geometria euclidiana que os objetos regulares têm suas medidas e dimensões exatas, por exemplo: um ponto é adimensional (sem dimensão) e tem medida nula, um segmento de reta é um conjunto de pontos, tem dimensão 1 e comprimento L, um quadrado é um conjunto de 4 segmentos de reta de tamanhos iguais, tem dimensão 2 e área A (produto da largura pela altura), um cubo é um conjunto de 6 secções de planos de áreas iguais, tem dimensão 3 e volume V (produto da largura, altura e profundidade). A primeiro momento pareceria estranho falar em objetos com dimensões fracionárias, mas ao medir a maioria dos objetos da natureza sempre se carrega uma incerteza e falta de exatidão, eles não são “regulares”, daí se conclui que eles fogem à regra dos objetos de dimensão inteira, são chamados fractais. Ignorar a existência dos fractais é como conceber que só existem números inteiros “1, 2, 3, 4...”, mas sabemos que entre dois números inteiros existem infinitos números, assim as dimensões fracionárias podem ser encontradas na natureza nas mais diversas formas nos fenômenos acima citados, por exemplo, o floco de neve tem um padrão na forma como é constituído, mas é impossível calcular o perímetro com exatidão, porque é um triângulo equilátero com triângulos equiláteros subdivididos igualmente em cada um de seus lados, e nesses triângulos menores se constitui o mesmo padrão e assim segue indefinidamente aumentando pouco a pouco o perímetro.
2 OBJETIVOS
Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares.
3 MATERIAIS 
	
• Régua milimetrada;
• Paquímetro;
• Folhas de papel.
4 FUNDAMENTAÇÃO TEORICA	
4.1 História dos elementos fractais
	Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.
	A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.
	Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.
	Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir dos anos 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.
4.2 Categorias
Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:
Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regra fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.
Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua autossimilaridade. Existem três tipos de autossimilaridade encontrados em fractais:
Autossimilaridade exata: é a forma em que a autossimilaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma autossimilaridade exata.
Quase-autossimilaridade: é uma forma mais solta de autossimilaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-autossimilares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-autossimilares, mas não exatamente autossimilares.
Autossimilaridade estatística: é a forma menos evidente de autossimilaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadasem diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam alguma forma de autossimilaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem autossimilaridade estatística, mas não são exatamente nem quase autossimilares.
	Entretanto, nem todos os objetos autossimilares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente autossimilar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.
	Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.
4.3 Fórmulas
Para as formas geométricas comuns de tem um valor inteiro e é interpretado como a dimensão do objeto. Assim se trabalharmos com esferas de aço maciças de densidade uniforme, teremos: 
		(1)
onde M é a massa, ρ a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro.
A equação (1) pode ser escrita da seguinte forma:
		(2-a)
onde,
	 e d = 3	(2-a)
A versão bidimensional das equações (1) e (2) será:
		(2-c)
	
onde,
	 e d = 2.
Já na forma unidimensional temos:
		(2-d)
	 e d = 1.
4.4 Exemplos
	Árvores e samambaias (ou fetos) são pseudo-fractais naturais (aproximadamente fractais - esses objetos exibem uma estrutura autossimilar ao longo de um prolongado, mas finito, intervalo) que podem ser modelados em computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de recursividade ou repetitividade está clara nestes exemplos: num ramo de uma árvore ou na folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica - não idêntica, porém semelhante na estrutura - em miniatura do todo.
Uma classe relativamente simples de exemplos é o Cantor que, observado num intervalo (digamos 1:1) e então noutro (1:10) mais curto (ou aberto), visto numa escala de 0, 1, é uma figura que pode ser (ou não ser) "ego-semelhante" em determinada amplificação, e pode (ou não) ter uma dimensão d ou 0 < d < 1.
Um exemplo simples seria excluir o dígito 7 de expansão decimal, ego-semelhante sob dobra-10 (ou amplificação), e também ter uma dimensão tronco 9/log 10 (este valor é o mesmo, não importa que base logarítmica é escolhida), mostrando assim a conexão dos dois conceitos.
Os fractais são geralmente corrugados na sua forma (tanto em cálculos quanto nas imagens que deles resultam). Portanto, não são objetos definíveis pela geometria tradicional. Isso quer dizer que os fractais tendem a ter detalhes significantes, visíveis sob qualquer ponto de vista, ou seja, suas variações visuais são perfeitamente mensuráveis. Quando houver ego-semelhança, haverá recursividade ou repetitividade, ou seja, em "zoom" poderá ser observada a repetição da figura.
Por exemplo, uma forma euclidiana normal - como um círculo - parece mais aplainada e alisada quando é amplificada. Numa ampliação infinita, seria impossível se diferenciar o círculo de uma linha reta. No caso dos fractais, isto não acontece (embora, também neste caso, quanto mais amplificarmos, mais nos aproximamos da linha reta) em razão da perda de dados ao longo de múltiplas amplificações (desvios acontecem pela imprecisão das inserções sequenciais dos dados).
A ideia convencional de curvatura representada pela reciprocidade radial (em radianos) num círculo por aproximação, usualmente não pode ser aplicada em escalas muito grandes, pois o "raio" de curvatura fica fora de escala - daí a "aparência" de uma linha reta.
Com os fractais ocorre o contrário: ao se aumentar a amplificação, revelam-se mais e mais os detalhes - a depender do grau de precisão e da quantidade de casas decimais dos dados inseridos. As distorções tendendo para a linha reta ocorrem justamente pelo fato de haver "falta de memória" nas máquinas que executam o cálculo. Portanto, um fractal jamais alcançará uma linha reta, salvo quando a fórmula que o constitui assim o permitir.
Alguns exemplos comuns de fractais:
Conjunto de Mandelbrot
Fractal de Lyapunov
Conjunto de Precentor
Tapete de Sierpinski
Triângulo de Sierpinski
Menger sponge
Curva de dragão
Curva de Peano
Curva de Koch
Os Fractais podem ser determinísticos ou estocásticos (Ver George G. Stokes).
No caso da Teoria do Caos, podemos associá-la totalmente aos fractais; também no conhecido "Mandelbrot set" Conjunto de Mandelbrot podemos observar discos inteiros, cuja dimensão é 2. Isto não é de surpreender. O que é verdadeiramente surpreendente é que o limite do conjunto Mandelbrot também tem uma dimensão de Hausdorff de 2.
Aproximações de fractais (Fractais naturais) são encontradas freqüentemente na natureza. Estes objetos exibem uma estrutura complexa próxima aos objetos matemáticos, porém finitas, se as observarmos em escalas maiores.
Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, os feixes nervosos, etc. Com maiores ou menores graus, estas figuras estão classificadas em diversas magnitudes.
Apesar de existirem por toda a natureza e de serem onipresentes, estes objetos somente foram realmente estudados a fundo no século XX.
Harrison estendeu o cálculo Newtoniano para o domínio fractal, também inseriu os teoremas Gauss da divergência, o Teorema de Green, e o Teorema de Stoke.Os Fractais são normalmente gerados através de computadores com softwares específicos. Através de seu estudo podemos descrever muitos objetos extremamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos o Xaos.
Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais, e árvores. As técnicas fractais também estão sendo empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.
5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
5.1 Construção e realização de medidas.
1. Cortou-se o papel em 7 pedaços seguindo a seguinte logica.
2. O primeiro papel forma a primeira bola de massa 64g.
3. A segunda folha foi elaborada da seguinte forma dobrava-se ela ao meio e amassava o uma parte enquanto a outra era dobrada novamente e dobrava-se a outra parte, e assim sucessivamente até forma-se a bola de massa 1g.
4. Em seguida com um paquímetro mediu-se em locais diferentes da bola (realizou-se o procedimento com as demais bolas), até tomamos 7 medidas de cada bola.
5. Colocou-se as medidas na tabela-1
6. Realizou-se os cálculos necessários para desvio padrão e mediadas medida das bolas.
7. Construiu-se o gráfico log-log.
 
6 RESULTADOS E DISCUSSÕES
O valor de ΔD para cada bola de diâmetro diferente foi estabelecido da seguinte forma:
calculamos primeiro o desvio padrão e em seguida a incerteza do cálculo do diâmetro de cada bola de massa diferente. 
E sabemos também que a incerteza das medições é obtida da seguinte forma:
ᴪ = tn-1 x ;
Aplicando a equação acima e considerando que o T de student para um experimento de 7 repetições é 3,4995. Adquirindo por fim a incerteza combinada do experimento, onde esta incerteza é calculada da seguinte maneira. 
ΔD =.
1: 
s = 0,11480
ᴪ =0,15185
Com a coleta das medidas de cada uma das bolas elas foram dispostas na tabela-1 abaixo:
	 M
D
	1
	2
	4
	8
	16
	32
	64
	D1
	0.77
	1.00
	1.54
	1.98
	2.17
	3.03
	4.26
	D2
	0.55
	0.94
	1.63
	1.70
	2.27
	3.07
	3.99
	D3
	0.50
	0.90
	1.73
	2.07
	2.34
	3.30
	4.00
	D4
	0.80
	1.60
	1.31
	2.11
	2.06
	3.25
	4.33D5
	0.63
	1.11
	1.60
	2.02
	2.52
	3.12
	3.70
	D6
	0.70
	1.42
	1.52
	1.60
	2.57
	2.90
	4.01
	D7
	0.75
	1.08
	1.54
	2.16
	2.48
	3.29
	4.22
	
	0.67
	1.15
	1.55
	1.95
	2.34
	3.13
	4.07
	ΔD
	0.10
	0.24
	0.12
	0.20
	0.18
	0.12
	0.20
Em seguida foi construído o gráfico log-log (Anexado ao relatório), diâmetro em função da massa(M), assumindo que D = KM . Aplicando Logaritmo em ambos os lados da função anterior, e usando propriedades de logarítmico teremos:1/d
LogD = LogK + (1/d)LogM ,daí admitindo que Y’=Log D , Log K = A’ e Log M = B’ , substituindo na equação temos que: 
Y’=A’+B’(1/d) que é uma equação linear com o coeficiente angular igual à 1/d.
Como o coeficiente é a ∆y/∆x, então 1/d = ∆y/∆x então d=∆x/∆y
Os valores da equação serão obtidos a partir dos dados no gráfico 1 que seguira em anexo.
De acordo com o gráfico. Foi traçado duas retas paralelas aos pontos que estão dispostos aparentemente na mesma rata e foi traçado a partir das diagonais dos triângulos retângulos com o objetivo de calcular o ângulo formado por esses triângulos calculando a variação angular máxima e mínima para definir a dimensão do objeto.
Seguindo com os cálculos. Obtemos ∆x=17; Y2=7,9 e Y1=7,6; então no cálculo para determinar o coeficiente da reta tangente.d1=69/57.5= 1.2(sendo este valor a variação mínima), então, d1=17/7,9 e d2=17/7,6; a partir dos coeficientes encontrados faremos a média entre ele para determinar a dimensão do objeto então dt=|d2+d1|/2=2,19 então a dimensão do objeto é 2, 19. Do que o erro relativo é de ±0,12. Sendo assim d=2,19 ± 0,12
E os valores de K foram obtidos a partir da fórmula: 
D = K
1: K = 6,7
2: K = 0.83
4: K = 0,82
8: K = 0,75
16: K = 0,65
32: K = 0,64
64: K = 0,61
Além disso nesse relatório foram debatidas algumas questões que seguiram respondidas abaixo.
6.1 Questões
i)Esperaria um valor para a esfera tridimensional 3,para uma ‘esfera’ bidimensional 2 , e para um objeto unidimensional 1.
ii) Resposta: Esfera tridimensional - , ρ = massa/volume
“Esfera” bidimensional - , σ = massa/área
“Esfera” unidimensional - ,  λ = massa/comprimento
iii)Que objetos de dimensão ‘predefinidas’ tem equações mais simples pois se encaixam na geometria euclidiana, enquanto objetos que não apresentam uma forma definida ,uma forma com muitas irregularidades como a bola de papel feita no experimento, que quanto menor o objeto há uma diminuição do erro , ou seja ,do desvio da amostra, como é evidenciado pelos desvios na tabela-1. A bolas de papel amassadas são objetos não regulares, partiram da dimensão d = 2, chamada pelos matemáticos de dimensão topológica, e se formaram na dimensão três, o valor fracionário encontrado é devido a irregularidade na forma na bola de papel. Como a bola de papel partiu da dimensão 2 para a 3, é esperado um valor de d entre 2 e 3,como é visto com o valor obtido 2,19. O valor ∆d encontrado é devido ao erro aleatório inerente a todo experimento físico. Com aquele valor de d podemos concluir que a bola de papel amassada é um fractal.
CONCLUSÃO
Os procedimentos realizados e os resultados obtidos no experimento comprovam o quanto modelos matemáticos podem explicar muitos fenômenos. Apesar da precisão do paquímetro usado, ao medir diâmetros de bolas de papel amassado jamais se chegaria num valor exato, devido a irregularidade do objeto. Medir as coisas infere inevitavelmente em erro, todas as medidas existentes no mundo são aproximações mais ou menos rigorosas. O interessante neste experimento é termos comprovado que um objeto de duas dimensões sob operação de amassamento não terá exatamente dimensão 3 nem mesmo dimensão 2, mas sim algum valor entre 2 e 3, o que reafirma a existência dos fractais.
REFERÊNCIAS
WIKIPEDIA.Fractal.2013.Disponivel em : < http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal > ;Acesso em : 09/06/2013.
Geometria à várias dimensões.Fractais.2013.Disponivel em: < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fractais.htm > Acesso em: 09/06/2013
ANEXO
Fig. 1 - Conjunto de Mandelbrot.
 Figura-2 Fractais dos flocos de neve.