Prova Deivson Sales 2017.2 UPE 1EE + gabarito

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 – TURMA HT – 2017.2 
GABARITO – 1ª AVALIAÇÃO 
 
1) 
a) 
lim
�→�
�� − 4�� + 5� − 2
�� − �� − 4� + 4
=
1
4
 
b) 
lim
�→��
2�� − 3�� + 7�� + 11� − 5
√4��� − 13�� − 7�� + 9
= 1 
c) 
lim
�→�
1 − cos� �
sen� �
=
3
2
 
 
2) 
a) 
A função é contínua e derivável 
b) 
A função é contínua e não derivável 
 
3) 
a) 
��(�) = −4 lim
��→�
��(����)�� − �����
Δ�
= −4����� lim
��→�
���� − 1
Δ�
= −12����� 
b) 
��(�) = lim
��→�
4(� + Δ�)
� + Δ� + 2 −
4�
� + 2
Δ�
= lim
��→�
4(� + Δ�)(� + 2) − 4�(� + Δ� + 2)
Δ�(� + Δ� + 2)(� + 2)
=
8
(� + 2)�
 
 
4) 
a) 
��(�) = [�� − 3��]{cos[2�� tg(5� − 1)]}� + {cos[2�� tg(5� − 1)]}[�� − 3��]� 
{cos[2�� tg(5� − 1)]}� = − sen[2�� tg(5� − 1)] [2�� sec�(5� − 1) (5) + tg(5� − 1) (4�)] 
[�� − 3��]� = 6�� − 9�� 
b) 
��(�) =
[2 cotg(�� + 4)]�−4 sen(3�� − 8�) + 2��
�����
�
− �−4 sen(3�� − 8�) + 2��
�����[2 cotg(�� + 4)]′
[2 cotg(�� + 4)]�
 
�−4 sen(3�� − 8�) + 2��
�����
�
= −4 cos(3�� − 8�) (15�� − 8) + ln (2)2��
����(9�� − 7) 
[2 cotg(�� + 4)]� = −2 cossec�(�� + 4)(2�) 
c) 
��(�) =
�√2�� − 8���ln[cos(2�� + 8)] − 6���
�����
�
− �ln[cos(2�� + 8)] − 6���
������√2�� − 8��
�
2�� − 8�
 
�ln[cos(2�� + 8)] − 6���
�����
�
=
1
cos(2�� + 8)
[− sen(2�� + 8)](4�) − 6���
����(6� − 4) 
��2�� − 8��
�
=
1
2√2�� − 8�
(6�� − 8) 
 
5) 
[�][(3� − �)�]� + [(3� − �)�][�]� + [2�][���]� + [���][2�]′ = 0 
�[3(3� − �)�(3�� − 1)] + [(3� − �)�]�� + 2�[���][��� + �] + 2����� = 0 
Substituindo dos pontos ⇒ �′ =
5
22
 
Reta tangente ⇒
5
22
=
� − 1
� − 0
⇒ � =
5
22
� + 1 
 
Reta normal ⇒ −
22
5
=
� − 1
� − 0
⇒ � = −
22
5
� + 1 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 Avaliação: 1ª Data: 16/10/2017 
Professor: Deivson Sales Semestre: 2017.2 Turma: HT 
Nome: 
 
Instruções: 
1. A pontuação de cada resposta se encontra apresentada na questão. 
2. O aluno que chegar após alguém ter entregado a avaliação, não poderá mais respondê-la. 
3. A avaliação deve ser respondida com o uso de caneta azul ou preta. 
4. Não permitida consulta a nenhum material didático. 
5. Não é permitido o uso de calculadora ou aparelho celular durante a avaliação. 
6. O aluno pego trocando respostas, terá sua avaliação recolhida e zerada. 
 
1) Calcule os limites das funções pela definição (não use a regra de L'Hôpital). 
 
a) (0,5 pts.) 
 
lim
�→�
�� − 4�� + 5� − 2
�� − �� − 4� + 4
 
b) (0,5 pts.) 
 
lim
�→��
2�� − 3�� + 7�� + 11� − 5
√4��� − 13�� − 7�� + 9
 
c) (1,0 pt.) 
 
lim
�→�
1 − cos� �
sen� �
 
 
2) Verifique se as funções são contínuas e deriváveis. 
 
a) (0,5 pts.) 
 
�(�) = �
�� − � + 2 se � < 1
2√� se � ≥ 1
, no ponto � = 1 
b) (1,0 pt.) 
 
�(�) = |�� + 2� − 3|, no ponto � = −3 
 
3) Determine a derivada das funções pelo conceito de limite. 
 
a) (0,5 pts.) 
 
�(�) = −4����� 
b) (1,0 pt.) 
 
�(�) =
4�
� + 2
 
 
4) Determine as derivadas das funções (não precisa simplificar as respostas). 
 
a) (1,0 pt.) 
 
�(�) = (�� − 3��) cos[2�� tg(5� − 1)] 
b) (1,0 pt.) 
 
�(�) =
−4 sen(3�� − 8�) + 2��
����
2 cotg(�� + 4)
 
c) (1,0 pt.) 
 
�(�) =
ln[cos(2�� + 8)] − 6���
����
√2�� − 8�
 
 
5) (2,0 pts.) Usando os conceitos de derivação implícita, determine as equações das retas tangente e normal à curva 
�(3� − �)� + 2���� = 29, no ponto (0, 1).