Aula 1 matriz 2017 1pptx

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Profa. MSc. Elissandra Rubim de Carvalho
ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 1 – MATRIZES/DETERMINANTE
2
1. DEFINIÇÃO DE MATRIZ 
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n elementos
( números, polinômios, funções, etc.) dispostos em m linhas e n colunas:
DENOMINAMOS MATRIZ REAL DE ORDEM m x n A TODA APLICAÇÃO
DO TIPO:
N m X N n → R 
( i , j ) → a I J
1.1 NOTAÇÃO
As matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus 
elementos internos por letras minúsculas:















 a . . . a a 
. . . . . . 
a . . . a a 
a . . . a a 
 A 
mnm2m1
2221
1n1211
2n
1.2 NOTAÇÃO SIMPLIFICADA
OU SIMPLESMENTE:
Dizemos que a matriz A é de ordem m x n
2.TIPOS DE MATRIZES
- MATRIZ RETANGULAR
Uma matriz na qual é denominada matriz retangular.
A = ( a i j ) m x n
A (m x n) 
nm 
- MATRIZ LINHA
SE m = 1 A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ LINHA DE ORDEM n
SE n = 1 A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ COLUNA DE ORDEM m























1 m
1 3
1 2
1 1
a 
. 
. 
. 
a 
a 
 a 
 A 
  a . . . a a a A n 1132 11 1
- MATRIZ COLUNA
- MATRIZ QUADRADA
SE m = n A MATRIZ A SE DIZ MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n.
EXEMPLO











3 33 23 1
2 32 22 1
1 31 21 1
a a a
a a a
a a a
 A 
DIAGONAL PRINCIPAL
NOTA
O CONJUNTO DAS MATRIZES REAIS QUADRADAS DE ORDEM n SERÁ
REPRESENTADO POR:
M n ( R )
DIAGONAL SECUNDÁRIA
- MATRIZ DIAGONAL
A matriz quadrada que tem os elementos 
quando é uma matriz diagonal. 
  a A ij 0ijaji 















 a . . . 0 0 
. . . . . . 
0 . . . a 0 
0 . . . 0 a 
 A 
mn
22
11
- MATRIZ ESCALAR
A matriz diagonal que tem os elementos iguais entre si 
para 
ijaji 











500
050
005
 A 
SE:






j i se 0
j i se 1
 a e m n j i 
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM n
NOTAÇÃO
I n OU SIMPLESMENTE I SE NÃO HOUVER DÚVIDA QUANTO A
VARIAÇÃO DOS ÍNDICES
EXEMPLO











1 0 0 
0 1 0 
 0 0 1 
 I
3
- MATRIZ UNIDADE OU IDENTIDADE
 a j i 
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ NULA DE ORDEM m x n
NOTAÇÃO
O m x n OU SIMPLESMENTE O SE NÃO HOUVER DÚVIDA QUANTO A
VARIAÇÃO DOS ÍNDICES 
EXEMPLO







0 0 0 
 0 0 0 
 0
3 X 2
- MATRIZ NULA OU ZERO
Uma matriz zero é a matriz cujos elementos são todos 
nulos.
- MATRIZ OPOSTA
  nmijj i N xN j , i a- a  
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ OPOSTA
EXEMPLO











3 32 31 3
3 22 22 1
3 12 11 1
a a a 
a a a 
 a a a 
 A →
) R ( M SEJA A n xm











3 32 31 3
3 22 221
3 12 11 1
a a a 
a a a 
 a a a 
 A -
- MATRIZ TRANSPOSTA ) R ( M SEJA A n xm) R ( M A m xn
t 
→
PROPRIEDADES:
 
 
 
  TTT
TT
TT
TTT
ABABIV)
AAIII)
λAλAII)
BA BA I)




- MATRIZ INVERSA
Dados duas matrizes A e B, se a matriz B satisfaz a condição
AB= BA=I
Diz-se inversa de A e se representa por . Então 
-1A
IAA   .1-1A.A
PROPRIEDADES DA INVERSA:
 
1-1-
1T
T
1-
1-
1-
AB matriz a é AB de inversa matrizA singular.-não matriz uma é AB produto o
 ordem, mesma de e singulares- não são B eA matrizes as Se V)
A éA de inversa matrizA 
 é. tambémA a transpostsua singular,-não éA matriz a SeIV)
II :inversa própria sua a é e 1)I(det singular -nao é I unidade matrizA III)
A. éA de inversa matrizA 
 é. tambémA inversa sua singular,-não éA matriz a SeII)
única. é esta 0),A(det inversa admiteA matriz a Se I)
T


- MATRIZ SINGULAR
Uma matriz quadrada cujo determinante é nulo 
é uma matriz singular.   a A ij- MATRIZ NÃO - SINGULAR
Uma matriz quadrada cujo determinante é 
diferente de zero é uma matriz não-singular ou regular. 
- MATRIZ SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada 
  nmi jj i N xN j , i a a e n m  
EXEMPLO 1:











3 32 31 3
3 22 22 1
3 12 11 1
a a a 
a a a 
 a a a 
 A 











3 3
2 2
1 1
a δ β 
δ a α 
 β α a 
 A →
 ijaS 
É simétrica se 
SS T 
EXEMPLO 2:











789
835
951
 SS T
- MATRIZ ANTI - SIMÉTRICA











3 32 31 3
3 22 22 1
3 12 11 1
a a a 
a a a 
 a a a 
 A 
EXEMPLO 1:
→











0 δ β-
δ- 0 α 
 β α- 0 
 A 
Uma matriz quadrada 
  nmi jj i N xN j , i a- a e n m  
 ijaA 
é anti - simétrica se 
AAT 
EXEMPLO 2: AA
 Asendo A
T
T


























064
603
430
,
064
603
430
- MATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz M cuja a inversa coincide com a transposta é denominada 
matriz ortogonal
TMM 1
isto é: 1 MMMM TT
EXEMPLO 1:
Verifique se a matriz 













2
1
2
3
2
3
2
1
M
é uma matriz ortogonal 
- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Uma matriz 
j i 0 a que em n m j i  
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
EXEMPLO











3 32 31 3
3 22 22 1
3 12 11 1
a a a 
a a a 
 a a a 
 A →











3 3
3 22 2
3 12 11 1
a 0 0 
a a 0 
 a a a 
 A 
- MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
DE FORMA SEMELHANTE, SE:
j i 0 a que em n m j i  
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
EXEMPLO











3 32 31 3
3 22 22 1
3 12 11 1
a a a 
a a a 
 a a a 
 A →











3 32 31 3
2 221
1 1
a a a 
0 a a 
 0 0 a 
 A 
3. IGUALDADE DE MATRIZES
SEJAM
)(b B e )(a A : ) R (M B ,A j ij imxn 
AS MATRIZES A e B DIZEM-SE IGUAIS SE E SOMENTE SE:
  nmj ij i N xN j , i b a 
4. ADIÇÃO DE MATRIZES
SEJAM
)(b B e )(a A : ) R (M B ,A j ij in xm 
DENOMINAMOS MATRIZ SOMA DA MATRIZ A COM A MATRIZ B, E
INDICAMOS POR A + B, A MATRIZ:
 ) R (M C n xm
TAL QUE:
  nmj ij ij i N xN j , i b a c 
Apresentação da Disciplina
20
4.1 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES  RM C , B , A n xm
A1) COMUTATIVA
A + B = B + A
A2) ASSOCIATIVA
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
A3) ELEMENTO NEUTRO (MATRIZ NULA)
A + O n x m = A
A4) ELEMENTO OPOSTO
          :RM a- A- , R M a Am xnj im xnj i

 
m xn
OA-A 
OBSERVAÇÃO
A MATRIZ (- A) É DENOMINADA MATRIZ OPOSTA DA MATRIZ A
4.2 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A EXISTÊNCIA DO ELEMENTO OPOSTO PERMITE DEFINIR A OPERAÇÃO
DE SUBTRAÇÃO DE MATRIZES COMO SENDO UM CASO PARTICULAR
DA ADIÇÃO DE MATRIZES, OU SEJA:
A – B = A + ( – B )
EXEMPLO





















2 22 21 21 2
2 12 11 11 1
2 21 2
1 21 1
2 21 2
2 11 1
ba ba 
ba ba 
 
b b 
b b 
 
a a 
a a 
 BA
 
 
 
 
 
 
 
5. MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM Nº REAL   R α e RM A n xm SEJAM:
DENOMINAMOS MATRIZ PRODUTO DE α POR A E INDICAMOS POR α.A,
A MATRIZ:
 ) R (M C n xm
TAL QUE:
  nmj ij i N xN j , i , b . α c 
6.1 EXEMPLO






















2 31 3
2 21 2
2 11 1
2 31 3
2 21 2
2 11 1
α.a α.a
α.a α.a
α.a α.a
 
a a
a a
a a
 . α A . α
6.2 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR UM Nº REAL
  R β , α e RM B , A n xm 
M1)
    A. β . α A . β . α 
M2)
  B . α A . α B A . α 
M3)
  A. β A . α A . β α 
M4)
 A A . 1 
6.3 OBSERVAÇÃO
O CONJUNTO DAS MATRIZES REAIS DE ORDEM m x n MUNIDO DAS
OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR UM Nº REAL FORMAM
UMA ESTRUTURA ALGÉBRICA DENOMINADA ESPAÇO VETORIAL
7. EXERCÍCIO
DADAS AS MATRIZES:
   
   
   
2 1 0 0 0 2
A = e B = 
1 2 1 6 4 2
DETERMINE AS MATRIZES X E Y TAIS QUE:



2X - Y = A
 X + 3Y = B
SOLUÇÃO
 




 2X - Y = A
 
-2X - 6Y = - 2B 
 -7Y = A - 2B
SUBSTITUINDO O VALOR DE Y NA PRIMEIRA EQUAÇÃO RESULTA:
   
 
1
2X - - . A - 2B = A 
7
 



2X - Y = A
 X + 3Y = B -2
 
1
 Y = - A - 2B
7

 
1
 X = 3A + B
7

    
    
    
2 1 0 0 0 21
X = 3 . + 
7 1 2 1 6 4 2
    
    
    
6 3 0 0 0 21
X = + 
7 3 6 3 6 4 2
 
 
 
6 3 21
X = 
7 9 10 5
 
 
 
 
 
 
6 3 2
 
7 7 7
X = 
9 10 5
 
7 7 7
    
    
    
2 1 0 0 0 21
Y = - - 2 . 
7 1 2 1 6 4 2
    
    
    
2 1 0 0 0 41
Y = - - 
7 1 2 1 12 8 4
 
 
 
 2 1 - 41
Y = - 
7 -11 - 6 - 3
 
 
 
 
 
 
2 1 4
- - 
7 7 7
Y = 
11 6 3
 
7 7 7
 
1
X = . 3A + B
7
 
1
Y = - . A - 2B
7