Estimativa de volume de árvores

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Volumetria 
Prof. Ricardo de Oliveira Gaspar 
Universidade de Brasília 
Departamento de Engenharia 
Florestal 
Dendrometria 
VOLUME DA ÁRVORE 
2) Estimação do volume do fuste 
 
a) Fator de forma: 
 
De acordo com a figura pode-se dizer que o volume do 
fuste é uma percentagem do volume de um cilindro 
imaginário definido pelo DAP e pela altura da árvore. 
Fator de forma 
Fator de forma 
Desta forma, tem-se: 
 
 f < 1 
 
 
em que 
 f = fator de forma (com ou sem casca) 
 Vreal = volume real com ou sem casca 
 Vcilindro = volume do cilindro 
)ou .(
000.40
. 2
HcHt
DAP
Vcilindro


Vcilindro
Vreal
f 
Fator de forma 
Pode-se, então, redefinir a expressão anterior: 
 
 
 
 
 
 
 Em que é um fator de forma médio apropriado para a espécie. 
 
 Esta expressão permite estimar o volume da árvore em pé. 
fcilindroreal .VV 
fHcHt
DAP
real ).ou .(
000.40
.
V
2

f
Fator de forma 
Como obter o fator de forma ( )? 
 
-> Dados da cubagem rigorosa: 
f
Vreal (m
3
)
Árvore DAP Ht ou Hc Vc/c Vs/c Vcilindro fc/c fs/c
1 f1c/c f1s/c
2 f2c/c f2s/c
. . .
. . .
. . .
n fnc/c fns/c
ccf / csf /
Fator de forma 
Resumo do procedimento anterior: 
 Derruba-se algumas árvores para obter o fator médio e aplica este 
fator nas árvores que estão em pé. 
 
Observações importantes: 
• Normalmente se utiliza a altura total das árvores (Ht) para a geração de 
fatores de forma por facilidade de medição, exceto em matas nativas, onde a 
altura comercial (Hc) ou do fuste é mais fácil de obter. 
 
• Sempre utilizar a altura correspondente àquela que gerou o fator, ou seja, se 
o fator foi gerado utilizando a altura total, o volume do cilindro deve ser 
obtido com essa altura. 
 
• Verificar se o fator se refere a um fator de forma com casca ou a um fator de 
forma sem casca. 
Fator de forma 
Observações importantes (cont...): 
 
• Nunca utilize um fator de forma de uma espécie para outra espécie; 
 
• Verifique as condições do plantio (idade e espaçamento) → forma 
 
VOLUME DA ÁRVORE 
b) Equação de volume 
 
Seja a seguinte expressão: 
 
Como é uma constante denominada de , então, a expressão pode 
ser reescrita como: 
 
 
Como outras variáveis podem explicar o volume de uma árvore, deve-se 
acrescentar o termo que representa estas variáveis 
f . Ht . 
4
DAP.
V
2

f . 
4

0
Ht .DAP .V 20

Equação de volume 
 Assim, tem-se o seguinte modelo volumétrico, denominado 
de Modelo da Variável Combinada. 
 
 
 
 Em 1933, Schumacher & Hall fizeram modificações no 
modelo acima para torná-lo mais flexível, ajustando-se 
melhor aos dados observados: 
 . Ht .DAP .V 20
  . Ht .DAP .V 210
Equação de volume 
 Para facilitar o ajuste e atender algumas 
pressuposições estatísticas o modelo de Schumacher 
e Hall (1933) pode ser linearizado, assumindo a 
seguinte forma: 
 
 
 
em que 
 LnV = variável dependente (Y) – volume com ou 
 sem casca e até um “d” específico; 
 LnDAP e LnHt = variáveis independentes (X1 e X2) 
  LnHtLnDAP LnV 210
Equação de volume 
Outros modelos volumétricos: 
N
o
 Modelos 
1 V = 0 + 1.DAP +  
2 V = 0 + 1.DAP +2.DAP
2
 +  
3 V = 0.DAP
1
 +  
4 V = 0.(DAP
2
.H)
1
 +  
5 LogV = 0 + 1.LogDAP +2.DAP +  
6 LogV = 0 + 1.Log(DAP
2
.H) +  
 
Equação de volume 
 Com um modelo volumétrico não se estima o volume de 
uma árvore. Mas com uma equação, sim! Para isso devemos 
encontrar os valores dos β`s. 
 
Dados: 
 Cubagem rigorosa; 
 De 5 a 7 árvores por classe de DAP; 
 (e para Mata Nativa ?) 
Equação de volume 
Método de ajuste para o modelo linearizado: 
 Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
 Resolver um sistema de equações: 
 
 
 
 Especificamente para o modelo de Schumacher e Hall 
(1933), tem-se os seguintes vetores e matrizes: 
YX'X)(X'ˆ -1
Equação de volume 
 
 
 
 
 
 
 (esta matriz deve ser invertida) 
em que: 
 n = número de observações (árvores); 
 X1 = logaritmo do DAP; 
 X2 = logaritmo da altura total (Ht); e 
 Y = logaritmo do volume. 
 











2
1
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ





























n
1i
2
2
n
1i
12
n
1i
2
n
1i
21
n
1i
2
1
n
1i
1
n
1i
2
n
1i
1
XXXX
XXXX
XXn
X)(X'

























n
1i
2
n
1i
1
n
1i
YX
YX
Y
YX'
Equação de volume 
Ajuste do modelo de Schumacher & Hall (1933)
X1 X2 Y X1
2
X2
2
X1X2 X1Y X2Y Y
2
Árvore DAP(cm) Ht (m) VCC (m
3
) (lnDAP) (lnHt) (lnVCC)
1 8,0 9,7 0,0274 2,079441542 2,272125886 -3,59721227 4,324077125 5,16255604 4,724752954 -7,48019262 -8,1733191 12,939936
2 27,7 27,6 0,7159 3,321432413 3,317815773 -0,33421479 11,03191328 11,0079015 11,01990085 -1,11007183 -1,10886309 0,1116995
3 23,2 26,5 0,5505 3,144152279 3,277144733 -0,59692832 9,885693551 10,7396776 10,30384208 -1,87683355 -1,95622051 0,3563234
4 17,7 17,4 0,1780 2,87356464 2,856470206 -1,72597173 8,257373738 8,159422039 8,208251779 -4,95969133 -4,93018682 2,9789784
5 13,8 12,9 0,1003 2,624668592 2,557227311 -2,29958958 6,888885219 6,539411522 6,711874207 -6,03566056 -5,88057329 5,2881123
6 17,0 16,5 0,1852 2,833213344 2,803360381 -1,68631896 8,027097853 7,858829425 7,942518039 -4,77770137 -4,72735975 2,8436716
7 18,8 20,3 0,2423 2,93385687 3,010620886 -1,41757865 8,607516133 9,06383812 8,832730769 -4,15897286 -4,26779189 2,0095292
8 8,0 11,6 0,0327 2,079441542 2,451005098 -3,4203802 4,324077125 6,007425991 5,09672182 -7,11248068 -8,38336931 11,699001
9 15,0 16,7 0,1292 2,708050201 2,815408719 -2,04639369 7,333535892 7,926526257 7,624268149 -5,54173684 -5,76143463 4,1877271
10 21,6 21,2 0,3542 3,072693315 3,054001182 -1,03789355 9,441444206 9,326923218 9,384009014 -3,18912858 -3,16972814 1,077223
11 11,0 12,8 0,0608 2,397895273 2,549445171 -2,80016549 5,749901739 6,49967068 6,113302524 -6,71450359 -7,13886839 7,8409268
12 24,2 24,7 0,4368 3,186352633 3,206803244 -0,82827985 10,1528431 10,28358704 10,21800596 -2,6391917 -2,65613052 0,6860475
somatório 33,25476264 34,17142859 -21,7909271 94,02435896 98,57576944 96,18017814 -55,5961655 -58,1538455 52,019176
12 33,25476264 34,17142859 -21,7909271
(X`X) = 33,25476264 94,02435896 96,18017814 (X`Y) = -55,5961655
34,17142859 96,18017814 98,57576944 -58,1538455
8,812880031 4,185755771 -7,13903062 -21,7909271 -9,59071338
4,185755771 7,496053523 -8,76488231 * -55,5961655 1,748280173
-7,13903062 -8,76488231 11,03677732 -58,1538455 1,028900248
(X`X)
-1
(X`Y) 
LnV = -9,59071+1,74828LnDAP+1,02890LnHt
ˆ

Carlos Pedro Boechat 
Soares DEF/UFV 
Equação de volume 
 Após o ajuste da equação deve-se realizar a análise da sua precisão: 
Análise de variância (ANOVA), do teste “t” para os β`s e medidas de 
precisão. 
 
ANOVA da regressão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 p = número de variáveis independentes e C = 
Fonte de 
variação 
Graus de 
liberdade 
Soma de 
quadrado (SQ) 
Quadrado 
médio (QM) 
Fcalculado 
Regressão p 
C- YX''ˆ
 
C- YX''ˆ
/ p QMReg / QMRes 
Resíduo n-p-1 

(diferença) SQ Resíduo / n-p-1 
Total n-1 Y’Y - CFtab ( %; p e n – p – 1gl) 
 
n
Y
2
n
1i










Equação de volume 
 O teste “F” da análise de variândia (ANOVA) testa as 
seguintes hipóteses: 
 
Ho:. . 
 
Ha:. Pelo menos um dos parâmetros é estatisticamente 
diferente de zero. 
 
 Em termos práticos, se F calculado > F tabelado, a regressão 
existe; do contrário, para qualquer valor de X (variável 
independente), o correspondente valor de Y será igual à média de 
Y (variável dependente). 
0 ... n10  
Equação de volume 
 Embora o teste “F” possa indicar que a regressão existe, ele não garante que todas as 
variáveis são estatisticamente significativas a um dado nível de probabilidade. Nesse caso, 
há a necessidade de se efetuar o teste “t” (Student) para os parâmetros separadamente, 
através da seguinte estatística: 
 
 
 
 
cujas hipóteses a serem testadas são: 
 Ho:. βi = 0 
 Ha:. βi ≠ 0 
 
 em que βi é a estimativa do i-ésimo parâmetro e , as variâncias dos parâmetros, 
obtidas pela multiplicação do quadrado médio do resíduo, da análise de variância 
(ANOVA), pela matriz (X’X)-1 e representadas pela diagonal principal da matriz resultante 
da multiplicação. 
 i
i
calc
ˆVˆ
0ˆ
t

 

 iβˆVˆ
Equação de volume 
 Se “t” calculado > “t” tabelado, rejeita-se Ho. Então, se βi é 
estatisticamente diferente de zero, a variável deve permanecer na 
equação. 
 
 Se algum parâmetro for estatisticamente igual a zero, teoricamente a 
variável deveria ser retirada da equação e uma nova equação deveria 
ser ajustada sem ela. Contudo, se a variável for não-significativa, porém 
possuir significado (realismo) biológico ou tiver caráter explicativo muito 
forte para o fenômeno, ela deverá permanecer. 
 
 Uma vez procedido o teste “F” e o teste “t” para os parâmetros e feitas 
as devidas análises, deve-se proceder também ao cálculo das medidas 
de precisão da equação ajustada. 
Equação de volume 
Medidas de precisão: 
 
a) Coeficiente de determinação (R2): informa a 
porcentagem da variação dos dados observados em 
torno da média que está sendo explicada pela 
equação ajustada. É calculado por: 
 
 
 
 Quanto mais próximo de 100, maior a precisão da equação. 
100.
SQTotal
oSQRegressã
R2 
Equação de volume 
b) Erro padrão da estimativa (Sy.x): de forma bem didática, 
esta medida de precisão indica o erro médio associado 
ao uso da equação. 
 
 
 
 
 Quanto menor o valor do erro-padrão da estimativa, menor o erro 
associado ao uso da equação. 
QMResíduo S y.x 
Equação de volume 
Com os dados do exemplo anterior: 
De posse da equação ajustada, procedeu-se à análise de 
variância ANOVA, cujo quadro-resumo é o a seguinte: 
 
Fonte de 
variação 
Graus de 
liberdade 
Soma de 
quadrado (SQ) 
Quadrado 
médio (QM) 
Fcalc. 
Regressão 2 12,38798 6,19399 916,54* 
Resíduo 9 0,06082 0,006758 
Total 11 12,4488 Ftab(5%;2 e 9gl) = 4,26 
 
em que: 
 
4488,1257037526,390191571,52
n
Y
YSQTotal
2
2 
; 
SQ Regressão = 
  38798,1257037526,39
15384545,58
5961655,55
79092708,21
.028900248,1748280173,1590713358,9 











;
 e 
SQ Resíduo = SQ Total – SQ Regressão = 0,06082. 
Como “F” calculado > “F” tabelado (916,54 > 4,26), então 
rejeita-se Ho, ou seja, pelo menos um dos parâmetros é 
estatisticamente diferente de zero. 
Equação de volume 
* Teste “t” para β0 
 
590713385,9ˆ0 
 
 
  059557443,0006758,0.812880031,8βˆVˆ 0 
 
 t(5%; 9 gl) = 2,262 
30,39
059557443,0
590713385,9
tcalc 


 
/ “t” / calculado > “t” tabelado => rejeita-se Ho, ou seja, 
00 
. 
* Teste “t” para β1 
 
748280173,1ˆ1 
 
 
  050658329,0006758,0.496053523,7βˆVˆ 1 
 
 t(5%; 9 gl) = 2,262 
77,7
050658329,0
748280173,1
tcalc 
 
 “t” calculado > “t” tabelado => rejeita-se Ho, ou seja, 
01 
. 
Equação de volume 
* Teste “t” para β2 
 
028900248,1ˆ2 
 
 
  074586541,0006758,0.03677732,11βˆVˆ 2 
 
 t(5%; 9 gl) = 2,262 
77,3
074586541,0
028900248,1
tcalc 
 
“t” calculado > “t” tabelado => rejeita-se Ho, ou seja, 
02 
. 
Como todos os parâmetros foram estatisticamente diferentes de 
zero, a 95% de probabilidade, então foram calculadas as medidas de 
precisão da equação: 
Equação de volume 
Medidas de precisão: 
 
a) Coeficiente de Determinação (R
2
) 
%51,99100.
4488,12
38798,12
100.
SQTotal
oSQRegressã
R2 
 
Interpretação: 99,51% da variação dos volumes em torno da 
sua média são explicados pela equação ajustada. 
 
b) Erro-padrão das estimativa (Sy.x) 
)mln(082207,00,006758 QMResíduo S 3y.x 
 
Interpretação: o erro médio associado ao uso da equação é de  
0,08219 Ln(m
3
). 
Equação de volume 
 Embora as medidas apresentadas anteriormente indiquem 
a precisão do modelo, uma análise complementar deve ser 
feita através dos resíduos, obtidos pela diferença entre os 
valores observados da variável dependente (volume) e os 
valores estimados pela equação. A análise dos resíduos 
permite inferir sobre a existência de problemas de 
heterocedasticidade de variância, mesmo que a equação 
seja precisa. 
Equação de volume 
Exercício 
Objetivos: 
Com este trabalho prático o aluno será capaz de ajustar equações pelo 
método de regressão linear simples; calcular e interpretar as medidas de 
precisão associadas às equações. 
 
 
Dados: 
 Cubou-se rigorosamente 24 árvores de eucalipto, obtendo-se a 
estimativa do volume total com casca e as medidas do DAP (cm) e das 
alturas totais (metros) de cada árvore. Com os dados em anexo, pede-se: 
 
 Ajustar o modelo: lnVCC = 0 + 1lnDAP + 2lnHt + , pelo método dos 
mínimos quadrados ordinários, mostrando os resultados; 
 
Em que: 
Ln = logaritmo neperiano; 
VCC = volume com casca, em m3; 
DAP = diâmetro medido à 1,30m, em cm; 
Ht = altura total, em metros. 
 
 Calcular as medidas de precisão da equação ajustada (coeficiente de 
determinação, erro padrão da estimativa) e interpretar os resultados; 
Equação de volume 
Dados: 
ÁRVORE DAP Vc/c Ht 
1 14,5 0,154 21,2
2 11,2 0,0861 19
3 14,1 0,1282 18,5
4 13,6 0,1262 19,7
5 8,1 0,0205 12,4
6 7,9 0,0256 13,4
7 11,2 0,0816 18,6
8 8 0,042 16,9
9 11,5 0,0824 17,6
10 11,1 0,0849 19,4
11 13,7 0,167 22,4
12 19,2 0,3316 25,1
13 14,8 0,1561 21,8
14 19,2 0,3123 25,5
15 7,7 0,032 14,8
16 11,2 0,0766 18,5
17 19 0,2871 23,1
18 19,2 0,2697 24,5
19 16,9 0,2065 21,8
20 17,1 0,2111 21,8
21 19 0,2547 22,3
22 16,3 0,1974 21,1
23 16,9 0,1947 21
24 14 0,1195 20,1
β0 = -11,7316
β1 = 1,485756
β2 = 1,928382
R2 = 99,32%
Sy.x = 0,067827 lnm3
Resultado: