Aula 1 Equações Diferenciais e EDO Exata

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Definição: Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em 
relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). 
As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. 
 Classificação pelo tipo: 
Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma única variável independente, ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). 
Exemplos: 
a) 
15  y
dx
dy
 
b) 
06
2
2
 y
dx
dy
dx
yd
 
c) 
yx
dt
dy
dt
dx
 2
 
 
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais 
variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP). 
Exemplos: 
a) 
x
v
y
u





 
b) 
0
2
2
2
2






y
u
x
u
 
c) 
t
u
t
u
x
u








2
2
2
2
2 
 
 Classificação por ordem: 
A ordem de uma equação diferencial corresponde a ordem da maior derivada que aparece na equação. 
Exemplo_ Identifique o tipo e a ordem das equações diferenciais abaixo: 
a) 
04
2
2
 y
dx
dy
dx
yd
 
b) 
xy
dx
dy
dx
yd







3
3 
c) 
0
2
2
4
4
2 





t
u
x
u
a
 
 
 Classificação por linearidade: 
Uma ED é chamada de linear quando pode ser escrita na forma: 
 
Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: 
i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, a potência de cada 
termo envolvendo y é 1. 
ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x. 
 
 
(1) 
Exemplo_ Analise as EDOs abaixo quanto a ordem e a linearidade: 
a) 
0'2''  yyy
 
b) 
2
2
2
10 x
dx
dy
dx
yd

 
c) 
    232 3''' xyyy 
 
d) 
  xeyyy  2'1
 
e) 
02
4
4
 y
dx
yd
 
 
 
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) 
 
Qualquer função 
)(xfy 
que quando substituída na equação diferencial ordinária reduz a equação a uma identidade 
é chamada de solução para a EDO no intervalo. 
Exemplo 1) Verifique se 
16
4x
y 
é uma solução da EDO 
.2
1
xy
dx
dy

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2) Verifique se a função 
xey 
é solução da equação 
.0'' yy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3) Determine 
)(xg
de modo que a função 
32  xey
seja solução da equação 
  .)('. ' xexgy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PVI – Problema de Valor Inicial 
Frequentemente nos interessamos por problemas em que procuramos uma solução 
)(xy
para uma equação 
diferencial de modo que 
)(xy
 satisfaça determinadas condições, isto é, as condições impostas a 
)(xy
ou suas 
derivadas. Em algum intervalo I contendo 
0x
, o problema 
 1,...,'',',,(:Re  n
n
n
yyyyxf
dx
yd
solver
 (2) 
       10
1
1000 ,...,': 
  n
n yxyyxyyxyaSujeito
 
 
onde 
110 ,...,, nyyy
 são constantes reais específicas, é chamado de problema de valor inicial (PVI). Os valores de 
)(xy
e suas 
1n
derivadas em um único ponto 
   10
1
10000 ,...,)(',)(: 
  n
n yxyyxyyxyx
são 
chamados de valor inicial ou condição inicial. 
O problema apresentado em (2) é também chamado de problema de valor inicial de ordem n. 
Por exemplo: 
),(:Re yxf
dx
dy
sorver 
 (3) 
00 )(: yxyaSujeito 
 
 
)',,(:Re
2
2
yyxf
dx
yd
sorver 
 (4) 
1000 )(',)(: yxyyxyaSujeito 
 
 
São problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem, respectivamente. 
 
Geometricamente, no problema (3) procuramos uma solução da equação diferencial 
),(' yxfy 
em um intervalo I 
contendo 
0x
de tal forma que o seu gráfico passe pelo ponto 
 00 , yx
prescrito. Já em (4) queremos encontrar uma 
solução 
)(xy
 da equação diferencial 
)',,(" yyxfy 
em um intervalo I contendo 
0x
de tal forma que o gráfico passe 
pelo ponto 
 00 , yx
e também que a inclinação da curva nesse ponto seja 
.1y
 
 
Resolver um PVI de ordem 
n
como em (2) em geral envolve o uso de uma família a 
n
parâmetros de soluções da 
equação diferencial dada e, em seguida, usando as 
n
 condições iniciais de 
0x
para determinar os valores numéricos 
das 
n
 constantes da família. A solução particular resultante é definida em algum intervalo I contendo o ponto inicial 
.0x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1- Nas questões a seguir mostre que a função (ou as funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação 
diferencial ordinária dada. 
a) 
tt etyetyyyy   )(;)(03'2" 2
3
1
 
b) 
tytyty 3' 2 
 
c) 
3/)(;3/)(3'''4"" 21 xexyxxyxyyy
x  
 
d) 
2
1
2 )(0'3"2 xxyyxyyx 
 
e) 
senttttytyy .cosln)(cossec" 
 
 
 
2- Determine 
)(xr
de modo que 
)(2 2xxseny 
 seja solução de 
  .)(' ' yxry 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) a) 
21 yey
são soluções b) não é solução c) 
21eyy
 são soluções 
d) é solução e) é solução 
 
2) 
cxxxsenxxr  )cos(4)(2)cos()( 2222
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS ELEMENTARES DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
DE 1ª ORDEM 
 A forma normal de uma equação diferencial de 1ª ordem é 
 
    0,,  dyyxNdxyxM
 (5) 
onde 
 yxM ,
 e 
 yxN ,
 são funções de x e y. 
 A função 
 Cxy ,
chama-se solução geral de uma EDO de 1ª ordem se a mesma for uma função que satisfaz 
identicamente à equação diferencial para todos os valores da constante C. 
 A solução obtida, a partir da solução geral, para uma determinada condição inicial 
00 )( yxy 
, chama-se 
solução particular. 
 Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 
Quando a equação diferencial apresentada na equação (5) 
    0,,  dyyxNdxyxM
 
pode ser escrita na forma 
0)().()()(  dyxkyadxxmyb
 
onde 
  )()(, xmybyxM 
 e 
  ),().(, xkyadyyxN 
então diz-se que a equação possui variáveis separáveis, 
pois 
0)().()()(  dyxkyadxxmyb
 
dxxmybdyxkya )()()().( 
 
   dxxkxmdyybya )(/)()(/)( 
 
 
dxxfdyyg )()( 
 (6) 
Aplicando o operador integral nos dois lados da equação (6) 
dxxfdyyg )()(  
 
resolvemos a EDO pelo método de variáveis separáveis. 
 Exemplo: Resolva as seguintes EDOs pelo método das variáveis separáveis. 
a) 
2
2
y
x
dx
dy

 
 
 
b) 
 




ey
xyysenxy
6/
0cos.ln'

 
 
c)  





1)1(
01 2
y
ydxdyx
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
A) Resolva as equações utilizando o método da separação de variáveis: 
 
 
 
 
 
 
A)