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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO RODRIGO ALMEIDA PIZARRO MATRÍCULA 5803312 TRABALHO (AP1) ÁLGEBRA LINEAR Macaé, 03 de Abril de 2018. ENUNCIADO Nas Unidades 1 a 3, você estudou Matrizes; Determinantes e Sistemas Lineares. Parte 1 Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos sobre Multiplicação de Matrizes. A partir do resumo, resolva a situação-problema apresentada. Parte 2 Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos sobre Determinantes. A partir do resumo, resolva as 5 aplicações. Parte 3 Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos sobre Sistemas Lineares. A partir do resumo, resolva as 2 aplicações. PARTE 1 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (síntese): Quando trabalhamos com matrizes, podemos caracterizá-las em relação ao número de linhas e colunas, sendo que identificamos a linha por m e a coluna por n, representando-as, assim, da seguinte forma: Amxn Lemos que a matriz A possui m linhas e ncolunas. Se, por exemplo, temos uma matriz B com três linhas e quatro colunas, ela será representada como B3x4. Quando multiplicamos uma matriz por outra, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado dessa multiplicação será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Vejamos: A m x n . B n x p = C m x p Por exemplo = A multiplicação das matrizes A2 x 3 e B4 x 3 é impossível, pois a primeira possui três colunas e a segunda possui quatro linhas. Como esses valores não são iguais, a multiplicação não ocorre. Agora se pretendemos multiplicar as matrizes A2 x 3 e B3 x 4, além da multiplicação ser totalmente possível, podemos ainda garantir que o produto dessas matrizes será uma matriz A2 x 4. Ao multiplicarmos uma matriz A por outra matriz B, temos que multiplicar todos os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B e somá-los. Outro detalhe importante é que a multiplicação não é comutativa, ou seja, A.B não é necessariamente B.A. Sempre que uma matriz for multiplicada por uma matriz identidade, ou seja , possui uma diagonal principal de „‟1‟‟ e o resto todo „‟0‟‟, a matriz resultante vai ser sempre a inicial, não sofrendo alterações. 3 SITUAÇÃO-PROBLEMA: Uma doceira preparou 3 tipos diferentes de salgados, usando ingredientes conforme a tabela abaixo: ovos farinha açúcar carne Pastéis 3 6 1 3 Empadas 4 4 2 2 Kibes 1 1 1 6 Os preços dos ingredientes constam na tabela abaixo: Ingredientes Preço Base(R$) ovos 0,20 farinha 0,30 açúcar 0,50 carne 0,80 Utilize o conhecimento de MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES e calcule o preço base de cada salgado? O preço base será: Pastel = R$ 5,30 Empada = R$ 4,60 Kibe = R$ 5,80 4 PARTE 2 DETERMINANTES (síntese): Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas, nas matrizes de ordem 2 x 2, calculamos o determinante de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal principal do produto da diagonal secundária. Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2. Diagonal principal: 2 * 6 = 12 Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9 DetA = 12 – (–9) = 12+9 = 21 Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. O valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3. Regra de Sarrus Diagonal principal 2 * 6 * 3 = 36 5 * 7 * (–1) = – 35 6 * 1 * 2 = 12 Soma = 36 + (–35) + 12 = 13 Diagonal secundária 6 * 6 * (–1) = –36 2 * 7 * 2 = 28 5 * 1 * 3 = 15 Soma = –36 + 28 + 15 = 7 -- DetB = 13 – 7 = 6 5 APLICAÇÃO: a) Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3: D = 3 b) Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3: D = -15 c) Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3: D = 12 d) DET A.B = -8 e) Calcule o valor de x, a fim de que o DETERMINANTE da matriz A seja nulo. X = 13 6 PARTE 3 SISTEMAS LINEARES (síntese): Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares. Designamos os sistemas lineares pelo número de equações e de incógnitas que eles possuem. De forma geral, um sistema linear de m equações e n incógnitas também pode ser chamado de sistema linear m × n (lê-se “m por n”), e é constituído de m equações, onde cada equação contém as mesmas n incógnitas: Se o termo independente de uma equação linear for igual a zero (c = 0), a equação recebe um nome específico: equação linear homogênea. Se um sistema for composto apenas por equações lineares homogêneas, ele é chamado de sistema linear homogêneo. Os sistemas lineares podem ser resolvidos basicamente por duas formas: por escalonamento ou pela Regra de Cramer. O escalonamento consiste em levar o sistema a um formato de “escada”, ou seja, de equação para equação, no sentido de cima para baixo, há um aumento dos coeficientes nulos da esquerda para a direita. A Regra de Cramer é uma ferramenta versátil que fornece uma alternativa para o método do escalonamento. Sua aplicação tem início com o cálculo do determinante da matriz incompleta do sistema, que é a matriz formada pelos coeficientes do sistema. É aplicável na resolução de um sistema n x n incógnitas, no qual o determinante diferente de zero (D ≠ 0). Ou seja: (x1 = D1 / D, x2 = D2 / D, … , xn = Dn / D). Exemplo: Então: x = Dx/D = -10/-5 = 2 e y = Dy/D = -5/-5 = 1, o par ordenado (2,1) é o resultado do sistema linear. 7 APLICAÇÃO: Resolva o seguinte SISTEMA LINEAR: ( 0,0) Resolva o seguinte SISTEMA LINEAR: ( 1 , 3, 2)
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