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SISTEMAS DE CONTROLE II 
 
Ementa: Análise de erro em regime e desempenho da resposta transitória via gráfico de Bode para sistemas 
contínuos. Análise de sistemas mono-variável no domínio da freqüência: Bode e Nyquist. Compensação no domínio 
da freqüência e do tempo. Noções de controlabilidade e observabilidade. Análise no espaço de estados: autovalores, 
solução da equação de estados, decomposição da função de transferência, relações entre função de transferência e 
equação de estado, discretização do modelo no espaço de estados. Sistemas multi-variável no espaço do estado. 
Formas canônicas. 
 
Bibliografia Básica 
 
• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4 ed. Rio de Janeiro: Prentice - Hall do Brasil, 2005, 
788p. 
• Dorf, Richard C.. Sistemas de controle modernos. 11 ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos 
S.A., 2009. 724p. 
• Nise, Normam S.. Engenharia de sistemas de controle. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 2002. 695p. 
 
Bibliografia Complementar 
 
• Kuo, Benjamin C.. Automatic control systems. 8 ed. New York: John Wiley & Sons, 2003. 607p. 
• Sighieri, Luciano. Controle automático de processos industriais: instrumentação. 2 ed. São Paulo: Edgard 
Blücher Ltda, 2007. 234p. 
• Chow, Joe H.. Discrete-time control problems: using MATLAB and the control system toolbox. New Jersey: 
Thomson, 2003. 263p. 
• Golnaraghi, Farid. Sistema de controle automático. 9 ed. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 2012. 693p. 
• Lurie, Boris J. Classical feedback control with Matlab. New York: Marcel Dekker, 2000. 456p. 
 
 
A atividade avaliativa será contemplada na resolução dos exercícios abaixo com valor de 
10 pontos. 
PRAZO DE ENTREGA: 04/09/2020 via portal acadêmico. 
Todos os alunos deverão estar postando a resolução no portal individualmente. 
Não será aceito trabalhos fora do prazo ou por e-mail. 
 
Questão 01 – Analise o sistema apresentado na Figura 1 e responda o que se pede: 
 
 
Figura 1 
Considere: 
G(s) = 
K
𝑠(𝑠2 + 10𝑠 + 29)
 
 
 
 
a) Para qual valor de K, a malha de controle apresenta um par de polos complexo conjugado cuja parte real seja 
três vezes mais próxima do eixo imaginário que a parte real do polo sobre o eixo real? 
b) Nesse caso, quais os polos desse sistema em malha fechada? 
c) Nesse caso, qual o fator de amortecimento deste sistema? E a frequência 𝜔𝑑 e 𝜔𝑛? 
d) Quais os limites operacionais (de estabilidade) desse sistema? 
 
 
 
QUESTÃO 02 - Seja o sistema dotado de realimentação unitária negativa apresentado na Figura 2. Analise o sistema 
e responda o que se pede: 
 
 
 
Figura 2 
Considere: 
 
𝐺(𝑠) = 
24
𝑠(𝑠 + 4)2
 
 
 
a) Elabore o esboço do Lugar Geométrico das Raízes para este sistema 
b) Há pontos de separação sobre o eixo real? Quais? 
 
 
QUESTÃO 3 – Qual a importância do estudo do método do lugar geométrico das raízes? Quais as utilidades do 
método? Explique! 
 
 
QUESTÃO 4 – Os polinômios abaixo são equações características de sistemas de controle em malha fechada. Para 
cada um dos polinômios, determine i. O número de polos instáveis; ii. Quando houver polos sobre o eixo imaginário, 
determine suas coordenadas; iii. Classifique o sistema como: estável, marginalmente estável e instável. 
JUSTIFIQUE! 
A. 𝑄(𝑠) = 𝑠4 + 6𝑠3 + 11𝑠2 + 6𝑠 
B. 𝑄(𝑠) = 𝑠4 + 5𝑠3 + 9𝑠2 + 5𝑠 
C. 𝑄(𝑠) = 𝑠4 + 12𝑠3 + 59𝑠2 + 138𝑠 + 90 
D. 𝑄(𝑠) = 𝑠4 + 11𝑠3 + 58𝑠2 + 30𝑠 − 100 
 
 
QUESTÃO 5 – Analise a curva de resposta em frequência apresentada na Figura 3 e responda o que se pede: 
 
Figura 3 
a) Qual a margem de ganho e de fase do sistema? 
b) Qual o módulo da amplitude do sistema em dB e o defasamento na frequência 𝜔 = 100 rad/s? 
 
c) Para 
um sinal 
de 
entrada igual a u(t) = 10sen(100t + 150) qual o sinal da saída deste sistema, isto é, determine y(t). 
 
QUESTÃO 06 – Analise o sistema apresentado na Figura abaixo e responda o que se pede: 
 
 
Figura 2 
Considere: 
 
𝐺(𝑠) = 
𝐾
𝑠(𝑠2 + 10𝑠 + 10)
 
 
 
a) Para qual valor de K, a malha de controle apresenta um par de polos complexo com parte real em – 3? 
b) Nesse caso, quais os polos desse sistema em malha fechada? 
c) Quais os limites operacionais (de estabilidade) desse sistema? 
 
 
 
QUESTÃO 7– Considere um sistema de controle com realimentação unitária negativa, cuja função de transferência 
do ramo direto é G(s) = 
330
(𝑠+3)(𝑠+5)
 . Considere também os diagramas de módulo e fase da função harmônica de 
transferência G(j𝜔) apresentados na Figura abaixo 
 
Responda o que se pede: 
a) Determine a constante de ganho de baixa frequência (Kg) e as margens de ganho e de fase. Comente sobre 
a estabilidade do sistema. 
b) Quais os polos da função de transferência de malha fechada do sistema sem compensador? Qual o fator de 
amortecimento? Com respeito ao fator de amortecimento, classifique o sistema. 
c) Projete um compensador de atraso de fase, de modo a obter margem de fase ∆𝜙 = 450, mantendo inalterado 
o erro estacionário de posição. 
d) Determine a resposta em frequência do sistema compensado, bem como uma estimativa da margem de 
ganho e de fase resultantes. 
 
e) Determine a função de transferência de malha fechada do sistema compensado. 
 
 
QUESTÃO 08 - No início da década de 1950, época em que os recursos computacionais ainda eram precários para 
as demandas dos projetos de controle, Walter R. Evans criou um método para determinar graficamente como 
mudanças em um dos parâmetros do sistema modificavam a posição de seus polos de malha fechada, alterando, 
assim, a resposta dinâmica do sistema. Tal método foi chamado de Lugar Geométrico das Raízes e, em geral, o 
parâmetro escolhido para variar era o ganho de malha aberta. 
 
 
Considerando o método criado por Evans, apresente o gráfico do Lugar Geométrico das Raízes está associado ao 
sistema de controle exibido na figura acima. 
 
 
QUESTÃO 09 - Diagramas de resposta em frequência são muito importantes em análise, projeto e sintonia de 
sistemas de controle. Mas, esses diagramas são bastante úteis na construção e estudos de filtros e em sistemas de 
telecomunicações. Represente o diagrama de módulo e fase para a função para as funções harmônicas de 
transferências apresentadas nos itens abaixo. Note que as escalas são lineares. Observação, coloque informações 
relevantes no gráfico, como valores dos eixos. 
 
a) 
𝐺(𝑗𝜔) = 
15
𝑗𝜔 + 30
 
 
 
 
 
 
b) 
𝐺(𝑗𝜔) = 
𝑗𝜔 + 270
3
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 10 - Considere os diagramas de Bode dos Sistemas 1 e 2 apresentados abaixo e preencha a tabela com 
as informações solicitadas: 
 
Sistema 1 
 
 
 
Sistema 2 
 
 
 
 
 
 Frequência de 
cruzamento de 
ganho 
Frequência de 
cruzamento de fase 
Margem de ganho Margem de fase 
Sistema 1 
Sistema 2 
 
 
 
QUESTÃO 11 – A função de transferência de um controlador é: 
 
 𝐶(𝑠) = 
1,5𝑠+0,15
𝑠
 
a) Escreva a função harmônica de transferência desse controlador para 𝜔 = 100 rad/s. 
b) Determine a resposta forçada ao sinal de entrada descrito pela equação u(t) = 5cos(𝜔𝑡 + 450) para uma 
frequência de 15,916 Hz. 
c) Qual a amplitude da resposta harmônica e o ângulo de defasamento em relação à entrada do item anterior. 
d) Que tipo de controlador é esse? 
 
 
QUESTÃO 12 – Seja um sistema dinâmico o circuito elétrico abaixo. Determine: 
 
 
 
Figura: Circuito RLC 
 
Informações gerais: considerem 
 
R = 50k [Ω] 
 
L = 10m [H] 
 
C = 1𝜇 [F] 
 
a) A função harmônica de transferência desse sistema 
b) A resposta harmônica (forçada) à uma excitação senoidal: 
ei(t) = 127cos(𝜔𝑡 + 300), para uma frequência f = 60 Hz 
c) Qual a amplitude da resposta harmônica e o ângulo de defasamento em relação à essa entrada 
 
 
QUESTÃO 13 – Desenhe (à caneta) as poligonais assintóticas e os diagramas de resposta em frequência de ganho 
e de fase dos sistemas cujas funções de transferência estão indicadas a seguir. Calcule também, em dB, as 
constantesde ganho de frequência zero. 
 
a) 𝐺(𝑠) = 
𝑠+100
𝑠+10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝐺(𝑠) = 
10(𝑠+100)
𝑠+10
 
 
 
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