Observabilidade e Controlabilidade

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Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Aula 18 
Carlos Amaral
Fonte: Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 
Curitiba, Junho de 2012 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Comparação entre técnicas de controle
1 
2 
3 
4 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
= número
de 
varíaveis
nãoinfinitoinfinitoEspaço de 
Estados
1sim11Tempo 
(Ziegler-
Nichols)
1sim11Frequência 
(Bode e 
Nyquist)
Incerteza do 
controle para 
plantas acima 
de segunda 
ordem
1sim11Lugar das 
Raízes
(Laplace)
ObservaçãoNúmero 
de 
Circuitos 
de 
Controle
Necessidade 
de Integrar 
e derivar
Número de 
Saídas
Número de 
Entradas
Técnica
= número
de 
varíaveis
nãoinfinitoinfinitoEspaço de 
Estados
1sim11Tempo 
(Ziegler-
Nichols)
1sim11Frequência 
(Bode e 
Nyquist)
Incerteza do 
controle para 
plantas acima 
de segunda 
ordem
1sim11Lugar das 
Raízes
(Laplace)
ObservaçãoNúmero 
de 
Circuitos 
de 
Controle
Necessidade 
de Integrar 
e derivar
Número de 
Saídas
Número de 
Entradas
Técnica
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Resumo
1 
2 
3 
4 
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Considere um sistema definido por, 
sendo u(t ) o sinal de entrada e y (t ) o sinal de saída. Esta 
equação pode ser escrita como, 
Levando em conta as duas expressões apresentadas 
anteriormente serão apresentadas as formas canônicas 
controlável, observável e diagonal. 
Formas Canônicas
Podemos utilizar as formas canônicas para encontrar a 
representação em espaço de estado para uma dada função de 
transferência. 
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Zeros
identidade
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
FORMA CANÔNICA OBSERVÁVEL 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Considere a seguinte função de transferência, 
A forma canônica diagonal para este sistema é dada por, 
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Na forma canônica de Jordan consideramos a seguinte função 
de transferência, 
e a forma canônica de Jordan é dada por
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Controlabilidade
Um sistema é dito ser controlável em um instante t0 se for 
possível, por meio de um vetor de controle, transferir o 
sistema de qualquer estado inicial x (t0) para qualquer 
outro estado num intervalo de tempo finito. 
Seja o sistema contínuo tempo dado por: 
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) (1)
O estado da equação descrita acima é dito ser controlável em 
t = t0 se for possível construir um sinal de controle não-restrito 
capaz de transferir o sistema do estado inicial para um estado 
final em um intervalo de tempo finito t0 < t < tf . Se todos os 
estados forem controláveis o sistema é dito ser de estados 
completamente controláveis. 
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
A condição para que o sistema descrito em (1) seja 
controlável é que a matriz de controlabilidade dada abaixo 
seja de posto completo. 
(2)
Para ser de posto completo, basta a matriz ΦCrt possuir 
todas as colunas linearmente independente. 
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Controlabilidade
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Alocação de Pólos
(2)
Verifiquem se o sistema descrito abaixo é controlável. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Resposta:
A B







 0
1
0
1
10
11
AB
  0
00
11
det
0
1
det.)det( 



 ABcrt
Logo o sistema não é controlável!
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
>> A = [1 1; 0 -1]
A =
1 1
0 -1
>> B = [1 ; 0]
B =
1
0
>> CO = crtb(A, B)
No Matlab utilizamos o comando ctrb: CO = crtb(A, B) 
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Observabilidade
Alocação de Pólos
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Exemplo
http://www.youtube.com/watch?v=NZbfNGgcluE&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=7
&feature=plcp
EXERCÍCIOS
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Petrobras 2012
Resp.
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Observabilidade
Alocação de Pólos
>> A=[2 0 0;0 2 0; 0 0 -4];
>> B = [2;0;5];
>> ctrb(A,B)
ans =
2 4 8
0 0 0
5 -20 80
EXERCÍCIOS
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Observabilidade
Alocação de Pólos
(a) 
u
x
x
xd
xd











1
0
10
02
)(
)(
1
0
1
0 
 
Resp: 


 11
00
det.)det( crt =0 
O sistema não é controlável! 
 
(b) 
u
x
x
x
xd
xd
xd





































2
0
1
450
540
002
)(
)(
)(
2
1
0
2
1
0
 
 
Resp: 580
1882
80100
421
det.)det( 











crt 
, dif de 0, logo o sistema é controlável! 
 
 
Verifique se os sistemas são é controláveis
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Alocação de Pólos
Observabilidade
Um sistema é dito ser observável no instante t0 se, com o 
sistema num estado x (t0) qualquer, for possível determinar 
este estado a partir da observação da saída durante um 
intervalo de tempo finito. 
Considere o sistema contínuo invariante no tempo descrito na
forma de espaço de estado dado por, 
x (t ) = Ax (t ) (3)
y (t ) = Cx (t )
O sistema é dito observável se qualquer estado x (t0) pode ser
determinado a partir da observação de y (t ) durante um
intervalo de tempo finito t0 < t < tf .
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
A condição para o sistema descrito em (3) ser observável 
é que a matriz de observabilidade descrita abaixo possua 
posto completo. 
(4) 
Para ser de posto completo, basta a matriz ΦObs possuir 
todas as colunas linearmente independente. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
(4) 
Verifique se o sistema descrito abaixo é observável. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Resposta:
   11
12
11
01 


CA
1
11
01
det)det( . 

Obs
Logo o sistema é observável!
A B C
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Alocação de Pólos
ΦObs
(4) 
No Matlab utilizamos o comando obsv: OB = obsv (A, C) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
>> A = [1 1; -2 -1]
A =
1 1
-2 -1
>> C = [1 0]
C =
1 0
>> OB = obsv (A, C) 
OB =
1 0
1 1
>> det(OB)
ans =
1
% Sistema observável
A B C
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Controlabilidade
ObservabilidadeAlocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
http://www.youtube.com/watch?v=j5xQfH9FCMc&list=UUMTtePMuQMLsSulV
4MInFYA&index=8&feature=plcp
EXERCÍCIOS
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Verifique se o sistema é observável
u
x
x
xd
xd










1
0
21
10
)(
)(
1
0
1
0
 
  


1
021
x
x
y 
Resp: 1
32
21
det)det( 


L 
O sistema é observável! 
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Dado um sistema em espaço de estado: 
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D = 0 (maioria 
das aplicações)
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Alocação de Pólos
Dado um sistema em espaço de estado: 
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Aplicando-se um controle de malha fechada: 
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Observabilidade
Alocação de Pólos
A lei de controle de realimentação dos estados é dada por, 
u(t ) = −Kx (t ) (5)
Então para um sistema dado em temos,
x (t ) = (A − BK )x (t )
(6)
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Número de 
entradas (m)
Número de 
estados (n)(mxn)
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Observabilidade
Alocação de Pólos
DIAGRAMA DE BLOCOS 
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Caso o sistema seja controlável, podemos alocar os pólos 
de malha fechada em qualquer posição do plano complexo 
s esquerdo. Neste processo podemos obter um sistema 
em malha fechada estável e também garantir desempenho 
transitório e em regime. 
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
2- Utilizando os valores desejados para os autovalores (pólos 
de malha fechada desejados), escrever o polinômio 
característico, 
(s − µ1)(s − µ2) · · · (s − µn) = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (7) 
determinar os valores de α1, α2, · · · , αn. 
3- Igualar
det|sI − A + BK | = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (8) 
e encontra o valor dos ganhos Ks que formam o controlador K . 
ETAPAS PARA O PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS
(C é igual à identidade, o que significa que a saída mede
diretamente todos os estados do sistema) 
1- Verificar se o sistema é controlável. Se o sistema for 
completamente controlável seguir os próximos passos. 
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Alocação de Pólos
Exercício 1 
(http://www.youtube.com/watch?v=9hzrYKntYG0&feature=BFa&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA ): 
Dada a função de transferência
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
S2 + 4s + 1 
1
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo 
de pico de 0,3 s: 
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 1 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd










1
0
41
10
)(
)(
1
0
1
0
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Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 1 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd










1
0
41
10
)(
)(
1
0
1
0
Verificando a controbabilidade:








 4
1
1
0
41
10
AB
  1
41
10
det
1
0
det.)det( 




 ABcrt
Resposta: SIM! O sistema é controlável
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Alocação de Pólos
Exercício 1 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd










1
0
41
10
)(
)(
1
0
1
0
u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2].x(t) 
  











1
0
1
0
1
0 21
1
0
41
10
)(
)(
x
x
kk
x
x
xd
xd
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 1 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle













1
0
1
0
1
0
21
00
41
10
)(
)(
x
x
kkx
x
xd
xd








1
0
1
0
2411
10
)(
)(
x
x
kkxd
xd
G(s) = 1
S2 + (4+k2)s + (1 + k1)
Os ganhos k1 e k2 me 
permite colocar os polos
em qualquer ligar do 
plano ‘S’!!!
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Exercício 1 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 1
S2 + 20s + 209
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo 
de pico de 0,3 s: 
 
)100/..(ln
)10 0/..ln (
22 OP
OP

 
= 0.69
Wn = 14.46
desejado
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Alocação de Pólos
Exercício 1 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
= G(s) = 1
S2 + 20s + 209
Igualando G(s) desejado com G(s) original + ganhos
desejado
G(s) = 1
S2 + (4+k2)s + (1 + k1)
Logo
K1 = 209 – 1 = 208
K2 = 20 -4 = 16
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Explicação do Exercício 1
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http://www.youtube.com/watch?v=9hzrYKntYG0&feature=BFa&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA
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Exercício 2
Dada a função de transferência (Nise pg: 521 Exemplo 12.1): 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s: 
Verificar se o sistema é controlável primeiro!
Resposta: SIM!
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Usando a função RLTOOL do MatLab
Ponto: 
-5,4 -+7,2i
Logo já temos duas raízes, como o 
sistema é de 3ª órdem
s(s + 1)(s + 4) = s3 + 5 s2 + 4 s
Deve-se escolher outro polo.
Como existe um zero em ‘-5’ vamos
Escolher um polo também em ‘-5’
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
A equação característica final (desejada) deve ser: 
(s - (-5,4 +7,2i)). (s - (-5,4 -7,2i)).(s + 5)
= s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
u
x
x
x
xd
xd
xd



































1
0
0
540
100
010
)(
)(
)(
2
1
0
2
1
0
 









2
1
0
020100
x
x
x
y
s(s + 1)(s + 4) s3 + 5 s2 + 4 s
20(s+5) 20s + 100
=
20(s+5) 20s + 100
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2 k3].x(t)u
x
x
x
xd
xd
xd



































1
0
0
540
100
010
)(
)(
)(
2
1
0
2
1
0












































2
1
0
2
1
0
2
1
0
]321[
1
0
0
540
100
010
)(
)(
)(
x
x
x
kkk
x
x
x
xd
xd
xd
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle












































2
1
0
2
1
0
2
1
0
]321[
1
0
0
540
100
010
)(
)(
)(
x
x
x
kkk
x
x
x
xd
xd
xd












































2
1
0
2
1
0
2
1
0
321
000
000
540
100
010
)(
)(
)(
x
x
x
kkkx
x
x
xd
xd
xd


























2
1
0
2
1
0
35241
100
010
)(
)(
)(
x
x
x
kkkxd
xd
xd
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle


























2
1
0
2
1
0
35241
100
010
)(
)(
)(
x
x
x
kkkxd
xd
xd
G(s) = 1
S3 + S2(5+k3) + (4+k2)s + (k1)
G(s) = 1
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
Outra opção para o cálculo seria por força bruta:
det|sI − A + BK | = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (8) 
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
s3 + s2(5+k3) + (4+k2)s + (k1) = s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405
Logo:
K1 = 405
k2 = 135 - 4 = 131
K3 = 15,8 – 5 = 10,8
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 1)(s + 4) 
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405G(s) = 
20(s+5)
>> g = 20*(s+5)/(s^3+15.8*s^2+135*s+405)
Transfer function:
20 s + 100
----------------------------
s^3 + 15.8 s^2 + 135 s + 405 
>> step(g)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 3 
Dada a função de transferência
(Nise pg: 521 Exercício de Avaliação 12.1): 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s(s + 3)(s+12) 
100(s+10)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo 
de pico de 0,3 s: 
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 3 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo 
de pico de 0,3 s: >> s = tf('s');
>> g = 100*(s+10)/(s*((s+3)*(s+12)))
Transfer function:
100 s + 1000
------------------------
s^3 + 15 s^2 + 36 s
u
x
x
x
xd
xd
xd



































1
0
0
15360
100
010
)(
)(
)(
2
1
0
2
1
0
 









2
1
0
01001000
x
x
x
y
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 3
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo 
de pico de 0,3 s: >> s = tf('s');
>> g = 100*(s+10)/(s*((s+3)*(s+12)))
Transfer function:
100 s + 1000
------------------------
s^3 + 15 s^2 + 36 s
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 3 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo 
de pico de 0,3 s: 
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
FÓRMULA DE ACKERMANN 
Outro método para o projeto do controlador K é utilizar a 
fórmula de Ackermann. 
···| An−1B ]−1φ(A)
(9)
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
sendo φ o polinômio característico do sistema em 
malha-fechada. 
Esta técnica é bastante usada principalmente caso o sistema 
tenha mais de 2 variáveis!
Projeto de Alocação de Pólos via Matlab
K =acker(A,B,p), p é o vetor que contém a posição dos 
pólos de malha fechada. 
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 
(Dorf pg: 512 Exemplo 11.11)
Dada a função em espaço de estado: 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcule a matriz de ganhos (k) do sistema através da fórmula de 
Ackermann para a os pontos -1 +-i:
G(s) = 
s2
1
A equação característica final (desejada) 
deve ser: 
(s – (-1 + 1i)). (s - (-1 - 1i))
= s2 + 2 s + 2
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 
s2
1
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo 
de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
1s2 + 0 s + 0
1
u
x
x
xd
xd









1
0
00
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Verificar se o sistema é controlável primeiro!
Resposta: SIM! É controlável!
A B







0
1
1
0
00
10
AB
  1
01
10
det
1
0
det.)det( 



 ABcrt
u
x
x
xd
xd









1
0
00
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
A B



10
01
222 2s s(A) 22 AA
Substituindo S por A na equação característica final (desejada)
s2 + 2 s + 2









10
01
2
00
10
2
00
10
00
10
(A)  Identidade



20
22
(A)
u
x
x
xd
xd









1
0
00
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle



 
20
22
01
10
]10[
1
%MatLab
>> [0 1;1 0]^-1
ans =
0 1
1 0
A B
u
x
x
xd
xd









1
0
00
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
]22[
20
22
01
10
]10[ 



k
A B
u
x
x
xd
xd









1
0
00
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
% Resolvendo no MatLab
>> A = [0 1; 0 0]
A =
0 1
0 0
>> B = [0;1]
B =
0
1
>> p = [-1+j*1; -1-j*1]; % Desired Pole Location
>> K =acker(A,B,p)
K =
2 2
A B
u
x
x
xd
xd









1
0
00
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 5 
Dada a função em espaço de estado: 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcule a matriz de ganhos (k) do sistema através da fórmula de 
Ackermann para a um tempo de estabelecimento 
de 2 segundos (Ts) e um amortecimento de 0.707:
http://www.youtube.com/watch?v=efcoTYiC95o&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=5&feature=plcp
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Tempo de estabelecimento de 2 segundos (Ts) 
Amortecimento de 0.707
RLTOOL no MatLab
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
Ponto: 
-2 -+2i
A equação característica final (desejada) 
deve ser: 
(s - (-2 +2i)). (s - (-2 -2i))
= s2 + 4 s + 8
Formas Canônicas
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Observabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
Verificar se o sistema é controlável primeiro!
Resposta: SIM! É controlável!
A B










 1
1
1
1
01
10
AB
  2
11
11
det
1
1
det.)det( 






 ABcrt
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Alocação de Pólos
Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
A B



10
01
848 s 4 s(A) 22 AA
Substituindo S por A na equação característica final (desejada)
s2 + 4 s + 8











 10
01
8
01
10
4
01
10
01
10
(A) Identidade



 74
47
(A) Diferente da 
internet!!!!
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Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
A B







 
74
47
11
11
]10[
1
5.55.1
74
47
11
11
11
11
det
1]10[ 


















t
Adj
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Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
>> A = [0 1; -1 0]
>> B = [1;-1]
>> p = [-2+j*2; -2-j*2]; % Desired Pole Location
>> K =acker(A,B,p)
K =
-1.5000 -5.5000
Utilizando o MatLab função ACKER :
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Alocação de Pólos
Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
>> A = [0 1; -1 0]
A =
0 1
-1 0
>> B = [1;-1]
B =
1
-1
>> p = [-2+j*2; -2-j*2]; % Desired Pole Location
>> K=place(A,B,[p])
K =
-1.5000 -5.5000
Utilizando o MatLab – função PLACE:
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Alocação de Pólos
Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
Verificando os Resultados:
u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2].x(t) 
  












1
0
1
0
1
0 21
1
1
01
10
)(
)(
x
x
kk
x
x
xd
xd
  












1
0
1
0
1
0 )5.5()5.1(
1
1
01
10
)(
)(
x
x
x
x
xd
xd


















1
0
1
0
1
0
1
0
5.55.0
5.65.1
5.55.1
5.55.1
01
10
)(
)(
x
x
x
x
x
x
xd
xd
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Alocação de Pólos
Exercício 5 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
u
x
x
xd
xd











1
1
01
10
)(
)(
1
0
1
0
Verificando os Resultados:
%YOUTUBE
>> d = eig([-4.6 7.5;-1.4 0.6])
d =
-2.0000 + 1.9339i
-2.0000 - 1.9339i
%Calculado
>> d = eig([1.5 6.5;-0.5 -5.5])
d =
1
-5
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Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
http://www.youtube.com/watch?v=efcoTYiC95o&list=UUMTtePMuQMLsSulV4
MInFYA&index=5&feature=plcp
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Exercício 6 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Determine um controlador K de realimentação dos 
estados para o seguinte sistema pela fórmula de Ackermann, 
o sistema em malha fechada deve responder com um P.O. 
10% e um tempo de estabelecimento de 10 segundos.